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Integrales indefinidas (página 2)

Enviado por Eleazar José García



Partes: 1, 2


Teorema 8.

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Teorema 9.

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Teorema 10.

Monografias.com

Teorema 11.

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Teorema 12.

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Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

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2) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

3) Determine Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Calcule las integrales indefinidas:

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Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación.

Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces Monografias.com

Teorema 14.

Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

y observe que si Monografias.comentonces Monografias.comPor lo tanto, se necesita un factor 3 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comEn consecuencia, se escribe

Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Solución.

Observe que si Monografias.comentonces Monografias.comPor lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comLuego, se escribe Monografias.com

  • 3) Evalúe Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comse escribe Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Monografias.com

En los teoremas que se presentan a continuación Monografias.comes una función de x, es decir, Monografias.com

Teorema 15.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

En este caso Monografias.compor lo tanto, Monografias.comluego se necesita un factor 3 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comEntonces, se escribe

Monografias.com

Teorema 16.

Monografias.com

Ejemplo.

Calcule Monografias.com

Solución.

Consideremos Monografias.comtenemos que Monografias.comluego necesitamos un factor 6 junto a Monografias.compara obtener Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

Teorema 17.

Monografias.com

Ejemplo.

Calcule Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comentonces Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

Teorema 18.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Siendo Monografias.comentonces Monografias.comluego, podemos escribir

Monografias.com

Teorema 19.

Monografias.com

Ejemplo.

Resuelva Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva las integrales indefinidas:

Monografias.com

Teorema 20.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Sea Monografias.comentonces, Monografias.compor lo tanto

Monografias.com

Teorema 21.

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Como Monografias.comse aplica el teorema 21 con Monografias.comde donde obtenemos, Monografias.comentonces

Monografias.com

Ejercicios.

En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida.

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A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se obtienen algunas fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas fórmulas.

Teorema 22.

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El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.

Teorema 23.

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Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Con la finalidad de completar el cuadrado de Monografias.comse suma Monografias.comy como está multiplicado por 3 en realidad se suma es Monografias.comal denominador, de modo que para que la expresión del denominador persista, es decir, no se altere, se resta también Monografias.comPor lo tanto, se tiene

Monografias.com

3) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

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Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 24.

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Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

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2) Evalúe Monografias.com

Ejercicios.

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Antes de estudiar los diferentes métodos de integración, se presenta una lista numerada de las fórmulas típicas de integración indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.

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Emprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más ampliamente usados en la resolución de integrales es la integración por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

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Esta fórmula expresa a la integral Monografias.comen términos de la integral Monografias.comMediante una elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral Monografias.com

Ejemplos.

1) Evaluar Monografias.com

Solución.

Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.com

2) Evaluar Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Sea Monografias.comy Monografias.comentonces, Monografias.comy Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Ejercicios.

Evalúe las integrales indefinidas.

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.

CASO 1.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero positivo impar.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

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Ejemplos.

1) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 2.

Monografias.comdonde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso 1.

(i) Si n es impar, entonces

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(ii) Si m es impar, entonces

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Ejemplo.

Monografias.com

Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes:

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CASO 3.

(i) Monografias.com(ii) Monografias.como (iii) Monografias.comdonde m y n son números enteros positivos pares.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

(iii) Se hace la transformación

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Ejemplos. Monografias.com

Monografias.com

CASO 4.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero positivo.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 5.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero positivo par.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 6.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde m es un entero positivo par.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 7.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde m es un entero positivo impar.

i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

CASO 8.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un número entero positivo impar.

Aplique integración por partes.

(i) Considere Monografias.comy Monografias.com

(ii) Considere Monografias.comy Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Sean Monografias.com

Aplicando el método de integración por partes tenemos:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Evaluemos la integral I aplicando el método de integración por partes:

Sean Monografias.com

Entonces, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

En conclusión,

Monografias.com

CASO 9.

(i) Monografias.como (ii) Monografias.comdonde n es un entero positivo par y m es un entero positivo impar.

Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso 8.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Las integrales A y B las resolvimos en el ejemplo del caso 8.

La solución de A es: Monografias.com

La solución de B es: Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CASO 10.

(i) Monografias.com(i) Monografias.como (iii) Monografias.comm?n.

(i) Se hace la transformación

Monografias.com

(ii) Se hace la transformación

Monografias.com

(iii) Se hace la transformación

Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Ejercicios.

Determine las integrales indefinidas indicadas a continuación.

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INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Se mostrará con tres casos cómo el cambio de variable mediante sustitución trigonométrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresión de una de las formas siguientes donde a > 0:

Monografias.com

CASO 1.

El integrando contiene una expresión de la forma Monografias.comdonde a > 0.

Se introduce una nueva variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi Monografias.comy Monografias.comsi x < 0

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Solución.

Sabemos que:

Hagamos el cambio Monografias.comy diferenciemos el primer miembro con respecto de x y al segundo miembro con respecto de Monografias.comentonces, Monografias.comSustituyendo obtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Ahora, como Monografias.comy Monografias.comentonces, Monografias.com

Otra manera de resolver.

Observemos la siguiente figura:

Monografias.com

Es evidente por trigonometría que: Monografias.comy Monografias.comluego, despejando x se obtiene: Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

Como hemos indicado anteriormente, Monografias.comyMonografias.comentoncesMonografias.com

2) Evalúe Monografias.com

Solución.

ComoMonografias.comhaciendo el cambio Monografias.comtenemos:

Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

Monografias.com

Pero, Monografias.comy Monografias.comen conclusión.

Monografias.com

Resolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente:

Monografias.com

Obviamente, Monografias.comy Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

A partir de la figura se tiene: Monografias.comy Monografias.comentonces,

Monografias.com

CASO 2.

El integrando contiene una expresión de la forma Monografias.comdonde a > 0.

Introduzca una variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi Monografias.comy Monografias.comsi x < 0

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.comhaciendo el cambio: Monografias.comobtenemos, Monografias.comy Monografias.comSustituyendo nos queda:

Monografias.com

La integral A se evalúa por partes, así:

Sea Monografias.comy Monografias.comsustituyendo:

Monografias.com

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Monografias.com

Consecuentemente,

Monografias.com

Pero, Monografias.compor lo tanto, sustituyendo resulta:

Monografias.com

CASO 3.

El integrando contiene una expresión de la forma Monografias.comdonde a > 0.

Introduzca una variable Monografias.comconsiderando Monografias.comdonde

Monografias.comsi Monografias.comy Monografias.comsi Monografias.com

Ejemplo.

Evalúe Monografias.com

Solución.

Monografias.com

Luego debemos hacer el cambio: Monografias.comademás,

Monografias.com

Sustituyendo,

Monografias.com

Pero, Monografias.comy Monografias.comSustituyendo nuevamente obtenemos:

Monografias.com

Ahora, resolvamos a partir de la siguiente figura.

Monografias.com

Evidentemente, Monografias.comy Monografias.com

luego,

Monografias.comComo Monografias.comy Monografias.comentonces

Monografias.com

Ejercicios.

Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando cuadrados)

Monografias.com

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Si se quiere integrar el cociente de dos funciones polinómicas y el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero debe efectuarse la división.

Ejemplo.

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Al efectuar la división de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente más el resto sobre el divisor. En el ejemplo anterior, la expresión: Monografias.compudo integrarse de inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicará a continuación.

Sabemos que: Monografias.comy grado Monografias.comgradoMonografias.comó Monografias.com

La integral de q es inmediata, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

El procedimiento básico en éste método de integración, es la descomposición del cociente en fracciones simples, para lo cual, deben hallarse, primero, las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

A continuación se presentan cuatro casos según las raíces sean reales o imaginarias, simples o compuestas.

CASO 1.

Las raices del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales diferentes.

Ejemplo1.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por Monografias.comasí:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

Ejemplo 2.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.comluego, Monografias.comy Monografias.comahora, multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por el denominador obtenemos:

Monografias.com

Luego, Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CASO 2.

Las raíces del denominador son reales y múltiples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos.

Ejemplo.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.comluego,

Monografias.comy Monografias.commultiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por Monografias.comobtenemos:

Monografias.com

Monografias.com

Luego, Monografias.comcomo no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los cálculos.

Por ejemplo, Monografias.comReemplacemos A y C por los valores obtenidos, y despejemos B: Monografias.com

Por lo tanto,

Monografias.com

CAS0 3.

El denominador tiene raíces complejas, no reales, simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadráticos irreducibles, todos distintos entre sí.

Ejemplo.

Monografias.com

Las raíces del denominador son: Monografias.comy Monografias.com

Entonces, Monografias.comcon lo que Monografias.com

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por Monografias.comobtenemos:

Monografias.com

De la última igualdad se tiene:

Monografias.comy Monografias.comResolviendo el sistema, Monografias.comMonografias.comy Monografias.comPor lo tanto,

Monografias.com

CASO 4.

El denominador tiene raíces complejas, no reales, múltiples. En el factoreo aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.

Ejemplo.

Monografias.com

El denominador no tiene raíces reales (no se anula para número real alguno), por lo que hacemos el cambio Monografias.compara calcular las raíces complejas.

En efecto,

Las raíces en función de Monografias.comson: Monografias.comy Monografias.com(raíces múltiples).

Entonces, Monografias.comcon lo que,

Monografias.com

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por Monografias.comobtenemos: Monografias.com

De ésta última igualdad se tiene que: Monografias.comy Monografias.comPor lo tanto, Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva las siguientes integrales.

Monografias.com

Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma:

  • 1. Se efectúa el cambio de variable Monografias.com

  • 2. Se efectúa el cambio de variable Monografias.com

  • 3. Se efectúa el cambio de variable Monografias.como bien Monografias.com

Ejemplos.

1) Calcular Monografias.com

Hagamos el cambio Monografias.comluego, Monografias.comy Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

  • 2) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos, Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

3) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos,

Monografias.comMonografias.comy Monografias.comluego,

Monografias.comentonces,

Monografias.com

  • 3) Calcular Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comtendremos,

Monografias.comluego,

Monografias.compor lo tanto,

Monografias.com

Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Monografias.com

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO

Si el integrando es una función racional de Monografias.comy Monografias.comse puede reducir a una función racional de z mediante la sustitución Monografias.comCon la finalidad de obtener la fórmula para Monografias.comy Monografias.comen términos de z se utilizan las identidades siguientes: Monografias.comy Monografias.comEntonces se tiene,

Monografias.com

Monografias.com

Como Monografias.comentonces Monografias.compor lo tanto, Monografias.com

Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.

Teorema 25.

Si Monografias.comentonces:

Monografias.com

Ejemplos.

1) Evalúe Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comentonces Monografias.com

2) Calcule Monografias.com

Como Monografias.comy Monografias.comentonces

Monografias.com

3) Evalúe Monografias.com

Haciendo el cambio Monografias.comentonces Monografias.com

Ejercicios.

Resuelva:

Bibliografía recomendada

[1] Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.

[2] Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, quinta edición.

 

 

 

 

 

 

Autor:

Eleazar José García

Profesión: Licenciado en Matemática

País: Venezuela


Partes: 1, 2


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