Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas. Las ocho identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

2) Calcule

Solución.

3) Determine

Solución.

Ejercicios.

Calcule las integrales indefinidas:

Teorema 13. Regla de la cadena para antiderivación.

Sea g una función diferenciable y sea el contradominio de g algún intervalo I. Suponga que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces

Teorema 14.

Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

y observe que si entonces Por lo tanto, se necesita un factor 3 junto a para obtener En consecuencia, se escribe

2) Calcule

Solución.

Observe que si entonces Por lo tanto, necesitamos un factor 6 junto a para obtener Luego, se escribe

• 3) Evalúe

Solución.

Como se escribe

Ejercicios.

Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuación es una función de x, es decir,

Teorema 15.

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

En este caso por lo tanto, luego se necesita un factor 3 junto a para obtener Entonces, se escribe

Teorema 16.

Ejemplo.

Calcule

Solución.

Consideremos tenemos que luego necesitamos un factor 6 junto a para obtener Por lo tanto,

Teorema 17.

Ejemplo.

Calcule

Solución.

Como entonces por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Siendo entonces luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.

Resuelva

Solución.

Ejercicios.

Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Sea entonces, por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Como se aplica el teorema 21 con de donde obtenemos, entonces

Ejercicios.

En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida.

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se obtienen algunas fórmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas fórmulas.

Teorema 22.

El teorema siguiente proporciona algunas fórmulas más generales.

Teorema 23.

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

2) Evalúe

Solución.

Con la finalidad de completar el cuadrado de se suma y como está multiplicado por 3 en realidad se suma es al denominador, de modo que para que la expresión del denominador persista, es decir, no se altere, se resta también Por lo tanto, se tiene

3) Evalúe

Solución.

Las fórmulas de integración indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas.

Teorema 24.

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

2) Evalúe

Ejercicios.

Antes de estudiar los diferentes métodos de integración, se presenta una lista numerada de las fórmulas típicas de integración indefinida las cuales deben ser memorizadas por el estudiante para un mejor desenvolvimiento.

Emprendamos el estudio de los métodos de integración. Uno de los métodos más ampliamente usados en la resolución de integrales es la integración por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Esta fórmula expresa a la integral en términos de la integral Mediante una elección adecuada de u y dv, puede evaluarse más fácilmente integral

Ejemplos.

1) Evaluar

Solución.

Tomemos u = ln x y dv = x dx, por lo tanto, y luego,

2) Evaluar

Solución.

Sea y entonces, y por lo tanto,

Ejercicios.

Evalúe las integrales indefinidas.

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Las integrales trigonométricas implican operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas.

CASO 1.

(i) o (ii) donde n es un número entero positivo impar.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplos.

1) Calcule

Solución.

2) Calcule

Solución.

CASO 2.

donde al menos uno de los exponentes es un número entero positivo impar. En la solución de este caso se utiliza un método semejante al empleado en el caso 1.

(i) Si n es impar, entonces

(ii) Si m es impar, entonces

Ejemplo.

Cuando ninguno de los exponentes de las potencias seno y coseno es impar, no se pueden seguir los procedimientos expuestos en los casos 1 y 2. En tal caso se deben tomar muy en cuenta las identidades siguientes:

CASO 3.

(i) (ii) o (iii) donde m y n son números enteros positivos pares.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

(iii) Se hace la transformación

Ejemplos.

CASO 4.

(i) o (ii) donde n es un número entero positivo.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

2) Evalúe

Solución.

CASO 5.

(i) o (ii) donde n es un número entero positivo par.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

CASO 6.

(i) o (ii) donde m es un entero positivo par.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

CASO 7.

(i) o (ii) donde m es un entero positivo impar.

i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

CASO 8.

(i) o (ii) donde n es un número entero positivo impar.

Aplique integración por partes.

(i) Considere y

(ii) Considere y

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Sean

Aplicando el método de integración por partes tenemos:

Luego,

Evaluemos la integral I aplicando el método de integración por partes:

Sean

Entonces,

Por lo tanto,

En conclusión,

CASO 9.

(i) o (ii) donde n es un entero positivo par y m es un entero positivo impar.

Exprese el integrando en términos de potencias impares de la secante o cosecante y después siga las sugerencias del caso 8.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Las integrales A y B las resolvimos en el ejemplo del caso 8.

La solución de A es:

La solución de B es:

Por lo tanto,

CASO 10.

(i) (i) o (iii) m?n.

(i) Se hace la transformación

(ii) Se hace la transformación

(iii) Se hace la transformación

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Ejercicios.

Determine las integrales indefinidas indicadas a continuación.

INTEGRACIN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Se mostrará con tres casos cómo el cambio de variable mediante sustitución trigonométrica permite con frecuencia evaluar una integral que contiene una expresión de una de las formas siguientes donde a > 0:

CASO 1.

El integrando contiene una expresión de la forma donde a > 0.

Se introduce una nueva variable considerando donde

si y si x < 0

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

Sabemos que:

Hagamos el cambio y diferenciemos el primer miembro con respecto de x y al segundo miembro con respecto de entonces, Sustituyendo obtenemos:

Ahora, como y entonces,

Otra manera de resolver.

Observemos la siguiente figura:

Es evidente por trigonometría que: y luego, despejando x se obtiene:

Por lo tanto,

Como hemos indicado anteriormente, yentonces

2) Evalúe

Solución.

Comohaciendo el cambio tenemos:

Por lo tanto,

Pero, y en conclusión.

Resolvamos teniendo en cuenta la figura siguiente:

Obviamente, y

Por lo tanto,

A partir de la figura se tiene: y entonces,

CASO 2.

El integrando contiene una expresión de la forma donde a > 0.

Introduzca una variable considerando donde

si y si x < 0

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

haciendo el cambio: obtenemos, y Sustituyendo nos queda:

La integral A se evalúa por partes, así:

Sea y sustituyendo:

Luego,

Consecuentemente,

Pero, por lo tanto, sustituyendo resulta:

CASO 3.

El integrando contiene una expresión de la forma donde a > 0.

Introduzca una variable considerando donde

si y si

Ejemplo.

Evalúe

Solución.

Luego debemos hacer el cambio: además,

Sustituyendo,

Pero, y Sustituyendo nuevamente obtenemos:

Ahora, resolvamos a partir de la siguiente figura.

Evidentemente, y

luego,

Como y entonces

Ejercicios.

Calcule las siguientes integrales indefinidas. (En los ejercicios 2, 3, 6, 7 y 9 resuelva completando cuadrados)

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Si se quiere integrar el cociente de dos funciones polinómicas y el grado del numerador es mayor que el del denominador, primero debe efectuarse la división.

Ejemplo.

Al efectuar la división de dos polinomios, obtenemos un polinomio cociente más el resto sobre el divisor. En el ejemplo anterior, la expresión: pudo integrarse de inmediato. En otros casos, se la debe descomponer en fracciones simples, como se indicará a continuación.

Sabemos que: y grado gradoó

La integral de q es inmediata, ya que q es un polinomio, y el problema se reduce a integrar el cociente de dos funciones polinómicas cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

El procedimiento básico en éste método de integración, es la descomposición del cociente en fracciones simples, para lo cual, deben hallarse, primero, las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

A continuación se presentan cuatro casos según las raíces sean reales o imaginarias, simples o compuestas.

CASO 1.

Las raices del denominador son reales y simples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales diferentes.

Ejemplo1.

Las raíces del denominador son: y luego, por lo tanto,

Para calcular el valor de A y B, multiplicamos ambos miembros de la igualdad anterior por así:

Luego,

Por lo tanto,

Ejemplo 2.

Las raíces del denominador son: y luego, y ahora, multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por el denominador obtenemos:

Luego,

Por lo tanto,

CASO 2.

Las raíces del denominador son reales y múltiples. El denominador se expresa como producto de polinomios lineales, algunos repetidos.

Ejemplo.

Las raíces del denominador son: y luego,

y multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por obtenemos:

Luego, como no existe otro valor de x que anule alguno de los sumandos, conviene elegir cualquier valor que facilite los cálculos.

Por ejemplo, Reemplacemos A y C por los valores obtenidos, y despejemos B:

Por lo tanto,

CAS0 3.

El denominador tiene raíces complejas, no reales, simples. En el factoreo del denominador aparecen polinomios cuadráticos irreducibles, todos distintos entre sí.

Ejemplo.

Las raíces del denominador son: y

Entonces, con lo que

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por obtenemos:

De la última igualdad se tiene:

y Resolviendo el sistema, y Por lo tanto,

CASO 4.

El denominador tiene raíces complejas, no reales, múltiples. En el factoreo aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.

Ejemplo.

El denominador no tiene raíces reales (no se anula para número real alguno), por lo que hacemos el cambio para calcular las raíces complejas.

En efecto,

Las raíces en función de son: y (raíces múltiples).

Entonces, con lo que,

Multiplicando ambos miembros de ésta última igualdad por obtenemos:

De ésta última igualdad se tiene que: y Por lo tanto,

Ejercicios.

Resuelva las siguientes integrales.

Ahora, veamos como resolver integrales cuando en el integrando aparecen expresiones de la forma:

• 1. Se efectúa el cambio de variable

• 2. Se efectúa el cambio de variable

• 3. Se efectúa el cambio de variable o bien

Ejemplos.

1) Calcular

Hagamos el cambio luego, y por lo tanto,

• 2) Calcular

Haciendo el cambio tendremos, por lo tanto,

3) Calcular

Haciendo el cambio tendremos,

y luego,

entonces,

• 3) Calcular

Haciendo el cambio tendremos,

luego,

por lo tanto,

Ejercicios.

Resuelva:

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO

Si el integrando es una función racional de y se puede reducir a una función racional de z mediante la sustitución Con la finalidad de obtener la fórmula para y en términos de z se utilizan las identidades siguientes: y Entonces se tiene,

Como entonces por lo tanto,

Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.

Teorema 25.

Si entonces:

Ejemplos.

1) Evalúe

Haciendo el cambio entonces

2) Calcule

Como y entonces

3) Evalúe

Haciendo el cambio entonces

Ejercicios.

Resuelva:

Bibliografía recomendada

[1] Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.

[2] Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, quinta edición.

 

 

 

 

Autor:

Eleazar José García

eleagarcia95[arroba]hotmail.com

Profesión: Licenciado en Matemática

País: Venezuela