Aplicando el teorema de los senos para la resolución de triángulos oblicuángulos y considerando que sen 123º = sen 57º por ser ángulos complementarios y OD = 1
De la hipótesis inicial tenemos: superficie del cuadrado de lado 
igual superficie del círculo de radio R3.
Representamos esta igualdad geométricamente, aplicando el teorema de proporcionalidad en el triángulo rectángulo NEF:
Con el segmento 
obtenido, y trazando perpendiculares en E y F, construimos un cuadrado, y desde su centro, un círculo de radio R1 = 1
Es la cuadratura del círculo con regla y compás.
Demostración de la determinación geométrica del punto P y que cumple: OP = 1 para 
Dado un círculo, C3, de radio R3, hallar el lado, L, de un cuadrado cuya superficie sea igual a la del círculo dado.
Trazamos un ángulo de 30º, con vértice en O, teniendo a R3 como bisectriz; y el punto de corte P.
Con vértice en P, trazamos un ángulo de 123º, determinando los puntos de corte A y D que nos dan los radios OA y OD de las circunferencias C2 y C1 respectivamente.
Proyectando OP hasta su corte con C1 nos da el punto Q que uniéndolo con el punto R nos da el lado, L. buscado. 
Autor:
Pedro Gallego Comas
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