La cuadratura del círculo es uno de los tres problemas de la Grecia clásica, los otros dos son la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que los matemáticos griegos intentaron resolver utilizando únicamente la regla y el compás. Éste intento continuó, por matemáticos de todo el mundo hasta finales del siglo XIX.

Efectivamente, fue el matemático alemán Ferdinand Lindemann, quien en 1.882 demostró que el número PI era trascendente y por tanto el problema irresoluble.

A pesar de esto, se ha seguido buscando métodos geométricos de aproximación hasta nuestros días, incluso por matemáticos prestigiosos. Se busca una construcción sencilla, elegante y con el menor número de pasos.

Dado un círculo , C1, de radio R1=1, un cuadrado inscrito en él, de lado y otro círculo, C2 inscrito en dicho cuadrado y de radio vamos a demostrar que existe un circulo, C3, entre C1 y C2, cuya superficie es igual a la del cuadrado dado y cuyo radio, R3, vamos a determinar.

a) Desde el centro, O, trazamos un ángulo de 30º que determina los puntos de corte A, B, C, D, con los círculos C2 y C1 respectivamente y teniendo al radio OQ como bisectriz.

b) Trazamos los segmentos AD y BC, y donde se cortan determina el punto P sobre el radio OQ. El Segmento OP, es el radio R3 del circulo C3, buscado.

Determinación del segmento OP = R3