Principios de geometría analítica y álgebra lineal (página 2)

Segmento de recta: Recta delimitada
por dos puntos, ésta es una magnitud lineal
finita.

Semirrecta: Si se tiene una recta
con un punto P contenido en ella y que la divide, cada una de las
porciones en que queda dividida se le conoce como
semirrecta.

Rayo: Se le conoce como la
semirrecta en un sentido, simbolizada como donde la flecha indica el
sentido, el origen es A y el destino B, o bien por "r" con una
flecha indicando el destino.

2.2.Pendiente de una
recta.

Uno de los elementos más importantes
de la línea recta es la pendiente, la cual se define como
la tangente del ángulo de inclinación. El
ángulo de inclinación es aquel que forma la recta
con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los
cuales pasa la recta, su pendiente se calcula
así:

• m = (y2 – y1) / (x2 –
  x1)

• m = Tg ().

• Tg() = y2 / x2 = y1 / x1

2.3.Ecuación de la
recta.

• Forma intercepto-pendiente: y = mx + b
  (b es el intercepto con el eje Y).

• Conocidos la pendiente y un punto
  cualquiera (x1, y1), la ecuación es: y – y1 =
  m(x – x1).

• Conocidos dos puntos la ecuación
  es: y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ]
  · (x – x1)

• Forma general de la ecuación de
  la recta: La encontramos haciendo operaciones con cualquiera
  de las formas antes mencionadas, su representación es:
  ax + by + c = 0.

Definiciones.

• Se dice que dos puntos son colineales
  si están sobre la misma recta.

• Se dice que dos rectas son
  perpendiculares si el producto de sus pendientes es
  –1.

• Se dice que dos rectas son paralelas si
  ambas tienen la misma pendiente.

• La distancia del punto P(x1, y1) a la
  recta L: Ax + By + C = 0 es: d(P, L) = |Ax1 + By1 + C| /
  (A² + B²)½

2.4.Forma simétrica de la
ecuación de la recta.

x/a + y / b = 1 Donde a es el
intercepto con x y b el intercepto con
y.

2.5.Rectas y vectores.

En el plano cartesiano las rectas y los
vectores se relacionan de la siguiente forma: Dados dos puntos
(x1, y1) y (x2, y2), entonces, ellos determinan una recta,
justamente la que pasa por ambos, y su ecuación se
encuentra de forma usual. Vistos los puntos como vectores ^a =
(x1, y1) y ^u = (x2, y2), puede plantearse la siguiente pregunta:
¿Cuál es la recta que pasa por la punta del vector
^a en la dirección del vector ^u? (recta
L), con mayor precisión, observe en la figura que
^u = ^a + t^h que es la ecuación en forma
vectorial de la recta L. Entonces podemos hacer las
siguientes sustituciones:

^a + t^h = (x1 + tx2, y1 + ty2) (
x = x1 + tx2 y y = y1 + ty2 y podemos sustituir
y despejar t para encontrar la ecuación de la
recta en su forma general.

Teorema:

La forma normal de la ecuación de
una recta está dada por: xCos(?) + ySen(?) – p;
donde p es un número positivo numéricamente igual a
la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta y ?
es el ángulo positivo menor a 360°.

Circunferencia

Circunferencia es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal
manera que se conserva siempre a una distancia constante de un
punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la
distancia constante radio.

La circunferencia cuyo centro es (h,
k) y de radio r tiene por ecuación: (x –
h)2 + (y – k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en
forma ordinaria.

3.1.Forma general de la ecuación
de una circunferencia.

Dada la forma ordinaria (x – h)2 + (y – k)2
= r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:

X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 =
r2; agrupando términos:

X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2
– r2) = 0; por último tenemos:

D E F

X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la
forma general que buscábamos. De aquí deducimos que
cualquier ecuación en forma ordinaria puede transformarse
mediante operaciones
correctas a la forma general.

3.2.Tangente a una
circunferencia.

Dada la ecuación de la
circunferencia en forma ordinaria o general, hallar la
ecuación de la tangente a la circunferencia que tiene
dicha ecuación dados un punto de contacto, la pendiente de
la de la recta buscada o un punto exterior por el cual pasa la
recta tangente.

En geometría elemental se estudia
únicamente la tangente a una curva: la circunferencia, el
estudio hecho es insuficiente para las curvas planas en general,
por ello, estudiaremos un método que
se aplique a todas las curvas existentes en el siguiente
apartado.

Tangente a una
curva

Dada la función
f(x, y) <1> y la recta, que es tangente a esa
curva, y = mx + b despejamos y en la
ecuación de la recta y la sustituimos en f(x, y),
después de esto nos debe quedar una ecuación de
segundo grado, la cual hay que resolver con la siguiente
condición: sabemos que la ecuación de segundo grado
tiene un discriminante, en nuestro caso le llamaremos ??y lo
igualaremos a cero quedando de la forma ? = 0 y le llamaremos
"condición de tangencia".

En la expresión <1> hablamos
de una función general en dos variables y
nos referimos a funciones
cuadráticas donde y = mx + b representa una
familia de
rectas y el sistema pretende
determinar cuál de esas rectas es tangente.

Resolviendo nos queda una ecuación
de segundo grado, como lo habíamos dicho con anterioridad,
para la variable x y como estamos buscando una
única solución se deduce que el discriminante tiene
que ser igual a cero, es decir, estamos hablando de la
condición de tangencia.

De manera práctica se encuentran
tres casos de tangentes a cónicas.

• 1) Se conoce el punto de contacto,
  aquí hay una sola tangente.

• 2) Se conoce la pendiente,
  aquí hay dos tangentes.

• 3) Se conoce un punto exterior por
  el cual pasa la tangente, aquí hay dos
  tangentes.

Para hallar las ecuaciones de
las tangentes se sustituye el dato conocido en la ecuación
de la recta y se resuelve la aplicando la condición de
tangencia, determinando así la ecuación de las
rectas.

Parábola

Una parábola es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo
manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no
pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la
recta fija directriz.

La recta que es perpendicular a la
directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la
intersección de la parábola con el eje focal se
denomina vértice. La cuerda focal es el
segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el
foco, en nuestra gráfica, esta es el lado
recto.

Los elementos de una parábola son
entonces: vértice, foco, longitud del lado recto, y la
ecuación de la directriz. Nosotros estudiaremos
únicamente las parábolas con ejes focales paralelos
al eje X o al eje Y. La distancia del vértice a
la directriz es la misma distancia del vértice al
foco.

Teorema:

La ecuación de una parábola
de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la
forma: (y – k)² = 4p(x – h) y sus elementos son los
siguientes:

• Foco(h + p, k)

• Directriz x = h – p

• Eje focal y = k

• Donde 4| p | es la magnitud del lado
  recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el
  vértice.

• Si p > 0 la parábola se abre
  hacia la derecha.

• Si p < 0 la parábola se abre
  hacia la izquierda.

Si el eje es paralelo al eje Y la
ecuación es de la forma (x – h)² = 4p(y – k) y
sus elementos son:

• Foco (h, k + p)

• Directriz y = k – p

• Eje focal x = h

• Si p > 0 la parábola se abre
  hacia arriba.

• Si p < 0 la parábola se abre
  hacia abajo.

Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de
un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de
sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a
una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los
dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Los elementos de una elipse son los que se
describen en la figura siguiente:

• F y F", focos.

• V y V", vértices

• C, centro.

• d(V, V"), eje mayor.

• CF, lado recto.

• d(A, A") eje menor.

• L", eje normal.

• L, eje focal.

Es importante observar que F, F", C, V y V"
tienen una coordenada en común y que la distancia de F a V
es igual a la distancia de F" a V" y que C es el punto medio de
los focos y vértices.

Teorema:

La ecuación de una elipse con C(h,
k) y eje focal paralelo al eje X esta dada por: (x – h)²
/ a² + (y – k)² / b² = 1, y paralela al eje Y
es: (x – h)² / b² + (y – k)² / a² =
1.

En donde para cada elipse, a es la
longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor,
c es la distancia del centro hacia cada foco y a, b,
c están ligadas por la siguiente relación:
a² = b² + c².

También para cada elipse, la
longitud de cada uno de sus lados rectos es: 2b² / a
y la excentricidad e = c / a.

Hipérbola

Una hipérbola es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal
manera que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano,
llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la
distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran
en la figura:

• F y F", focos.

• V y V", vértices.

• L, eje focal.

• VV", eje transverso.

• C, centro.

• L", eje normal.

• AA", eje conjugado.

• CF, lado recto.

Teorema:

La ecuación de una hipérbola
con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje
X es de la forma:

(x – h)² / a² – (y – k)²
/ b² =1, sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus
vértices son (h – a, k) y (h + a, k).

Si el eje focal es paralelo al eje
Y su ecuación es de la forma: (y – k)² /
a² – (x – h)² / b² = 1, sus focos son (h , k +
c) y (h, k – c) y sus vértices son (h – a, k ) y (h + a, k
).

Donde para cada parábola a
es la longitud del semieje transverso, b la del semieje
conjugado y c la distancia del centro a cada foco;
a, b, c están ligadas por la relación
c² = a² + b².. También la longitud
de cada lado recto es 2b² / a y la excentricidad está
dada por la relación e = c /a.

Asíntotas

Si para una curva dada, existe una recta
talque, a medida que un punto de la curva se aleja
indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a esa recta
decrece continuamente y tiende a cero dicha curva se llama
asíntota de la curva, la cual puede ser horizontal o
vertical.

Teorema:

La hipérbola b²x² –
a²y² = a²b² tiene por asíntotas
las rectas: bx – ay = 0 y bx + ay =
0.

Subtangente y
subnormal

Veamos la siguiente figura:

siguiendo la figura podemos decir lo
siguiente:

• L es tangente a la curva C en el punto
  P1.

• L" es la recta trazada por P1
  perpendicular a L y se llama normal a C en P1. Su
  ecuación es y – y1 = -1/m(x –
  x1).

• La tangente y la normal cortan al eje X
  en T y N.

• La longitud P1T es la longitud de la
  tangente y P1N es la longitud de la normal.

• La proyección QT de la longitud
  de la tangente sobre X se llama subtangente .

• La proyección QN de la longitud
  de la normal sobre X se llama subnormal.

Si m es la pendiente de una curva plana
continua C en P1(x2, y1), entonces en P1 tenemos:

• Ecuación de la tangente a C: y
  – y1 = m(x – x1).

• Ecuación de la normal a C: y
  – y1 = -1/m(x – x1) con m != 0.

• Longitud de la tangente: y1 / m (1 +
  m²) ½ con m ¡= 0.

• Longitud de la normal: y1(1 +
  m²)½ .

• Longitud de la subtangente: y1 /
  m

• Longitud de la subnormal:
  my1.

Ecuación
general de segundo grado

Esta ecuación tiene la siguiente
forma: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 y representa
alguna de las cónicas.

Teorema:

La ecuación general de segundo grado
representa una cónica del género
parábola, elipse o hipérbola según el
indicador I = B² – 4AC sea 0, negativo o positivo
respectivamente.

Transformación
de coordenadas

Una transformación es una
operación por la cual una relación,
expresión o figura se cambia por otra siguiendo una
ley dada.
Analíticamente la ley se expresa mediante una o más
ecuaciones llamadas "ecuaciones de
transformación".

11.1.Traslación de ejes de
coordenadas.

Si se trasladan los ejes coordenados a un
nuevo origen, O" es el punto (h, k), y si las coordenadas de
cualquier punto antes y después de la traslación
son (x, y) y (x", y") respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de
coordenadas son:

x = x" + h; x" = x – h

y = y" + k; y" = y –
k

11.2.Rotación de ejes de
coordenadas.

Si los ejes coordenados giran un
ángulo ??en torno de su
origen como centro de rotación y las coordenadas de un
punto cualquiera P antes y después de la rotación
son (x, y) y (x", y") respectivamente, las ecuaciones de
transformación del sistema original al nuevo sistema
están dadas por:

x = x"cos(?) – y"sen(?); y =
x"sen(?) + y"cos(?)

Coordenadas
polares

Veamos la siguiente
gráfica:

De ella podemos decir que x =
rCos(?) y y = rSen(?), por tanto, podemos
representar el punto P(x, y)mediante otro sistema denominado
coordenadas polares que toma en cuenta la magnitud r y el
ángulo ?, así, el punto P(x, y) lo podemos escribir
como P(r, ?).

Lugar
geométrico

El ligar geométrico lo podemos
definir como el conjunto de puntos y solo de aquellos puntos
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x,
y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el
plano describe una curva. El hallar la ecuación de la
curva y todas sus propiedades es un problema de lugar
geométrico, donde se busca una expresión matemática
que describa la situación.

13.1.Lugar geométrico de la recta
en 3 dimensiones.

Dados dos puntos fijos la recta se describe
por aquellos puntos que se mueven a lo largo del vector que
describen esos dos puntos en dirección
contraria.

13.2.Ecuaciones
paramétricas.

La recta queda determinada por un punto
fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los
puntos P, tales que PoP es paralelo a ^v, es decir, que
satisfacen d(P0, P) = t^v para algún número real
t.

Si r = OP y r0 = OP son los vectores de
posición de P y P0, respectivamente, entonces:

(P0P = t^v

(P0P = r – r0

(r = r0 + t^v (1)

Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0.
z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,

x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 +
ct

y éstas se denominan ecuaciones
paramétricas (vea la gráfica).

Si despejamos t de las ecuaciones
paramétricas obtenemos las ecuaciones simétricas o
estándar:

(X – x0) / a = (y – y0) /
b = (z – z0) / c

Distancia de un punto
a una recta

Para hallar la distancia de un punto P(r,
s) a una recta dada tenemos dos alternativas, calcularla
mediante:

P(r, s) Recta L: Ax + By + C = 0

d(P, L) = + Ar + Bs + C / (A² +
B²)½ (1)

y otra alternativa es calcularla de forma
vectorial la cual está dada por:

d(P, L) = | ^L Ã- ^K | / | ^L |,
donde K y L son vectores determinados, aquí el procedimiento que
se sigue es obtener los vectores K y L, realizar el producto
vectorial por medio de determinantes y llegar a la fórmula
(1).

El plano

Primero definamos lo que es producto cruz,
sean vectores ^v = (x1, x2, x3 ) y ^w = (y1,
y2, y3), entonces lo definimos por medio del cálculo
del determinante siguiente:

el cual también es un elemento de
IR³.

Ahora sí definimos al plano, un
plano en tres dimensiones es el lugar geométrico de los
puntos, por los que u punto móvil se traslada de tal forma
que el vector de él a un punto fijo de él es
siempre perpendicular a un vector fijo llamado normal al plano.
Consideremos la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D =
0 con A, B, C no todas nulas.

Para dos vectores dados cualesquiera ^v y
^w su producto cruz (^v Ã- ^w) es un vector perpendicular
a ^v y a ^w y sus números directores son los mismos que
los de la normal al plano.

La esfera

El lugar geométrico de una esfera,
es el lugar de un punto en el espacio que se mueve de tal manera
que su distancia a un punto fijo es siempre constante. El punto
fijo se llama centro y la distancia radio. Su ecuación es
muy parecida a la de la circunferencia, esta es: (x – a)²
+ (y – b)² + (z – c)² = r², donde r es el
radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos. En el caso de
la circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de
la esfera hablaremos del plano tangente a una esfera, el cual se
obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de
contacto y determinar la ecuación de la normal al
plano.

La forma general de la ecuación de
la esfera es : x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K =
0

16.1.Coordenadas
esféricas.

Es posible representar un punto en el
espacio en otro sistema de coordenadas denominado coordenadas
esféricas, el cual considera la distancia al origen y los
ángulos que forma ese radio vector con los ejes X y Z, eto
implica que el punto P(x, y, z) puede escribirse como: P(r,
????).

Teorema:

Las coordenadas rectangulares y
esféricas de un punto en el espacio están ligadas
por las relaciones:

X = rSen(?)Cos(?); y = rSen(?)Sen(?);
z = rCos(?).

Superficies

Se llama superficie al conjunto de puntos
cuyas coordenadas satisfacen una ecuación del tipo
f(x, y, z) = 0.

Definición:

Se dice que dos puntos distintos son
simétricos con respecto a un plano si y solamente si el
plano es perpendicular al segmento que los une en el punto
medio.

Definición:

Se dice que una superficie es
simétrica con respecto a un plano de simetría ??si
el simétrico de cada punto de la superficie respecto del
plano ? es también un punto de la superficie.

17.1.Construcción de una
superficie.

Construir una superficie es muy complicado,
por ello se han diseñado otras estrategias para
hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir
los siguientes puntos en la construcción de cualquier
superficie:

• 1) Verificar los interceptos con
  los ejes coordenados:

En las intercepciones con los ejes, los
puntos tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0,
y, 0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la
ecuación de la superficie, satisfacen la misma, y al
hacerlo, podemos encontraren valor de x, y y
z.

• 2) Verificar las
  trazas:

Un razonamiento similar al de los
interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie,
que son las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta
con alguno de los ejes coordenados, entonces aquí buscamos
ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos
correspondientes tienen la siguiente expresión: en el
plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y,
z), que como pertenecen también a la superficie, deben
satisfacer su ecuación, por lo que al sustituir cada uno
de esto puntos en la ecuación de la superficie se
determina la curva correspondiente (la ecuación) de la
traza en sus planos respectivos.

• 3) Verificar la simetría de
  la superficie.

Para verificar la simetría de una
superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que
dice:

• 4) Verificar secciones.

Para hacerlo, se trazan planos paralelos a
la superficie para observar que curva se forma cuando se
interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x,
y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k = y y en el plano YZ(k,
y, z), k = x.

• 5) Definir la extensión de
  la superficie.

Simplemente se refiere al alcance que tiene
la superficie, es decir, cuales son sus límites,
si está definida dentro de un intervalo de valores para
las variables o no, etcétera.

Tema de
aplicación

18.1.Construcción de
volúmenes.

Por volumen
entendemos una porción del espacio limitada por una o
más superficies, si un volumen está limita solo por
una superficie, tal como un elipsoide, dicho volumen puede
representarse mediante la construcción de una superficie,
si un volumen está limitado por una o más
superficies, su construcción requiere la
construcción de cada superficie que lo forma y de sus
curvas de intersección, veamos dos ejemplos:

EJEMPLO 1: Construir el volumen
limitado por las superficies x² + y² = 4 y
x + y – z = 0.

Solución: La superficie que
se desea está limitada por la superficie del cilindro
circular recto x² + y² = 4, el plano x + y – z =
0 y los planos coordenados x = 0, y = 0, y z =
0. Construimos primero una parte del cilindro en el primer
octante. El plano x + y – z = 0 pasa por el origen y se
puede construir mediante sus trazas sobre los planos XZ y YZ.
Luego construimos la curva de intersección de este plano y
el cilindro; para obtener cualquier punto P de esta curva,
empleando un plano de corte paralelo al plano XZ, lo hacemos como
indica la siguiente figura, el contorno del volumen aparece en la
línea llena.

EJEMPLO 2: Construir el volumen
limitado por la superficie x² + 2y = 4, 2y = 3z , x
– y + 1 = 0, x = 0 y z = 0 y que está
a la izquierda del plano x – y + 1 = 0.

Solución: La porción
de la curva de intersección del cilindro parabólico
recto x² + 2y = 4 y el plano 2y = 3z aparece en la
última figura por el arco AB. El plano x – y + 1 = 0
corta al arco AB en el punto D, al cilindro en la generatriz
CD, al plano
2y = 3z en la recta DE y al eje Y en el punto F , entonces el
volumen requerido, que aparece en la línea gruesa,
está limitado por las porciones ACD del cilindro. AOED del
plano 2y = 3z, CDEF del plano x – y + 1 = 0, OEF del plano
x = 0 y AOFC del plano z = 0.

Referencias

• 1) Purcell Edwin J., Varberg Dale,
  Rigdon Steven E. (2001) Cálculo Octava Edición
  Pearson Educación, México.

• 2) Lehmann Charles H. (2003)
  Geometría Analítica, Limusa Noriega Editores,
  México.

Luis Antonio Fernández Aldana.

Estudiante del 3er. Cuatrimestre de Ingeniería en Ciencias de la
Computación.

Benemérita Universidad
Autónoma de Puebla.

Facultad de Ciencias de la
Computación.

11 / Diciembre / 2003.

Comentarios a:

Enviado por:

José David Barazarte
Rodríguez