Deducción de la ecuación que nos relaciona la velocidad tangencial con la velocidad angular de un punto con movimiento circular
En la industria
existe una gran variedad de dispositivos mecánicos que
tienen movimiento
circular, como es el caso de: los mecanismos de poleas y bandas,
las transmisiones por engranes, los volantes, las ruedas, etc.,
movimientos que mas adelante se convierten en movimiento de
translación; por lo anterior es importante contar con una
expresión matemática
que nos relacione estos dos conceptos, que nos permita calcular
por ejemplo la velocidad con
la que se está moviendo un vehiculo en función de
la velocidad angular de sus llantas.
En la figura a), tenemos dibujada la circunferencia que
describe un punto en un cuerpo que tiene un movimiento de
rotación alrededor de un eje. O,
Durante un intervalo de tiempo
?t, un punto del cuerpo en rotación, realiza el
desplazamiento vectorial ?S que va de "p" a
"q", cuya magnitud llamaremos ?S
De acuerdo a la definición de radián, podemos
escribir:
? ?- 
Si dividimos ambos miembros de esta igualdad entre
?t obtenemos:
Llevando al límite esta expresión cuando ?t ( 0,
tenemos:
Pero
velocidad
angular instantánea del punto en cuestión,
expresada en rad/ seg; y 
magnitud del vector velocidad
instantánea vt en dicho punto, llamada
también velocidad tangencial, ya que tiene la misma
dirección y sentido del vector
desplazamiento instantáneo ds, el cual es tangente
a la trayectoria en el punto que analizamos ( hay que observar
que conforme el intervalo de tiempo ?t se hace pequeño,
los puntos p y q, se acercan y el vector
desplazamiento ?s tiende a ser tangente a la trayectoria,
lo cual sucede en el límite cuando ?t= dt,). Es importante
hacer ver que el módulo del vector velocidad tangencial y
la magnitud de la velocidad angular instantánea no
necesariamente son pequeños, ya que como se puede
comprobar, el cociente de dos cantidades muy pequeñas
puede tomar cualesquier valor.
Por lo tanto la ecuación anterior nos queda:
o sea
en la que:
R= Longitud del radio de la
trayectoria circular del punto en cuestión, en m (S. I, y
S. T .U.), cm (sistema cgs), ft
o pulgadas (sistema Ingles)
vt = Magnitud del vector velocidad tangencial en el punto
analizado, en m/s (S. I. y S. T. U), ft/ seg o pulg/seg (sistema
Inglés), cm/seg. (Sistema cgs)
Como se ve esta ecuación nos relaciona la velocidad
tangencial con la velocidad angular instantánea.
Ejemplo de
aplicación en la industria:
La velocidad tangencial adecuada para cilindrar el hierro fundido
es de 60 cm/seg aproximadamente. ¿ a cuantas revoluciones
por minuto debe girar en un torno una pieza
de 5 cm de diámetro, para que sea cilindrada con calidad?
Nota: En el proceso de
cilindrado en un torno, no se puede trabajar con una velocidad de
corte cualquiera. Si la velocidad de corte es demasiado
pequeña, el tiempo invertido en el trabajo
resulta demasiado largo y si la velocidad es demasiado grande, la
herramienta de corte pierde su dureza a consecuencia del fuerte
calentamiento, se desgasta prematuramente y se pierde
inútilmente tiempo y un material costoso.
SOLUCIÓN
Datos:
vt = 60 cm/seg
D= 5 cm.
R = 2.5 cm.
Incognitas:
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