Integrales indefinidas

Partes: 1, 2

2. Integración de funciones racionales de seno y coseno
3. Bibliografía recomendada

MÓDULO 1

INTEGRALES INDEFINIDAS

Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada.

Antiderivada.

Una función F se denomina antiderivada de una función f en un intervalo I si para todo

Ejemplo.

Si F es la función definida por entonces De modo que si entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la función definida por entonces G también es una antiderivada de f, porque En realidad, cualquier función H definida por donde C es una constante, es una antiderivada de f.

Teorema 1.

Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que para todo entonces existe una constante K tal que para todo

"La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo denota la operación de antiderivación, y se escribe donde y

En la igualdadx es la variable de integración, es el integrando y la expresión recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de f. Si es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es

Teorema 2.

Teorema 3.

donde a es una constante.

Teorema 4.

Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces

Teorema 5.

Si las funciones están definidas en el mismo intervalo, entonces

donde son constantes.

Teorema 6.

Si n es un número racional, entonces

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

2) Calcule

Solución.

3) Determine

Solución.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.

Teorema 7.