Experiencias metodológicas en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Matemática (página 2)

Es de importancia que los estudiantes de agronomía
también relacionen los procesos
químicos, físicos, biológicos y sociales que
ocurren en los agrosistemas, reconociendo las especies y
variedades de plantas y
animales
presentes, con preceptos de conservación y
protección, utilizando modelos
matemáticos con el auxilio de la computación como herramienta y con el apoyo
de la bibliografía necesaria y disponible.

El trabajo
profesional en la esfera agrícola no está excento
del desarrollo
matemático alcanzado mundialmente, su aplicación a
problemas
biotecnológicos, la aplicación de técnicas
de simulación, entre otros, así lo
confirman.

La Matemática
en la especialidad tiene como objetivo
fundamental, modelar situaciones que conduzcan a problemas de la
rama agropecuaria con una interpretación económica que
justifique su efectividad, utilizando la computadora
como una herramienta de trabajo sistemático, que agilice y
de respuestas efectivas a dichos problemas.

A continuación destacamos la influencia de algunos
núcleos básicos de la Matemática y las
disciplinas en las cuales hay incidencias:

Analicemos algunos de los modelos que con más
frecuencia se utilizan en las diferentes disciplinas de la
especialidad de Agronomía, refiriendo al núcleo
básico al que pertenecen:

• Cálculo del PH de los suelos conociendo la
  concentración de Hidrónio, de utilidad en
  Química por su importancia en el estudio de
  característica de los suelos asi como el proceso
  inverso (funciones)

• Curvas de respuesta (funciones)

La relación entre los incrementos del rendimiento de
los cultivos y el nutriente con que son abonados se denomina
curva de respuesta al fertilizante.

En general, el incremento del rendimiento que resulta de cada
sucesiva adición de nutriente, va siendo cada vez menor.
Este fenómeno se denomina ley de los
aumentos decrecientes. Matemáticamente, puede hallarse un
gran número de formas funcionales que reflejan la
disminución de los incrementos.

Entre las curvas de respuesta a los fertilizantes
comúnmente usadas, figura la siguiente:

• Ecuación de MITSCHERLICH.

donde:

y0- rendimiento obtenido sin adición de nutriente.

y- rendimiento correspondiente a la aplicación de x
unidades de nutrientes.

x- nivel de fertilización.

d- respuesta limitada

k- medida de la curvativa de la curva de respuesta.

Este modelo tiene
un alto nivel de generalización en el componente del
sistema que
estudia, lo que se expresa en considerar:

1 – Un rendimiento inicial sin aplicación de
fertilizantes yo.

2 – Una asíntota para niveles normalmente altos de
fertilización.

Sus limitaciones son:

• 1- No considera que el rendimiento inicial sin
  aplicación de fertilizante es función de la
  composición inicial del suelo.

• 2- No toma en cuenta la brusca disminución de
  los rendimientos producidos por una sobredosis de
  fertilizantes.

• El equilibrio de una partícula cuando la resultante
  de todas las fuerzas que actúan sobre esa
  partícula es cero (Algebra Lineal)

• Dos Parcelas de la misma clase de tierra, pero una
  horizontal y otra a media ladera, que tengan ambas la misma
  superficie agraria, tienen la misma capacidad productiva. La
  importancia de los surcos teniendo en cuenta las curvas de
  nivel es proteger los cultivos de la erosión de los
  suelos producto de las lluvias (Geometría
  Analítica)

• Cálculo de la dosis óptima de fertilizantes
  basado en modelos continuos de respuesta.
  (cálculo diferencial e integral)

• Condición de máxima eficiencia en la
  sección transversal de un canal con la misma
  inclinación de taludes (cálculo
  diferencial e integral)

• Condición de mínima filtración en la
  sección transversal de un canal con la misma
  inclinación de taludes (cálculo
  diferencial e integral)

• Para calcular trabajo en los isoprocesos
  (cálculo diferencial e integral)

• Para calcular área de terrenos de forma irregular a
  partir de mediciones en el campo (cálculo
  diferencial e integral)

• Calculo del índice de crecimiento de una planta
  (cálculo diferencial e integral)

• Velocidad de infiltración (cálculo
  diferencial e integral)

Fórmula de A.N. Kostiakov. Establecida
mediante investigaciones
teóricas y experimentales

Para conocer la lámina de agua acumulada
ht, para determinado tiempo de
infiltración se procede:

Donde V0 – velocidad
media de infiltración en la primera unidad de tiempo.

Para conocer la velocidad media de infiltración para un
tiempo dado se procede:

El conocimiento
de la permeabilidad de los suelos es de
importancia primordial en el establecimiento de la técnica
de riego.

• En termodinámica para definir la entropía de
  un sistema (cálculo diferencial e
  integral)

T- temperatura
dq- depende del tipo de proceso

• Distribución normal (cálculo
  diferencial e integral)

Se utiliza fundamentalmente para comparar poblaciones de
plantas ó animales.

Por lo tanto:

Con el uso de tablas estadísticas se puede hallar el área
bajo ésta curva o en algún intervalo que sea de
interés
para calcular la probabilidad
de ocurrencia de un fenómeno de carácter agropecuario.

• Multiplicacion de las Bacterias (Ecuaciones
  Diferenciales)

Bajo el supuesto de que la velocidad de multiplicación
es proporcional al número disponible de bacterias en
cada instante, se expresa mediante la ecuación
diferencial:

0 (1)

x- número de bacterias presentes en t minutos

t- tiempo

k- constante de multiplicación.

su solución es en la literatura se reconoce como
curva de multiplicación, que graficada se obtiene:

Se observa que a medida que transcurre el tiempo, el
número de bacterias crece exponencialmente.

• Desnaturalización protéica de las enzimas
  (Ecuaciones Diferenciales

• Dinámica de crecimiento de una población
  (Ecuaciones Diferenciales)

Han sido solo algunos ejemplos de la infinita variedad de modelos
matematicos establecidos o no, que reflejan mediante expresiones
un proceso
biologico, quimico o fisico. La matemática le brinda al
estudiante la posibilidad de modelarlo, resolverlo e interpretar
la solución obtenida, asi como desarrollar en él
las habilidades del pensamiento
lógico que propicien volver al objeto inicial y comparar
fenómeno solución y elaborar conclusiones,
desarrollando capacidades en la toma de
decisiones. Pero debemos lograr que estas disciplinas en
años superiores enfoquen estos fenómenos de la
misma forma como continuidad del proceso integral de formacion
del ingeniero.

Y poco a poco contribuir, entre todos, a
erradicar de la mente de alumnos, profesores y profesionales de
la rama la idea de la poca o nula necesidad de la
matemática en la formación del agrónomo.

Programa Director
de Matemática.

La propuesta curricular de la Matemática fundamentada
en el enfoque sistémico estructural funcional se
concibió a partir de precisar el objeto fundamental de
estudio, analizar la estructura y
funciones de
este y los niveles jerárquicos por los cuales tiene que
transitar su estudio. La matemática de forma directa e
indirecta contribuye a la formación profesional del
especialista, de forma indirecta en la formación
básica que requieren las disciplinas y de forma directa en
la solución de problemas vinculadas a su perfil
profesional, de esta forma es preciso esclarecer cuales son estos
problemas fundamentales para determinar las funciones de la
Modelación Matemática en la Carrera de
Agronomía y estructurar la disciplina de
forma que estas funciones se concreten a través de los
componentes fundamentales del proceso docente: docencia,
producción e investigación, considerados en mutua
interrelación.

En la especialidad de Agronomía se pone en vigor el
Plan "A" con
las asignaturas Matemática Superior I, II, III,
lográndose un equilibrio en
las horas clases a impartir y el volumen de los
contenidos incluidos en cada una de ellas. Este Plan no fue tan
efectivo como se esperaba puesto que la distribución de los contenidos no
respondía a la articulación con las demás
disciplinas y en la enseñanza prevalecieron los métodos
expositivos, por esto se comienza la implantación del
perfeccionamiento dando lugar al Plan de estudios "B".

En el Plan "B" fundamentalmente se realiza una integración y redistribución de los
contenidos de las asignaturas, manteniendo como asignaturas,
Matemáticas I, II, III.

Entre los lineamientos del perfeccionamiento (Plan "B") se
orienta reforzar la aplicación de la computación,
el uso del idioma extranjero, además de emplear la
Matemática y las técnicas de computación
como herramientas
que le permitan agilizar la solución de problemas
relacionadas con la profesión.

Este Plan adoleció de no poder impartir
todos los que estaban fundamentados en el perfil del
especialista. Para suplir esta deficiencia se comienza un nuevo
perfeccionamiento que da lugar en 1990 al Plan estudios "C".

En el Plan "C" se realiza una nueva reestructuración
del contenido mediante disciplinas, con ello se logra un nivel
matemático superior, al confeccionarse como documento
único el programa de la
disciplina, se incluye la Programación
Lineal, muy necesaria para el futuro especialista, pues
mediante esta técnica pueden resolverse diversos problemas
vinculados con los procesos agropecuarios. Uno de los mayores
logros de la creación del Plan "C" es la concepción
de un especialista de perfil amplio.

Para esto se instrumenta como uno de los objetivos
fundamentales de las Matemáticas la modelación de
problemas concernientes a toma de decisiones planteadas en las
esferas agropecuarias. Se trabajó en una
readecuación del plan de estudios "C", la cual se aviene
con las condiciones socioeconómicas y productivas, con la
finalidad de concretar y consolidar las concepciones y
experiencias acumuladas en el orden pedagógico
científico y productivo.

En el plan "C" la Carrera de Agronomía tenia 3
disciplinas muy relacionadas entre sí: Matemática
Superior (tres asignaturas), Computación (una asignatura)
y Biometría (dos asignaturas). En este perfeccionamiento
se incluyen en la disciplina de Matemática cuatro
asignaturas: Matemática I, Matemática II,
Computación y Biometría y Diseño,
eliminándose la Matemática III, aunque se mantiene
la modelación de problemas como el objetivo fundamental y
el sistema de conocimientos no sufren cambios significativos.

La disciplina en el plan "C" constaba con 178 horas, las
cuales se dedicaban solo a la impartición de contenidos
Matemáticos. En el plan "C" perfeccionado, el
número de horas es de 340, pero a las Matemáticas
solo se dedican 154 horas siendo el resto dedicadas a las
asignaturas de Computación y Biometría y
Diseño. Como se observa en el nuevo plan a las
Matemáticas solo se le reducen 24 horas, lo que no influye
negativamente en la impartición de las asignaturas si se
utilizan nuevos métodos y medios de
enseñanza en el proceso de aprendizaje como
son:

• - Concretar y estructurar racionalmente los
  contenidos de las asignaturas de Matemática que
  necesita el Ingeniero Agrónomo para resolver problemas
  de la especialidad, aplicando la modelación
  Matemática y los medios de cómputo como una
  herramienta de solución.

• - Hacer énfasis en conceptos y definiciones
  dejando la excesiva cantidad de cálculos en un segundo
  plano.

• - Hacer una utilización más eficiente
  de los textos básicos y complementarios en el estudio
  sistemático e individual del estudiante y confeccionar
  materiales de estudio para el mejor desarrollo del proceso
  docente.

• - Diseñar actividades y tareas que integre la
  aplicación de los contenidos matemáticos dentro
  y fuera de la disciplina Matemática que culmine con la
  realización al final del año de un trabajo de
  curso donde se vinculen la mayoría de las asignaturas
  incluyendo la Matemática.

• - Aplicación de métodos que influyan en
  la participación activa de los estudiantes en el
  proceso de aprendizaje tanto individual como colectivamente,
  incluyendo técnicas de aprendizaje.

Nuestra propuesta respeta esta concepción de
asignaturas y horas, pero fundamenta una redistribución de
contenidos dentro de las Matemáticas, para realizar la
misma se hizo un estudio exploratorio, se aplicaron encuestas y
entrevistas a
jefes de carrera, disciplinas, profesores de experiencia, alumnos
de diferentes años de la carrera. Se revisaron planes de
estudio, programas,
textos, planes de clases y se logró determinar en que
aspectos podría la Modelación Matemática
trabajar directamente sobre los contenidos de las 16 disciplinas
que integran el plan de estudio.

Teniendo en cuenta estos aspectos, se estructuraron los
contenidos de las matemáticas para Agronomía de
forma que se pueda contribuir al logro de los objetivos
declarados en el modelo del especialista y que sea un instrumento
importante en la solución de los problemas que se le
presentan al egresado en la práctica
profesional actual y perspectiva.

Se propone impartir una nueva asignatura, no incluida hasta el
momento en el plan de estudio: Optimización de procesos
Agropecuarios, en dos variantes: facultativa y opcional, ya que
en el último año de la carrera le ofertan muchas
asignaturas de interés a los estudiantes, para
seleccionar, por lo que también tendrán la
oportunidad de cursarla en 4to año de forma
facultativa

Sistema de conocimientos:

El problema de la Programación Lineal. Supuesto del Modelo.
Conjuntos
Convexos. Propiedades. Puntos extremos. Hiperplanos.
Solución gráfica de un problema de PL. Ideas
básicas del método
Simplex. Resolución de problemas de PL utilizando
paquetes de programas. Interpretar la solución
óptima.

Conceptos básicos de los sistemas de
servicio y de
inventario.
Modelos Matemáticos y algoritmos de
solución. Análisis de
sistemas. Introducción a la Simulación de
eventos
discretos. Técnicas para su uso. Análisis estadístico de los datos de entrada
y salida. Ejemplos prácticos generales.

Sistemas de Habilidades.

• 1. Modelar fenómenos de carácter
  agropecuario utilizando la programación Lineal.

• 2. Resolver problemas propios de su especialidad
  utilizando software especializado e interpretar la
  solución.

• 3. Mantenerse actualizados sobre la importancia de la
  Simulación en la solución de problemas
  agropecuarios como tendencia mundial.

Recomendaciones Metodológicas:

• 1. Se recomienda discutir los modelos más
  utilizados en la literatura científica:

• Planificación de las raciones óptimas multi
  – ingredientes.

• El balance alimentario vacuno.

• El parque de tractores y maquinarias agrícolas.

• Planificación del riego.

• 2. Utilización de paquetes de programas como
  INSOL, STORM, SIMUFRE, Mathprog, entre otros.

• 3. Realizar seminarios donde se debatan los
  diferentes problemas de PL y se refleje el nivel actual y los
  problemas principales de aplicación de la
  Simulación a temáticas agropecuarias.

• 4. Realizar un trabajo de curso que aplique los
  conocimientos adquiridos y que de solución a problemas
  de la rama agropecuaria, que redunde en beneficio de la
  sociedad.

La propuesta curricular antes expuesta tiene un
carácter integrador y está concebida como un
sistema único, capaz de ayudar a la formación de un
profesional de perfil amplio y creador. Además es novedosa
pues propone el tema "Introducción a la simulación"
como un aspecto de gran importancia para la formación del
Ingeniero Agrónomo teniendo en cuenta que los procesos
agropecuarios tienen carácter biológico. El
conocimiento de aspectos de esta ciencia
contribuirá a pronosticar y por ende a decidir sobre el
comportamiento
de diferentes fenómenos de carácter aleatorio que
inciden en la producción agropecuaria. Así el
futuro ingeniero podrá de una forma hábil y
creadora resolver los disímiles problemas que se presentan
en las unidades agropecuarias, contribuyendo de esta forma a la
recuperación a corto plazo de la agricultura
cubana.

Experiencias en el trabajo
metodológico en la impartición de la
Matemática I y Matemática II, utilizando este
diseño curricular:

• Se implementó el uso sistemático paquetes de
  programas y tablas matemáticas

Tradicionalmente en la carrera de Agronomía se
utilizaban con mucha frecuencia los métodos de
cálculos impartidos por el profesor en
clases. Los estudiantes se veían en la necesidad de
resolver derivadas e
integrales de
funciones que en ocasiones no resultaban tan sencillas y que
ellos nunca se iban a encontrar en problemas prácticos de
su profesión, conscientes de que de todos los medios de
cálculos actuales, las computadoras
electrónicas son las más importantes herramientas
que se deben utilizar en el proceso de enseñanza de la
Matemática y su uso sistemático es imprescindible
para adquirir habilidades en el manejo del software que se imparta, en
el estudio de la Matemática los estudiantes de
agronomía aplican la computación en temas como:

• Ajuste de curvas.

• Integración aproximada.

• Trazado de curvas

• Programación Lineal

Utilizándose como medio de enseñanza, para
motivar al estudiante y resolver problemas vinculados con su
especialidad, así como herramienta de cálculo:
eliminando el desarrollo de habilidades de cálculos
engorrosos dejando esto a la computadora.
Se utiliza también para desarrollar el trabajo
independiente de los estudiantes, en las tareas extraclases,
donde se promueve además de la interdisciplinaridad, el
desarrollo del carácter investigativo de los
estudiantes.

• Se desarrollaron dos seminarios sobre:

• Teoremas fundamentales del cálculo diferencial.

• Aplicación del Cálculo Integral a la
  solución de problemas

• Trabajo extraclase sobre el trazado de curvas aplicando la
  computación.

• Evaluaciones parciales integradoras con la
  participación de varias disciplinas.

• Desarrollamos un seminario sobre problemas de
  PL (utilizando literatura actualizada y artículos
  científicos)

• Trabajo de control extraclase donde el estudiante busca,
  modela, resuelve e interpreta la solución de un
  problema de P. Lineal buscado en una empresa del territorio.
  Se finaliza la tarea con un taller evaluativo donde se
  exponen los mejores problemas presentados por los
  estudiantes. Algunos de estos trabajos vinculados a la
  asignatura integradora Práctica Agrícola y
  todos aplicando la computación.

La
evaluación, componente esencial del
proceso

Es una realidad que la matemática en las carreras de
Ingeniería constituye uno de los
obstáculos fundamentales para sobrepasar los primeros
semestres y muchos la consideran como un medio para decantar la
matrícula de estas carreras. La Ingeniería
Agronómica, no escapa de este fenómeno actual por
lo que nuestro trabajo pretende responder varias de las
interrogantes que se han generado del problema:

• ¿Qué matemática enseñar a
  estos estudiantes?

• ¿Cómo enseñar la
  matemática?

• ¿Cómo evaluar lo que enseñamos?

Los medios y procedimientos
utilizados para tomar muestras de los resultados del proceso
enseñanza – aprendizaje en forma sistemática
y cuyo análisis permiten hacer un juicio sobre la medida y
calidad con
que se logran los objetivos, son los controles.

Algunos tipos de controles desarrollados en el proceso:

Sistemáticos, Parciales, Trabajos
extraclases, Seminarios, Talleres,
Concursos

Prueba Parcial Integradora: interrelacionando con otras
asignaturas del año (anexo)

Luego de varios años vinculándonos con
diferentes asignaturas para realizar diversas evaluaciones
parciales, se diseñó esta prueba integradora de
conocimientos, cuyos resultados han sido superiores en
comparación con el resto de las pruebas
parciales aplicadas en el primer semestre:

Medios de
enseñanza confeccionados

• Manual "Problemas y ejercicios de análisis
  matemático para estudiantes de Ingeniería
  Agronómica".

Proporciona a los estudiantes de 1er año un
único libro donde no
sólo se han adecuado los ejercicios, según las
necesidades actuales y futuras de los agrónomos, sino que
todos los capítulos que están desarrollados en
él, tienen la misma concepción de
interdisciplinaridad con un enfoque problémico y se
resuelven algunos ejemplos vinculados con las asignaturas de la
especialidad.

Capítulo I Nociones de Algebra
Lineal.

Capítulo II Funciones

Capítulo III Límite y continuidad
de una función de
variable real

Capítulo IV Cálculo Diferencial

Capítulo V Cálculo Integral

Capítulo VI Ecuaciones
Diferenciales

Capítulo VII Problemas de
Optimización

Capítulo VIII Programación
Lineal

• Folleto "Problemas de programación lineal aplicados
  a la producción agropecuaria".

Concebido como material donde profesores y estudiantes pueden
estudiar, profundizar conocimientos, ya que no sólo
está dirigido a los estudiantes del primer año,
sino que debe ser bibliografía obligada para una
asignatura que se está proponiendo impartir de forma
optativa o facultativa a los estudiantes de años
superiores.

Los problemas aquí presentados pueden ayudar en la
formación de un profesional capaz de tomar decisiones que
eleven la productividad de
la esfera agropecuaria a niveles tales que satisfagan en alguna
medida las crecientes demandas de la población. Han sido recopilados de
artículos y textos anteriores, así como
enriquecidos con los problemas de la esfera social y productiva
que durante varios años nuestros estudiantes han modelado,
resuelto e interpretado en sus tareas extraclases.

Bibliografía:

• 1. Cañas, Raúl.
  Análisis de sistemas de simulación en el
  planteamiento de modelos para la resolución de
  problemas agrícolas. RCIA, Chile, 1992, V19, N1-2.

• 2. Hing Corton, Rosina. Seminario de
  Educación Matemática. Conferencia #2.
  Universidad EAFIT, Medellín, Colombia. 1997.

• 3 López Fleites, Ramon y
  colectivo de autores. Modelo del profesional y plan de
  estudio del Ingeniero Agrónomo. Habana, Marzo
  1999.

• 4  López Palacio, Juan. Los
  Principios Didácticos y el proceso docente en la
  educación superior. UCLV, 1982.

• 5 López, Jesús.
  Análisis bidimensional en la infiltración en el
  riego por surcos. Revista Agrociencia, México, 1997,
  V31, N3.

• 6 Ortega Díaz, Ramón A.
  Metodología de la enseñanza de la asignatura
  Programación Lineal en la Carrera de agronomía.
  UCLV, 1996.

• 7 Ortega Diaz, Ramón A.
  Perfeccionamiento de la Enseñanza de la
  Matemática en la Carrera Agronomía. Tesis para
  optar por el grado Maestro en Ciencia. UCLV. 2000.

• 8 Talízina, N.F. Conferencias de
  la Educación Superior. Editorial Pueblo y
  Educación, 1985.

• 9 Rodríguez, Eugenio C.La
  superación del profesor de Matemática en la
  Universidad de hoy. Una experiencia cubana.COMAT´99.
  Matanzas 1999.

• 10 Yepis Vargas, Olga y colectivo de
  autores. El perfeccionamiento del trabajo interdisciplinario
  por año como herramienta básica para la
  formación integral del profesional universitario.
  Conferencia internacional de Ciencias de la Educación.
  Universidad de Camagüey. Diciembre 1999

Anexo

Universidad Central "Marta Abreu" de Las
Villas.

Facultad de Ciencias
Agropecuarias

Especialidad:
Agronomía

Año: primero

Evaluación integradora

Semana 16

Asignaturas:

• ? Practica agrícola I

• ? Matemática I

• ? Computación

Problema: Estimar áreas de campos de
cultivos

Objetivos:

• ? Determinar el área de superficies
  irregulares aplicando modelos matemáticos sencillos y
  de alguna complejidad utilizando además la
  computación como una herramienta auxiliar.

• ? Demostrar destreza en la aplicación de los
  conocimientos de la asignatura computación en otras
  asignaturas.

Tareas a realizar

• 1. Hacer el trabajo práctico de campo

• 2. Elaborar un esquema del campo con todas sus
  magnitudes.

• 3. Realizar la estimación del área del
  campo por métodos de la geometría elemental
  (descomponiendo en tantas figuras geométricas como sea
  necesario).

• 4. A partir de las magnitudes conocidas aplicar el
  modelo Integral Definida y los métodos
  numéricos para estimar el área.

• 5. Utilizar programas de computación para
  hacer dichos cálculos.

• 6. Demostrar habilidades en el uso de la
  computación teniendo en cuenta los conocimientos
  recibidos.

Criterio para otorgar la evaluación:

Las asignaturas en particular manejarán criterios en
sus evaluaciones parciales, pero a los estudiantes se les
otorgará una evaluación única, que
recogerá el criterio parcial de las tres asignaturas a
evaluar.

Autor:

MSc. Ramón A.
Ortega Díaz

Lic. Aida M.Torres Alfonso

Dra. Norma Santos Marín

Dr. Ramón López Fleites

U.C.L.V.

Santa Clara Cuba