Introducción a la Tecnología de Control (página 4)

Los sensores de
Philips se pueden utilizar en un número de configuraciones
diferentes para la medición de corriente. La más
simple, es un único sensor cerca del hilo portador de
corriente, midiendo directamente el campo generado por la
corriente. La sensibilidad del sensor varía con la
distancia del hilo. El sensor también se puede colocar
directamente encima del conductor (una pista de un circuito
impreso), dibujo de la
derecha de la figura.

Ambas configuraciones permiten la medición de la
corriente sin tener que cortar el conductor o interferir en
él, ofreciendo una ventaja sobre los sistemas basados
en resistencias
"shunt". Se puede utilizar, por ejemplo, para medir la corriente
para una detección de fallo de lámpara en
vehículos o como la pinza amperimétrica (sin
contacto), como las utilizadas en la industria. Un
circuito típico de detección de corriente se
muestra en la
figura.

La variación de diferentes
parámetros se puede medir varios rangos de corriente. La
sensibilidad también se puede aumentar enrollando el hilo
varias veces a través del núcleo o aumentando la
amplificación.

3.2.4.4 Bobina Rogowsky

La bobina Rogowski se basa en un modelo simple,
un inductor con inductancia mutua con la corriente primaria.

Para analizar el funcionamiento de la bobina Rogowski primero
hay que ver repasar algunos efectos de la corriente y el campo
magnético.

Campo magnético inducido por un conductor: Cuando pasa
una corriente a través de un conductor, se forma un campo
magnético alrededor del mismo. La magnitud del campo
magnético es directamente proporcional a la corriente.

Voltaje inducido en una bobina por el cambio del
campo magnético: Los cambios del campo magnético
dentro de la bobina inducen una fuerza
electromotriz. La fuerza electromotriz es un voltaje y es
proporcional a los cambios del campo magnético dentro de
la bobina.

3.2.4.5 Medición de
Energía

Aprovechando diversas maneras de medir la corriente y midiendo
la tensión de la red eléctrica, se
puede medir la potencia
energética, con unos completos circuitos
acondicionadores de señal como la familia
ADE775x de Analog Devices. Estos circuitos pueden mandar
las medidas digitalizadas a un microcontrolador, que
procesará los datos y los
mostrará en un visualizador LCD y podrá enviar
la lectura
medida automáticamente por cualquiera de los sistemas de
comunicación actuales, que se denomina AMR
(Automatic Meter Reading).

El siguiente esquema muestra otro circuito que
además de medir la corriente y la tensión, procesa
la medición dando como resultado unos impulsos
proporcionales a la potencia para atacar directamente a un
contador de energía mecánico. Analog
Devices tiene un completo acondicionador de señal
trifásico AD73360, especialmente preparado para la
medición de energía y captura de señal
formado por 6 canales con entrada diferencial con amplificador de
ganancia programable, convertidor sigma/delta de 16 bits,
preparado para ser conectado a un DSP.

Usando un microcontrolador PsoC de Cypress, es posible
integrar en él una EEPROM, la RTC, un driver LCD (16×2) y
driver de IRDA, con los módulos de usuario configurables
del PsoC, utilizando el software PsoC Designer
gratis desde la web:

Nota: ver apéndice 2

Capítulo 4

Álgebra de
Boole

El álgebra de
Boole o álgebra lógica,
también llamada teoría
de los conjuntos,
tiene una aplicación muy importante en el diseño
de sistemas de
control. Esta aplicación lleva a denominarla
álgebra de conmutación porque permite operar
algebraicamente con conmutadores (interruptores o llaves) en
estados abierto y cerrado. Por supuesto que esto conlleva a una
definición particular de las operaciones.

En lo que atañe a nuestro curso vamos a presentar los
elementos introductorios y realizar algunas aplicaciones
prácticas sencillas, para poder utilizar
los conceptos en la programación de un sistema de
control con un
PLC por
ejemplo.

4.1 – DEFINICIONES DE SÍMBOLOS Y DE
OPERACIONES DE CONMUTACIÓN

Designaremos a cada conmutador con una sola letra: a, b, c, x,
y,… Si dos conmutadores operan de tal forma que se abren y se
cierran siempre simultáneamente los designaremos con la
misma letra. Si operan de forma que el primero está
abierto cuando el segundo está cerrado y viceversa los
designaremos con una letra a uno y con la misma letra con una
comilla al otro: x y x'.

Convenimos a asignar a cada conmutador representado por una
letra el valor 1 si
está cerrado y el valor 0 si está abierto.

Un circuito consistente en dos conmutadores x e y conectados
en serie lo definimos con la operación
multiplicación x· y (o simplemente xy),
interpretando que se cerrará el circuito si están
los dos en 1 (cerrados) puesto que si uno de ellos está en
0 (abierto) el producto de
ambos será igual a 0. Si están en paralelo
obtenemos la operación suma x+y, ya que tendremos cerrado
el circuito siempre que uno de ellos esté cerrado, o ambos
lo estén. Finalmente si analizamos lo que significa
señalar con x y con x' tendremos una operación
más que se indica con la comilla y señala el
contrario de x o, como se expresa normalmente, la negación
de x, o x negado. (Esta condición se suele indicar con una
barra sobre la letra en lugar de una comilla). Esta
situación se dará sólo y solo cuando a x le
corresponda el valor 1 y simultáneamente a x' le
corresponda el valor 0 y viceversa.

Entonces cada circuito serie y/o paralelo se
corresponderá a una expresión algebraica
involucrando solamente las tres operaciones (+), (· ) y
(') y en forma recíproca a cada expresión
algebraica le corresponderá un circuito. Diremos entonces
que la función
representa al circuito y que el circuito
realiza la función.

Se dice que dos circuitos de interruptores son equivalentes si
las condiciones de conducción (o de cerradura) son iguales
para toda posición dada de los interruptores involucrados.
Esto significa que, para toda posición de los
conmutadores, o pasa corriente a través de ambos circuitos
(ambos cerrados) o no pasa corriente por ninguno (ambos
abiertos). Por su parte dos expresiones son iguales si y
sólo si representan circuitos equivalentes.

En ellos vemos que ambos son equivalentes, ya que habrá
conducción por ambos si los interruptores están en
el mismo estado: x en 1
o y y z en uno, y no habrá conducción si x
está en cero y, además, y o z están en cero.
Por lo tanto las ecuaciones que
los

Analicemos los dos circuitos que siguen:

representan son iguales lo que verifica la ley distributiva
para la operación suma respecto a la de
multiplicación.

Un procedimiento
más simple para verificar la validez de las leyes
fundamentales es utilizar las tablas de verdad para las funciones de
conmutación a', a· b, y a+b que son
idénticas a las tablas de verdad de las funciones
proporsicionales correspondientes, que vemos en la tabla
siguiente:

4.2 – EJEMPLOS:

Para tener modelos
desarrollamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo nº 4.2.1: Encontrar un circuito que
realice la función booleana x· y· z' + x'(y
+ z)

Solución: Esta expresión indica una
conexión en serie de x, y, y z', que a su vez está
en paralelo con un circuito correspondiente a x'(y + z'), este
muestra a un interruptor x' en serie con la conexión en
paralelo de y y z', por lo tanto el circuito es el siguiente:

Ejemplo nº 4.2.2: Encontrar la función
booleana que representa al circuito mostrado en la figura:

Solución: Primero tenemos un paralelo de x, y' y z que
representamos con (x + y' + z), este montaje está en serie
con u y con v, que indicamos con u· v. El otro montaje es
un paralelo de y y z' en serie, con x y con la serie y' con u, lo
que se indica con (y· z' + x + y'· u). Por lo tanto
la función que lo representa es:

Ejemplo nº 4.2.3: Construya la tabla de
propiedades de cerradura de la función booleana
siguiente:

Solución: Si bien no es necesario para responder a lo
solicitado, haremos primero el circuito que lo representa:

La tabla de verdad, o de propiedades de cerradura, es la
siguiente:

4.3 – LEYES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA
BOOLEANA

A continuación están enlistadas las leyes
fundamentales del álgebra booleana. Los nombres son los
usados comúnmente, aunque algunos de ellos reflejan una
aplicación particular más bien que del
álgebra booleana en general. Por ejemplo,
"tautología" sugiere la aplicación a la
lógica simbólica, mientras que
"complementación" sugiere la aplicación al
álgebra de conjuntos.

Si 1 designa al conjunto universal (en el álgebra de
conmutación el circuito cerrado) y 0 al conjunto
vacío (circuito abierto) las siguientes identidades son
válidas para conjuntos (conmutadores) arbitrarios x, y y
z:

Muchas de estas leyes son comunes al álgebra de los
números reales, sin embargo 3b, 4a, ab, 5a, y 5b no son
válidas para números, como tampoco lo son las de
complementación y de Morgan. Otras diferencias con el
álgebra ordinaria está en el hecho que no aparecen
nunca expresiones como 2x o x2 en el álgebra de Boole.

Una propiedad
interesante y útil en el álgebra booleana es el
principio de dualidad: si, en cualquier identidad,
cada multiplicación se reemplaza por una suma, cada suma
por una multiplicación, 0 por 1 y 1 por 0, la
ecuación resultante también es una identidad. Esto
es válido para cualquier álgebra booleana.

Para completar podemos decir que en las expresiones normales,
y tal como sucede en el álgebra normal, se suele omitir el
símbolo de multiplicación, así es que en
lugar de poner x· y podemos poner simplemente xy.

4.4 – SIMPLIFICACIÓN DE CIRCUITOS

Dos problemas
básicos que surgen en conexión con las aplicaciones
del álgebra booleana a los circuitos de conmutación
son: a) simplificación de un circuito dado que se sabe que
tiene las propiedades de cerradura deseadas, y b) el
diseño de circuitos con propiedades dadas. Ahora veremos
el primer tema.

Frecuentemente casos específicos de este problema se
resuelven por tanteo, pero circuitos complicados como los usados
en los computadores digitales requieren de métodos
más sistemáticos para lograr la
simplificación de los mismos. Nosotros obviaremos los
métodos sofisticados que hay y nos remitiremos al método
directo usando las propiedades del álgebra booleana para
realizar simplificaciones razonables.

Un método general para simplificar un circuito consiste
en encontrar la función que lo representa, luego
simplificarla, y finalmente dibujar el nuevo circuito utilizando
la función simplificada.

Ejemplo nº 4.4.1: Simplificar el siguiente
circuito:

Solución: La función que representa a este
circuito es:

f = (xy + abc) (xy + a' + b' + c') si aplicamos
distributiva:

f = (xy + abc) xy + (xy + abc) a' + (xy + abc) b' + (xy + abc)
c' por absorción:

(xy + abc) xy = xy por asociativa:

(xy + abc) a' = xya' + abca' = xya' ya que aa' = 0

(xy + abc) b' = xya' + abcb' = xyb' ya que bb' = 0

(xy + abc) c' = xya' + abcc' = xyc' ya que cc' = 0

nos queda que:

f = xy + xya' + xyb' + xyc' = xy

el circuito simplificado será entonces:

Desde luego deben mencionarse dos problemas inherentes a todo
procedimiento de simplificación. Puede ser difícil
decir sólo por la forma de la función cuál
de varios es el más "simple". El mejor puede depender del
costo y de varios
tipos de conmutadores requeridos para diversas funciones iguales
que puedan escribirse, las especificaciones son las que
decidirán. Otra dificultad es que el más simple o
económico puede no ser un circuito serie-paralelo y el
álgebra booleana sólo refleja este tipo de
circuitos.

Usando las leyes básicas del álgebra puede
omitirse alguna simplificación posible. Puede ser
más fácil reconocer cierto paso si se expresa en
términos de una de las leyes duales; es decir que se puede
tomar la dual de la función dada, simplificarla, tomar del
resultado otra vez el dual y reconstruir el circuito.

Ejemplo 4.4.2: Simplificar el circuito de la
figura:

Solución: El circuito está representado por la
función:

f = cb + ab'cd + cd' + ac'
+ a'bc' + b'c'd'

consideremos los tres primeros términos como una
función g y los restantes como otra función h:

g = cb + ab'cd + cd' el dual será:

d(g) = (c + b)(a + b' + c + d)(c + d') que resulta ser:

d(g) = c + abd' tomando el dual:

g = c(a + b + d')

Haciendo lo propio con h:

h = ac' + a'bc' + b'c'd'

d(h) = (a + c')(a' + b + c')(b' + c' + d')

d(h) = a + b + d'

h = c'(a + b + d')

Finalmente será:

f = g + h = (c + c')(a + b + d') = a + b + d'

que se corresponde con el circuito:

4.5 – COMPUERTAS LÓGICAS

Las compuertas lógicas (gates) son dispositivos
binarios que dan una salida en alto o bajo (si o no, 1 o 0) en
función de lo que ocurre en las entradas y del tipo de
compuerta.

Los símbolos tradicionales son:

La compuerta OR (O) realiza la suma lógica de las
entradas lógicas y da una salida en alto cuando al
menos una de las entradas está en alto. La NOR es
igual a la anterior pero la salida es en bajo cuando hay al menos
una entrada en alto, es la OR negada.

La compuerta AND (Y) realiza la multiplicación
lógica de las entradas, da una salida en alto cuando
todas las entradas están en alto. La compuerta NAND
da una salida en bajo cuando todas las entradas están en
alto, es la AND negada.

La compuerta X-OR (OR exclusiva) da una salida en alto cuando
solamente una de las entradas (o un número impar de
ellas) está en alto. La X-NOR es igual a la anterior pero
la salida es en bajo cuando hay una sola entrada en alto, es la
X-OR negada.

La compuerta NOT (inversora) simplemente invierte el estado de
la entrada: si la entrada está en alto la salida
está en bajo y viceversa.

El pequeño círculo indica negar o invertir el
estado de la línea, es decir que si está en alto a
la entrada al círculo está en bajo a la salida, y
viceversa. En los diagramas este
círculo puede aparecer tanto a la salida de una compuerta,
como en los casos mostrados, o en alguna o algunas de las
entradas.

El número de entradas puede ser, básicamente,
cualquiera, la elección del dispositivo dependerá
de las funciones requeridas.

La funcionalidad del esquema con compuertas se muestra
normalmente por medio de las tablas de verdad, aunque debido a
que el tiempo de
respuesta no es nulo y puede controlarse exteriormente, es
posible diseñar temporizadores y generadores
cíclicos que actúan como osciladores o relojes, en
este caso resulta más explicativo utilizar diagramas de
tiempo.

El tratamiento es similar al de los interruptores
(utilizándose el álgebra de Boole, véase
Apuntes de Álgebra de Boole del autor) sólo que,
por ejemplo, en lugar de poner interruptores en serie se utilizan
compuertas AND y en lugar de interruptores en paralelo se usan
compuertas OR.

4.5.1 – COMBINACIÓN DE COMPUERTAS

Utilizando las compuertas básicas se pueden realizar
combinaciones que permiten una gran variedad de operaciones
lógicas. Como ejemplos indicamos la combinación de
dos de ellas para configurar una tercera:

Compuertas AND y NOT = NAND Compuertas OR y NOT = NOR

Compuerta NAND Compuerta NOR

Producto lógico negado S = (A ·
B)' Suma lógica negada S = (A +
B)'

Tabla de verdad

Tabla de verdad

Compuerta OR exclusiva (XOR), no corresponde a ninguna
operación lógica básica pero es muy
utilizada:

Tabla de verdad

La función es:

Compuerta NOR exclusiva (XNOR), la salida vale 1 cuando las
dos entradas son iguales:

Tabla de verdad

La función es:

Las puertas NAND y NOR poseen características tales
que, utilizando las leyes de Morgan, permiten la
realización de cualquier función lógica
usando solamente compuertas de un solo tipo. Veamos algunos
ejemplos:

Compuerta inversora:

Compuerta AND con NAND y OR con NOR:

Compuerta OR con NAND y AND con NOR:

La compuerta con histéresis posee la propiedad de que
su función de transferencia toma valores
umbrales distintos según la tensión de entrada
esté subiendo (VT+) o bajando (VT-).Esta
característica es conveniente para evitar oscilaciones no
controladas.

4.6 – CIRCUITOS
INTEGRADOS DIGITALES

Los sistemas electrónicos digitales se realizan en base
a la integración de compuertas lógicas y
demás elementos digitales en uno o varios circuitos
integrados conectados entre sí. Un circuito integrado (CI)
está formado por una oblea de silicio donde se puede
integrar multitudes de transistores y
otros componentes electrónicos y constituye un subsistema
digital (o, en general, electrónico); esta oblea de
silicio se encierra en una cápsula de cerámica o de plástico
dejando salidas para los terminales que permiten conectarlo con
la fuente de alimentación y
demás elementos externos.

El tipo de encapsulado más común es el llamado
dual en línea (DIP; dual in line package) con 14, 16, o
más patitas, dos de ellas reservadas para la
tensión de alimentación (Vcc) y la masa del sistema
(Gnd).

Según su complejidad se realiza una
clasificación por el número de compuertas que puede
integrar:

Complejidad Número de compuertas

Pequeña escala (SSI)
Menos de 12

Media escala (MSI) Entre 12 y 99

Gran escala (LSI) Entre 100 y 9.999

Muy alta escala (VLSI) Entre 10.000 y 99.999

Ultra alta escala (ULSI) Más de 100.000

La clasificación según su tecnología depende
del tipo de dispositivo electrónico que se utiliza para
realizar las compuertas lógicas. Según este
criterio existen CI bipolares, que utilizan transistores
bipolares tipo NPN o PNP, y unipolares, que utilizan
transistores de efecto de campo de
metal-óxido-semiconductor (MOSFET).

Las más extendidas son: la llamada TTL (transistor-transistor logic) bipolar, que ha
dominado el mercado durante
muchos años por su alta velocidad y
que requiere una alimentación de 5 voltios; y la llamada
CMOS (complementary MOS), unipolar de muy bajo consumo y que
está siendo mejorada en su velocidad, que requiere de 3 a
18 voltios según el integrado.

4.6.1 – CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS
BÁSICAS

a) De transferencia estática:

Es la relación entre la tensión de salida y la
tensión de entrada de una compuerta. Para el caso de una
inversora se aplica una fuente de tensión variable a la
entrada (Vi), se mide la tensión de salida (Vo) y se
confecciona una gráfica Vo/Vi. Si la compuerta fuese ideal
sería un escalón perfecto pero aparecen unos
márgenes de tensión para ambos niveles alto y bajo
y una zona de transición. Los márgenes quedan
limitados por las tensiones umbrales:

b) Márgen de ruido (Noise
margen):

Se denomina ruido a toda señal no deseada que se
superpone a la señal deseada. El ruido puede ser generado
por los propios componentes del circuito (ruido interno) o
proceder del exterior (ruido externo).

El ruido puede hacer variar una señal de forma tal que
pase de alto a bajo o viceversa. La capacidad de un circuito para
evitar esos cambios no deseados se denomina Inmunidad al ruido y
viene cuantificada por unos márgenes que cuantifican la
posible variación de una señal por efecto del ruido
sin afectar su nivel lógico. Para ello hay que tener en
cuenta que al conectar dos compuertas en cascada la
tensión de salida mínima de la precedente debe ser
mayor que la de entrada de la siguiente.

Se definen dos márgenes de ruido (NM), uno para el
nivel alto y otro para el bajo:

c) Cargabilidad de salida (Fan-out):

Es el número máximo de compuertas en paralelo
iguales a la especificada que se pueden conectar a la salida de
la misma. Esta limitación está determinada por la
capacidad de corriente que puede suministrar la compuerta y la
corriente tomada por la entrada de cada una de las conectadas a
ella.

d) Tiempo de propagación:

Es el tiempo que tarda una señal en atravesar una
compuerta, es decir la demora entre que se aplica la señal
de entrada y se obtiene la señal de salida. Existen dos
tiempos: el de paso de la señal de salida de nivel alto a
nivel bajo (tpHL), y el de paso de bajo a alto (tpLH); no siendo
en general iguales.

Para medirlos con precisión se toman los instantes en
que la señal de entrada como la de salida pasan por el 50%
de su valor máximo.

Los valores típicos para TTL son de 4 a 10 nanosegundos
(ns = 10-9 s) y para CMOS de 9 a 40 nanosegundos.

e) Consumo:Está determinado por el
producto de la tensión de alimentación (Vcc) por
la

corriente de alimentación (Icc). Este consumo se puede
expresar como total o por compuerta, para esto se tiene en cuenta
el número de compuertas que tiene el integrado.

Los valores típicos para TTL van de 1 a 10 milivatios
(mW= 10-3 W) y para CMOS del órden de los 2,5 nanovatios
(nW = 10-9 W).

f) Producto consumo-tiempo de
propagación:Los parámetros de tiempo de
retardo y de consumo, para una misma tecnología, son
contrapuestos entre sí: la mejora de uno empeora al otro.
Por esto es que se establece comparativamente la calidad por el
producto de ambos: Consumo x tiempo de retardo. La unidad de
medida es el picoJulio (pJ = 10-12 J). Esta unidad se utiliza
porque el consumo y el tiempo de retardo son muy pequeños,
por ejemplo para un TTL tendríamos:

10 nanosegundos x 10 milivatios = 10picojulios y para un CMOS
sería:

20 nanosegundos x 2,5 nanovatios = 50 x 10-6 picojulios

4.6.2 – FUNCIONAMIENTO DE UNA COMPUERTA TTL

Pondremos como ejemplo una compuerta NOT con entrada A y
salida Y. La estructura
elemental está formada por dos transistores Q1 y Q2
trabajando en conmutación:

Si la entrada A está en nivel bajo circula una
corriente por R1 y por la unión base-emisor de Q1; de esta
forma la tensión de base de Q1 es de 0,7 voltios. Esta
tensión es insuficiente para polarizar la unión
base-colector de Q1 y la base-emisor de Q2; por esto Q2 no
conduce y la tensión de salida está en nivel alto
(Vcc).

Si la entrada A está en nivel alto, no circula
corriente por la unión B-E de Q1, la tensión en la
base de Q1 será alta lo que permite la circulación
por Q2 y la salida estará en nivel bajo. El diodo D1
impide la circulación (cortocircuito para la fuente)
cuando A está en nivel alto.

Aunque el circuito puede servir como inversor en la
práctica se le agrega un circuito conocido como
"totem-pole" para conseguir mayor capacidad de corriente y
velocidad. Este adicional tiene dos transistores Q3 y Q4 que
funcionan en forma complementaria (cuando uno conduce el otro no)
y de esta forma la salida queda conectada a Vcc (alto) o a masa
(bajo). La función de D2 es evitar la conducción de
Q3 cuando lo hace Q4.

La compuerta NAND TTL es la básica para realizar
cualquier función lógica. La única
diferencia con la inversora está en que la entrada es un
transistor multiemisor, este conduce solamente cuando todas las
entradas estén a nivel bajo. Es decir que cuando todas
estén a nivel alto podrá conducir Q2 y la salida
estará a nivel bajo.

4.6.3 – FUNCIONAMIENTO DE UNA COMPUERTA CMOS

La ventaja inicial sobre la TTL es la sencillez pues utiliza,
para una compuerta NOR, sólo dos transistores de efecto de
campo: Q1, de canal P, y Q2, de canal N, cuyas compuertas (G1 y
G2) están conectadas entre sí formando la entrada,
los drenajes (D1 y D2) formando la salida, y las fuentes (S1 y
S2) conectadas a la alimentación.

El resumen de su funcionamiento es:

Partiendo del inversor con CMOS se pueden
realizar compuertas de mayor complejidad. Para una NOR de dos
entradas hacen falta un transistor N y uno P para cada una. En el
esquema siguiente la entrada A controla los Q1 y Q3 y la B los Q2
y Q4. La disposición es tal que la salida está
conectada a la alimentación sólo cuando A y B
estén en cero. En cualesquiera de las otras combinaciones
la salida estará a masa ya sea por Q3 o Q4.

Compuerta NOR con CMOS

4.6.4 – CIRCUITOS LÓGICOS COMBINACIONALES

Mediante la interconexión de distintos tipos de
compuertas y algunos elementos auxiliares se desarrollan
distintos circuitos digitales. Tales integraciones se clasifican
en circuitos combinacionales y circuitos secuenciales.

Los combinacionales están formados por una o varias
entradas y salidas, estas salidas sólo dependen del estado
lógico de las entradas en ese momento y no de los estados
anteriores. Las salidas de los circuitos secuenciales si dependen
de los estados anteriores además del estado actual.

Como ejemplos de circuitos combinacionales podemos indicar
aquellos que realizan operaciones aritméticas (sumas,
restas, multiplicaciones, etc), operaciones lógicas
(comparaciones), elementos de entrada y salida de los circuitos
(codificadores y decodificadores).

Como circuitos secuenciales podemos citar los contadores,
registros,
memorias,
etc.

Multiplexor

El llamado "Multiplexor" es un circuito combinacional que
actúa como un selector de datos, posee varias entradas y
la salida se conecta con una de las entradas en función de
la/las entrada/s de selección
o control. Es una llave selectora comandada por señales
lógicas.

Una aplicación del multiplexor es la de transformar una
serie de datos en paralelo en una salida de los mismos en serie.
Para ello se utiliza en forma auxiliar un reloj que va cambiando
las entradas de control para ir seleccionando los datos en forma
secuencial predeterminada.

Un caso sencillo sería un multiplexor de dos entradas
de datos (D0 y D1), una salida (Z) y una señal de control
(C). Cuando C = 0 es Z = D0 y cuando C = 1 es Z = D1.

La tabla de verdad es

La ecuación de Z es:

Z = C· D1'· D0+ C· D1· D0+
C· D1· D0'+ C· D1· D0= = C·
D0· (D1'+D1)+C· D1· (D0'+D0)=C·
D0+C· D1

El circuito es:

Un ejemplo más complejo es uno de cuatro entradas de
datos (D0 a D3) y dos de control (C0 y C1)

Tabla de verdad

Z = C1'· C0'· D0 + C1'· C0· d1
+

+ C1· C0'· D2 + C1· C0·
D3

Un ejemplo comercial es el 74151, multiplexor TTL de ocho
entradas de datos (D0-D7) y, por consiguiente, tres de control
(C0-C2); tiene una salida directa (Z) y otra inversa (Z').
Además posee una entrada de habilitación o "strobe"
(E) de forma tal que cuando E=0 funciona normalmente pero cuando
E=1 la salida Z está siempre en cero independientemente de
los datos y de los controles.

Semisumador

Es el sumador elemental de dos bits y se lo denomina
semisumador (half adder) porque es incapaz de realizar la suma
completa por no poseer entrada de acarreo anterior. La tabla de
verdad, la función y el circuito se indican a
continuación donde A y B son los bits a sumar, S es la
suma y C el acarreo.

Sumador completo

Posee una entrada auxiliar para el acarreo del
bit anterior de menor peso (C, "carry") y la salida de acarreo
generado es D.

Sumador paralelo comercial

En TTL el sumador comercial más utilizado es el 7483
que permite la suma de dos números de cuatro bits cada
uno. Posee cuatro salidas para el resultado, una para el acarreo
final y otra para el acarreo inicial. Con estas entradas de
acarreo se pueden conectar varios en cascada para sumar
números de más de cuatro bits.

Unidades
Aritmético-lógicas

Podemos citar otro dispositivo comercial más complejo:
las Unidades Aritmético-lógicas (ALU) entre ellas
la 74181. Este integrado puede realizar dieciséis
operaciones lógicas y dieciséis operaciones
aritméticas con dos palabras de cuatro bits. Tiene una
entrada de control para seleccionar si la operación es
lógica o aritmética y otras cuatro para seleccionar
la operación concreta. Además tiene otras entradas
auxiliares. Es prácticamente un computadora
elemental.

Apéndice

Apéndice 1

1.1.Derivadas

El conjunto de todas las funciones presenta una
diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades
generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que
las funciones continuas constituyen una clase
restringida, cabría esperar que se hallaran algunos
teoremas no triviales para ellas… Pero los resultados
más interesantes y más penetrantes acerca de
funciones sólo se obtendrán cuando limitemos
aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor
derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un
comportamiento
aún más regular que la mayor parte de las funciones
continuas.

Incrementos

El incremento ?x de una variable x es el
aumento o disminución que experimenta, desde un valor
x = x0 a otro x = x1 de su campo de
variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento ?x a la variable
x, (es decir, si x pasa de x = x0 a
x = x0 + ?x), la función y = f
(x) se verá incrementada en ?y = f (x0
+ ?x) – f (x0) a partir del valor y =
f (x0). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos
de la función en el intervalo comprendido entre x
= x0 a x = x0 + ?x. (Ayres, 22)]

Pendiente

Si h ( 0, entonces los dos puntos
distintos (a, f (a)) y (a+h, f
(a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya
pendiente es

Figura 6.

Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a,
f (a)) parece ser el límite, en algún
sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0.
Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de
rectas, pero podemos hablar del límite de sus
pendientes: La pendiente de la tangente (a, f
(a)) debería ser

Figura 7.

Definición

La función f es derivable
en a si

 existe.

En este caso el límite se designa por
f' (a) y recibe el nombre de derivada de
f en a. (Decimos también que
f es derivable si f es derivable en
a para todo a del dominio de
f.)

Definimos la tangente a la gráfica
de f en (a, f (a)) como la recta que
pasa por (a, f (a)) y tiene por pendiente
f' (a). Esto quiere decir que la tangente en
(a, f (a)) sólo está definida si
f es derivable en a.

Para una función dada f, la
derivada f' se designa a menudo por

No hace falta decir que las distintas partes de
esta expresión carecen de todo significado cuando se
consideran separadamente; las d no son números,
no pueden simplificarse, y la expresión completa
no es el cociente de otros dos números 'df
(x)' y 'dx'. Esta notación se debe a Leibniz
(generalmente considerado como el codescubridor independiente del
cálculo
infinitesimal junto con Newton) y es
llamada afectivamente notación de Leibniz.

Leibniz llegó a este símbolo a
través de su noción intuitiva de la derivada, que
él consideraba no como el límite de los cocientes
(f (a+h)-f (a))/h,
sino como el 'valor' de este cociente cuando h es un
número 'infinitamente pequeño'. Esta cantidad
'infinitamente pequeña' fue designada por dx y la
correspondiente diferencia 'infinitamente pequeña'
f (x+dx)-f (x) por
df (x). Aunque es imposible reconciliar este
punto de vista con las propiedades de los números reales,
algunos encuentran simpática esta noción de la
derivada.

La derivada de y = f (x) con
respecto a x se puede representar por uno cualquiera de
los símbolos

En otras palabras, la derivada de una
función en un punto nos da la pendiente de la tangente de
dicha función en ese punto

La diferencial de una función

La diferencial de una función
surgió históricamente del concepto de
'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno
nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el
siglo XVIII) fundamental en el análisis
matemático. Las ideas referentes a él sufrieron
cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Los
indivisibles, y más tarde la diferencial de una
función, se representaban como verdaderos
infinitésimos, como algo de magnitud constante
extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. La
definición dada en esta sección es la aceptada en
el análisis moderno. De acuerdo con esta
definición, la diferencial es una magnitud finita para
cada incremento ?x, y al mismo tiempo proporcional a ?x. La otra
propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a ?y,
sólo puede reconocerse 'en movimiento',
por así decirlo: si consideramos un incremento ?x que se
aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la
diferencia entre dy e ?y será tan pequeña
como se desee incluso comparada con ?x.

Esta sustitución de los incrementos
pequeños de la función por la diferencial forma la
base de la mayoría de las aplicaciones del análisis
infinitesimal al estudio de la naturaleza. El
lector verá esto de un modo particularmente claro en el
caso de las ecuaciones
diferenciales.

Dada la función y = f(x)
se define:

La diferencial de una variable independiente es,
por definición, el incremento que experimenta; sin
embargo, la diferencial de una variable dependiente o
función no es igual a su incremento. (ver fig.
23-1)

Fig. 23-1

Si dx = ?x es relativamente
pequeño con respecto a x, el valor de ?y se puede
obtener aproximadamente hallando dy.

1.2.Integrales

Aunque será necesario definirla de forma
esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un
concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos
debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición
de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y
ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a
esto…

En este capítulo intentaremos solamente
definir el área de algunas regiones muy especiales (figura
1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal,
las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la
gráfica de una función f  tal que
f (x) = 0, para todo x de [a,
b]. Conviene denotar esta región por
R(f, a, b) …

figura 1

figura 2

El número que asignaremos eventualmente
como área de R(f, a, b) recibirá
el nombre de integral de f sobre [a,
b]. En realidad, la integral se definirá
también para funciones f que no satisfacen la
condición f (x) = 0, para todo
x de [a, b]. Si f es la función
dibujada en la figura 2, la integral representará la
diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado
claro y de sombreado fuerte ('área algebráica' de
R(f, a, b)).

Supongamos que una curva situada por encima del
eje x representa la gráfica de la función
y = f (x). Intentemos encontrar el área
S de la superficie limitada por la curva y = f
(x), el eje x y las rectas que, pasando por los
puntos x = a y x = b, son paralelas al eje
y.

Figura 24.

Para resolver este problema se procede como
sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n
partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la
primera parte por ?x1, la de la segunda por ?x2, y así
sucesivamente hasta la última, ?xn. En cada parte elegimos
los números x1, x2, …, xn, y escribimos la
suma

Sn es evidentemente igual a la suma de
las áreas de los rectángulos de la figura 24.

Cuanto más fina sea la subdivisión
del segmento [a, b], más próxima se
hallará Sn al área S. Si
consideramos una sucesión de tales valores por
división del intervalo [a, b] en partes cada vez
más pequeñas, entonces la suma Sn
tenderá a S.

La posibilidad de dividir el intervalo [a,
b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por
subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no
sólo que n crece indefinidamente, sino
también que la longitud del mayor ?xi en la
n-ésima subdivisión tiende a cero.
Así:

El cálculo del área
buscada se ha reducido a calcular el límite (29)…, hemos
obtenido una definición rigurosa del concepto de
área: es el límite (29).

Apéndice 2

2.Instrumentos analógicos

2.1Introducción

Los instrumentos usados en mediciones eléctricas, son
dispositivos que acusan con una determinada exactitud, por medio
de una aguja material (índice) o inmaterial (haz de
luz) que se desplaza sobre una escala previamente
calibrada, indicando el valor de la magnitud eléctrica
medida.

El instrumento de medición se puede suponer formado por
dos sistemas-, 1) el sistema transductor y 2) el sistema
indicador. Por lo general el transductor está formado por
un circuito eléctrica/electrónico, adecuado el
cuál convierte la magnitud medida magnitud que
actúa sobre el sistema indicador, que por lo general es
una corriente
eléctrica proporcional a la magnitud medida.

La función a es función de Y y ésta es
función de

La magnitud a medir es X. y se transforma en otra Y, que es la
que actuará sobre el sistema indicador dando una respuesta
que representa la deflexión del sistema y que
llamamos a e indicara el valor de la magnitud medida X.

El sistema indicador tiene una parte fija y una parte
móvil y en ésta última se halla adosada la
aguja indicadora. La parte móvil se desplaza por acción
de las fuerzas que actúan sobre ella y por ende realiza un
trabajo, lo
cual implica consumo de energía. La energía
consumida es proporcionada por el sistema transductor y de
hecho éste la absorbe del circuito al cual esta
conectado. Una parte de la energía consumida se transforma
en energía mecánica en el sistema indicador y el resto
se transforma en. calor debido
al efecto Joule en. la resistencia
óhmica del instrumento.

La parte móvil está sometida a dos momentos de
fuerzas de sentidos opuestos, uno es el momento motor o
también llamado momento eléctrico, cuyo valor
depende de la magnitud medida, el otro momento de sentido opuesto
al momento eléctrico Me es el que tiende a llevar al
elemento móvil a su posición inicial ( cuando se
desconecta el instrumento )v también es el encargado de
equilibrar ai sistema medidor (cuando hay aplicada la magnitud
que se quiere medir) ya que cuando el sistema gira aparece un
momento que depende de la desviación, y si se
igualan, el sistema se detiene y ésta
posición es señalada por la aguja (indicando el
valor de la magnitud medida) por esta razón éste
momento se denomina momento antagónico Ma y generalmente
es producido por la torsión
de uno o dos espirales o de un hilo( como en algunos
galvanómetros).

Entonces la posición de equilibrio
corresponde a un ángulo a para el cual la sumatoria de los
momentos es nula.

El sistema indicador tiene una parte fija y una parte
móvil y en ésta última se halla adosada la
aguja indicadora. La parte móvil se desplaza por
acción de las fuerzas que actúan sobre ella y por
ende realiza un trabajo, lo cual implica consumo de
energía. La energía consumida es proporcionada por
el sistema transductor y de hecho éste la absorbe
del circuito al cual esta conectado. Una parte de la
energía consumida se transforma en energía mecánica en el sistema indicador y el resto
se transforma en. calor debido al efecto Joule en. la resistencia
óhmica del instrumento.

La parte móvil está sometida a dos momentos de
fuerzas de sentidos opuestos, uno es el momento motor o
también llamado momento eléctrico, cuyo valor
depende de la magnitud medida, el otro momento de sentido opuesto
al momento eléctrico Me es el que tiende a llevar al
elemento móvil a su posición inicial ( cuando se
desconecta el instrumento )v también es el encargado de
equilibrar ai sistema medidor (cuando hay aplicada la magnitud
que se quiere medir) ya que cuando el sistema gira aparece un
momento que depende de la desviación, y si se
igualan, el sistema se detiene y ésta
posición es señalada por la aguja (indicando el
valor de la magnitud medida) por esta razón éste
momento se denomina momento antagónico Ma y generalmente
es producido por la torsión de uno o dos espirales o de un
hilo( como en algunos galvanómetros).

Entonces la posición de equilibrio corresponde a un
ángulo a para el cual la sumatoria de los momentos es
n

FIG. 1. 1. Escalas de indicadores de
CC y CA: (A) escala lineal (CC) ; (B) escala cuadrática
(CA) ; (C) cero central (CC) .

2.2 MECANISMOS INDICADORES

Debido a la gran variedad de configuraciones que
adoptan los instrumentos indicadores, es esencial estar
familiarizado con los más comunes y con sus
especificaciones. Para transformar los efectos de la corriente o
el voltaje (CC o CA) en el desplazamiento de una aguja
indicadora, se emplean los más variados métodos. En
los párrafos siguientes se analizan los principios en
que, se basan los instrumentos indicadores más
importantes.

Sistema D'Arsonval

En la Figura 1.2 puede apreciarse un sistema
móvil de este tipo. Utiliza una bobina que termina en un
par de resortes antagónicos en espiral. (Figura 1.3 A), a
través de los cuales circula la corriente a medir. La
bobina, o cuadro móvil, está dentro del campo
magnético casi homogéneo que produce un imán
permanente y se desplaza con un movimiento giratorio (Figura 1.3
B) . El ángulo de rotación es proporcional a la
corriente que circula por la bobina. Una aguja, vinculada con el
cuadro móvil, indica la posición de éste
sobre una escala calibrada en términos de corriente o
voltaje. Este mecanismo indicador sólo responde a la
corriente continua y presenta una calibración casi lineal,
como se aprecia en la Figura 1.1 A, El "shunt" magnético,
que altera la intensidad del campo, se emplea para la
calibración.

Fig. 1.2. Sistema indicador D'Arsonval.

Fig. 1 .3. Princípios del mecanismo
D'Arsonval: (A) bobina con resorte a espiral y (B) movimiento
rotativo.

Sistema electrodinámico o
dinamométrico

El mecanismo dinamométrico representado en
la Figura 1.4 es muy semejante al sistema D'Arsonval, pero en vez
de utilizar un imán permanente emplea una segunda bobina a
través de la cual circula la misma corriente que pasa por
la bobina móvil (Figura 1.5).

Este tipo de mecanismo indicador puede utilizarse
tanto para médiciones de CA como de CC, pero su escala
tiene una calibración que sigue una ley cuadrática,
como se representa en la Figura 1.1 B.

Fig. 1.4. Sistema dinamométrico.

Fig. 1.5. Principios del mecanismo
dinamométrico: (A) conjunto de las dos bobinas y (B)
movimiento de rotación.

Sistema de hierro
móvil

Es el menos costoso de todos los indicadores de
lectura
directa. Su funcionamiento depende de la atracción o
repulsión mutua entre dos segmentos de hierro dulce
expuestos al campo magnético -de un solenoide recorrido
por la corriente a medir (Figura 1. 6). El mecanismo puede
díseñarse para medir CC o CA y sus
características de calibración dependen de la forma
y ubicación de los segmentos de hierro. Es un indicador
particularmente apropiado para medir valor efectivo.

El mecanismo que se presenta en la Figura 1 -7
es, probablemente, el ejemplo más común de
índícadores de hierro móvil. Una paleta fija
(Figura 1.8) repele a otra móvil en una medida que depende
de la corriente que circula por la bobina.

En instrumentos económicos, el resorte
espiral que actúa como carga de retroceso de la aguja
índicadora se reemplaza a veces por un imán
permanente que actúa como fuerza opositora a la de
deflexión. Puesto que estos instrumentos son muy sensibles
a las deformaciones del campo magnético, producidas por
masas cercanas de hierro o acero, deben
estar bien blindados.

Fig. 1.6. Principios del sistema de hierro
móvil.

Fig. 1.8. Relación entre las
lengüetas estacionaria y móvil.

Sistema de hilo caliente

En estos indicadores el desplazamiento que indica
el valor de la corriente, depende de la dilatación de un
fino alambre de platino (que se calienta por la corriente que
circula por él) . En la Figura 1. 9 se muestra su
principio operativo. Se trata de un verdadero indicador de valor
eficaz, que permite la medición de corrientes no
sinusoidales, porque la deflexión que se obtiene depende
del calor disipado (I2R) más que de la corriente (I) .
Otra propiedad de este mecanismo indicador es la de que se lo
puede aplicar en mediciones de corriente de alta frecuencia,
debido a que su impedancia es prácticamente una
resistencia óhmica pura y, en consecuencia, independiente
de la frecuencia. La calibración de la escala sigue una
ley cuadrática (Fig. 1-1 B) .

Fig. 1 .9. Principios del sistema indicador de
hilo caliente (CC o CA) .

Sistema electrostático

A diferencia de los anteriores indicadores, el
electrostático sólo mide diferencia de potencial
(voltaje) . Su funcionamiento se basa en la atracción o
repulsión de las fuerzas que aparecen entre electrodos
cargados con polaridades iguales u opuestas (Figura 1. 10) . Se
lo emplea para la medición de elevados voltajes de CC o CA
y la escala tiene una calibración alineal. Su
característica más sobresaliente es la elevada
impedancia de entrada.

Fig. 1.10. Principios del voltimetro
electrostático.

Indicadores de termocupla

Un indicador de termocupla consiste en un
elemento calefactor, una termocupla y un sistema D'Arsonval
(galvanómetro), como puede apreciarse en la Figura 1. 11.
La deflexión de un indicador termoeléctrico depende
de la cantidad de energía que se transforma en calor; por
consiguiente, indica valores eficaces, como sucede con el sistema
de hilo caliente. En consecuencia, la calibración de un
indicador de termocupla es alineal (Figura 1. 12), pero puede
aplicárselo en mediciones de CC o CA. En este
último caso puede tratarse de ondas
sinusoidales o más complejas.

Fig. 1.11. Principios del indicador de
termocupla.

Fig. 1.12. Escala de instrumento de termocupla
(rediofrecuencia )

Bibliografía

Álgebra Booleana y sus aplicaciones
– J. Eldon Whitesitt – Ed. C.E.C.S.A.

Autómatas Programables – Josep
Balcells y José Luis Romeral – Ed. Marcombo

Autómatas Programables. Fundamento,
manejo, instalación y prácticas – Alejandro
Porras Criado y Antonio Plácido Montanero Molina – Ed.
McGraw-Hill

Automation Systems – Edition 1994 –
Allen-Bradley

Cálculo Diferencial e Integral.
Ayres, F. Jr., (): México:
McGraw-Hill.

Calculus. Tomo 1. Spivak, M.,
(1975) Barcelona: Reverté.

Comprehensive Product Catalog – 1999
Edition – Rosemount

CRC Handbook of Thermoelectrics, de D.M.
Rowe. CRC Press (1995).

Electronic Designer's Handbook – 2nd
edition – L.J. Giacoletto – McGraw-Hill Books

Enfriamiento y Conversión de
Energía Mediante Elementos Termoeléctricos, de
J. M. Redondo. U.P.C. (1992).

Física, parte I – R. Resnick y D.
Halliday – Ed. C.E.C.S.A.

"Fuerza termoelectromotríz en semiconductores
bipolares: nuevo punto de vista", artículo de Yuri
Gurevich y Antonio Ortiz. Revista Mexicana de
Física. Vol. 49, págs. 115-122 (2003).

Ingeniería de Control Moderna
– Ogata,K. -3a. Edición

Introducción a la electrónica digital – Luis Gil
Sánchez – Universidad
Politécnica de Valencia

La Matemática: su contenido, métodos y
significado. 3 vols., Aleksandrov, A.D., Kolmogorov, A.N.,
Laurentiev, M.A., et al., (1985):Madrid:
Alianza.

Physics of Thermoelectricity, de Anatychuk
y Lukian. Institute of Thermoelectricity (1998).

Semiconductor Thermoelements, de Abraham
Ioffe. Akademia Nauk (1960). Semiconductors Thermoelements and
Thermoelectric Cooling, de A. F. Ioffe. Infosearch Ltd.
(1956).

Statistical Thermodynamics of Nonequilibrium
Processes, de J. Keizer. Springer-Verlag (1987).

The Radio Amateurs'
Handbook – American Radio Relay League

Thermoelectricity, de P.H. Egli. John
Wiley and Sons (1960).

Thermoelectricity and Thermoelectric Power
Generation, de D. Pountinen. Solid States Electronics
(1968).

Autor:

Prof. Arriaga Alejandro José

E.E.T N° 485 "Vcom. Marambio"

Departamento Electrotecnia

2009