Principios de geometría analítica y álgebra lineal

Enviado por José David Barazarte Rodríguez

Partes: 1, 2

Espacio vectorial

Es un conjunto arbitrario diferente del
vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y
producto por un número.
Un conjunto es una colección de objetos que está bien
definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber
si un elemento o no pertenece a una colección o
conjunto.

Algunos ejemplos de espacios vectoriales
son:

Con las operaciones usuales los siguientes
conjuntos se constituyen como
espacios vectoriales: Matrices de nÃ-n ; P(n)
(polinomios), funciones continuas, IRn
(producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 =
{ (x, y) | … } y veremos las siguientes operaciones:

Sea un vector ^u = (x1, y1) y
^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos
las siguientes operaciones:

^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u =
(kx1, ky1) ^u ·^v = x1 · x2 + y1 ·
y2

Y además se satisfacen los siguientes
axiomas:

Sean vectores denotados como
^u, ^v y ^w y a, b, c escalares,
entonces:

1) ^u + ^v = ^v + ^u
2) (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v +
^w)
3) ^u + 0 = 0 + ^u = ^u
4) ^u + ( – ^u) = 0
5) a(b^u) = (ab)^u =
^u(ab)
6) a(^u + ^v) = a^u +
a^v
7) (a + b)^u = a^u +
b^v
8) 1^u = ^u
9) ^u·^v =
^v·^u
10) ^u(^v + ^w) = ^u·^v +
^u·^w
11) c(^u^v) = (c^u)^v =
^u(c^v)
12) 0·^u = 0
13) ^u·^u = |^u|2
14) Dos vectores son
perpendiculares ( ^u·^v = 0

En IR² ó IR³ cuando
consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos
gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea
de leal origen, recibe el nombre de vector de
posición o vector anclado. Además, si el
vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x,
y).

En la siguiente gráfica ^u es
un vector anclado, observemos los demás elementos que
componen dicha gráfica:

Monografias.com

Podemos observar que:

^u = ux + uy donde ux = (x,
0) y uy = (y, 0)

Denotamos como || ^u || a la
distancia del origen al punto (x, y) denominada
magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las
siguientes conclusiones:

|| ^u || = (x² +
y²)½
Cos(?) = x / || ^u ||
Sen(?) = y / || ^u ||
Para un vector anclado ^u, ^ux
representa su componente en la dirección x y
^uy representa su componente en la dirección
y.
La dirección de un vector de
posición está dada por el ángulo que forma con
el sentido positivo del eje X.

La línea recta

2.1.Concepto de Línea
Recta.

Éste concepto matemático parece
no tener definición ya que es una sucesión de puntos y
éstos carecen de magnitud, pero se considera como una
trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en
términos del espacio, es la intersección de dos planos.
Además tenemos los siguientes conceptos:

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