Deducción de la ecuación que nos relaciona la velocidad tangencial con la velocidad angular de un punto con movimiento circular

Partes: 1, 2

2. Solución
3. Bibliografía
4. Resumen

En la industria existe una gran variedad de dispositivos mecánicos que tienen movimiento circular, como es el caso de: los mecanismos de poleas y bandas, las transmisiones por engranes, los volantes, las ruedas, etc., movimientos que mas adelante se convierten en movimiento de translación; por lo anterior es importante contar con una expresión matemática que nos relacione estos dos conceptos, que nos permita calcular por ejemplo la velocidad con la que se está moviendo un vehiculo en función de la velocidad angular de sus llantas.

En la figura a), tenemos dibujada la circunferencia que describe un punto en un cuerpo que tiene un movimiento de rotación alrededor de un eje. O,

Durante un intervalo de tiempo ?t, un punto del cuerpo en rotación, realiza el desplazamiento vectorial ?S que va de "p" a "q", cuya magnitud llamaremos ?S

De acuerdo a la definición de radián, podemos escribir:

? ?-

Si dividimos ambos miembros de esta igualdad entre ?t obtenemos:

Llevando al límite esta expresión cuando ?t ( 0, tenemos:

Perovelocidad angular instantánea del punto en cuestión, expresada en rad/ seg; y magnitud del vector velocidad instantánea vt en dicho punto, llamada también velocidad tangencial, ya que tiene la misma dirección y sentido del vector desplazamiento instantáneo ds, el cual es tangente a la trayectoria en el punto que analizamos ( hay que observar que conforme el intervalo de tiempo ?t se hace pequeño, los puntos p y q, se acercan y el vector desplazamiento ?s tiende a ser tangente a la trayectoria, lo cual sucede en el límite cuando ?t= dt,). Es importante hacer ver que el módulo del vector velocidad tangencial y la magnitud de la velocidad angular instantánea no necesariamente son pequeños, ya que como se puede comprobar, el cociente de dos cantidades muy pequeñas puede tomar cualesquier valor.

Por lo tanto la ecuación anterior nos queda:

o sea

en la que:

R= Longitud del radio de la trayectoria circular del punto en cuestión, en m (S. I, y S. T .U.), cm (sistema cgs), ft o pulgadas (sistema Ingles)

vt = Magnitud del vector velocidad tangencial en el punto analizado, en m/s (S. I. y S. T. U), ft/ seg o pulg/seg (sistema Inglés), cm/seg. (Sistema cgs)

Como se ve esta ecuación nos relaciona la velocidad tangencial con la velocidad angular instantánea.

Ejemplo de aplicación en la industria:

La velocidad tangencial adecuada para cilindrar el hierro fundido es de 60 cm/seg aproximadamente. ¿ a cuantas revoluciones por minuto debe girar en un torno una pieza de 5 cm de diámetro, para que sea cilindrada con calidad?

Nota: En el proceso de cilindrado en un torno, no se puede trabajar con una velocidad de corte cualquiera. Si la velocidad de corte es demasiado pequeña, el tiempo invertido en el trabajo resulta demasiado largo y si la velocidad es demasiado grande, la herramienta de corte pierde su dureza a consecuencia del fuerte calentamiento, se desgasta prematuramente y se pierde inútilmente tiempo y un material costoso.

SOLUCIÓN

Datos:

vt = 60 cm/seg

D= 5 cm.

R = 2.5 cm.

Incognitas: