Técnicas de análisis estadístico no paramétrico (página 2)

donde S es el apoyo supremum de conjunto
S
Por el teorema Glivenko-Cantelli, si la muestra procede
de la distribución F (x), entonces D
n converge a 0 casi seguramente. Kolmogorov fortalecido este
resultado, por la eficaz prestación de este tipo de
convergencia (véase más adelante).
El teorema de Donsker proporciona aún mayor
resultado.

Distribución de
Kolmogorov

La distribución de Kolmogorov es la
distribución de la variable aleatoria

Donde B (t) es el puente
Browniano. La función de
distribución acumulativa de K está dada
por

Prueba de Kolmogorov-Smirnov

En virtud de la hipótesis nula de que la muestra proviene
de la hipótesis de
distribución F (x),

En la distribución, donde B (t) es el puente
Browniano.

Si F es continua entonces bajo la hipótesis nula
converge a la
distribución de Kolmogorov, que no depende de F.
Este resultado también puede ser conocido como el teorema
de Kolmogorov, ver el teorema de Kolmogorov para
desambiguación.

La bondad de ajuste de prueba o la prueba de
Kolmogorov-Smirnov se construye mediante el uso de los valores
críticos de la distribución de
Kolmogorov.

La hipótesis nula es rechazada al nivel a
si

K a donde se encuentra desde

La asíntota de potencia de esta
prueba es de 1. Si la forma o los parámetros de F (x) se
determina a partir de las X i, la desigualdad no podrá
ejercer.
En este caso, de Monte Carlo o se requieren otros métodos
para determinar el nivel de rechazo a.

Dos Muestras de Kolmogorov-Smirnov
Test

La prueba de Kolmogorov-Smirnov también puede
utilizarse para probar si las dos en una dimensión
diferentes distribuciones de probabilidad.
En este caso, la estadística de Kolmogorov-Smirnov
es

y la hipótesis nula es rechazada al
nivel a si

Tabla de
Contingencia

En estadística las tablas de contingencia se
emplean para registrar y analizar la relación entre dos o
más variables,
habitualmente de naturaleza
cualitativa -nominales u ordinales-.

Supóngase que se dispone de dos variables, la
primera el sexo (hombre o
mujer) y la
segunda que recoge si el individuo es
zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una
muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla
de contingencia para expresar la relación entre estas dos
variables, del siguiente modo:

Las cifras en la columna de la derecha y en la fila
inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra
situada en la esquina inferior derecha es el gran
total.

La tabla nos permite ver de un vistazo que la
proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a
la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas
proporciones no son idénticas y la significación
estadística de la diferencia entre ellas puede ser
evaluada con el test Chi Cuadrado
de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra
aleatoria de una población. Si la proporción de
individuos en cada columna varía entre las diversas filas
y viceversa, se dice que existe asociación entre
las dos variables. Si no existe asociación se dice que
ambas variables son independientes.

El grado de asociación entre dos variables se
puede evaluar empleando distintos coeficientes: el más
simple es el coeficiente phi que se define
por

f = v (?2 / N)

donde ?2 se deriva del test de Pearson, y N es
el total de observaciones -el gran total-. F puede oscilar entre
0 (que indica que no existe asociación entre las
variables) e infinito. A diferencia de otras medidas de
asociación, el coeficiente F de Cramer no está
acotado.

TABLA DE CONTINGENCIA

La tabla ji- cuadrada () se utiliza
principalmente:

• Para probar si una serie de datos observada,
  concuerda con el modelo (serie esperada) de la
  información.

Para probar las diferencias entre las proporciones de
varios grupos (tabla de
contingencia). Para todos los casos,

Ho: No hay diferencia o no hay dependencia entre
variables

H1: Hay diferencia o si hay dependencia entre
variables.

Pasos para realizar la tabla de
contingencias

• 1) Plantear las
  hipótesis:

H1: al menos dos proporciones son
diferentes.

• 2) Construir una tabla que
  contenga los valores observados.

• 3) Sumar los totales de los
  renglones y columnas de los valores observados.

• 4) Debajo de cada valor observado
  poner el valor esperado utilizando la
  fórmula:

4) Calcular el valor del
estadístico de prueba usando la fórmula:

Donde:

Oij = Valor observado de la celda
i,j.

Eij = Valor esperado de la celda
i,j

6) Determinar los grados de libertad
mediante:

Donde

r = número de renglones

c = número de columnas

7) Calcular el valor crítico en
la tabla

8) Criterio de decisión: si el
valor crítico < valor del estadístico de prueba
rechazamos Ho

Ejemplo: Al final de un semestre, las
calificaciones de matemáticas fueron tabuladas en la
siguiente tabla de contingencia de para estudiar la relación entre la
asistencia a clase y la
calificación obtenida.

Con ¿indican los datos que son
distintas las proporciones de estudiantes que pasaron en las tres
categorías de ausencias?

H0: p1 = p2 = p3

H1: al menos dos proporciones son
diferentes.

Los valores Oij =
135, 110… Corresponden a los valores observados, los valores
esperados se colocan en las celdas con paréntesis, para
calcular los utilizamos la fórmula:

Calculamos el valor del estadístico
de prueba usando
la fórmula:

Prueba de
Independencia

Su objetivo es
determinar si alguna situación es afectada por otra,
basándose en datos estadísticos y valores
probabilístico obtenidos de la fabulación de datos
o de pronósticos por medio de formulas y tablas,
para esto se basa en un nivel de significancia en un caso y en el
otro a comparar, valiéndonos de tablas de contingencia
para obtener frecuencias esperadas y poder
aplicarlas, para a si obtener datos comparativos que son
determinantes en la decisión de independencia.

Cuando cada individuo de la población a estudio
se puede clasificar según dos criterios A y B, admitiendo
el primero a posibilidades diferentes y b el segundo, la
representación de las frecuencias observadas en forma de
una matriz a x b
recibe el nombre de Tabla de contingencia. Los datos se disponen
de la forma

Siendo n el número de individuos que presentan
simultáneamente la i-ésima modalidad del carácter A y la j-ésima del
B.

La hipótesis nula a contrastar admite que ambos
caracteres, A y B, se presentan de forma independiente en los
individuos de la población de la cual se extrae la
muestra; siendo la alternativa la dependencia estocástica
entre ambos caracteres. La realización de esta prueba
requiere el cálculo
del estadístico

Donde:

Y

Son las frecuencias absolutas marginales y

El tamaño muestral total.

El estadístico L se distribuye como una con (a – 1) (b – 1) grados
de libertad. El
contraste se realiza con un nivel de significación del
5%.

Ejemplo de Aplicación

Para estudiar la dependencia entre la práctica de
algún deporte y la
depresión, se seleccionó una muestra
aleatoria simple de 100 jóvenes, con los siguientes
resultados:

L = (38 – 32,43)2/32,43 + (31 –
36,57)2/36,57 + (9 – 14,57)2/14,57 + (22 –
16,43)2/16,43

= 0,9567 + 0,8484 + 2,1293 + 1,8883 = 5,8227

El valor que alcanza el estadístico L es 5,8227.
Buscando en la tabla teórica de Chi Cuadrado para 1 grado
de libertad se aprecia Lt = 3,84146 < 5,8227 lo que permite
rechazar la hipótesis de independencia de caracteres con
un nivel de significación del 5%, admitiendo por tanto que
la práctica deportiva disminuye el riesgo de
depresión.

Autor:

Silvia
Román