Teoría elemental de probabilidad (página 2)

Enviado por Omar Alejandro Patino Arellano

Partes: 1, 2, 3

2 Concepto
subjetivo de probabilidad:
la posibilidad (probabilidad) de
que suceda un evento, asignado por una persona con base
en cualquier información de que disponga.

2.2 probabilidad de eventos
Definición 1 La probabilidad de un evento A es la suma de
los pesos de todos los puntos muéstrales en A por lo tanto
0< P(A) < 1, P( )=0, y P(S)=1 Definición 2 La
probabilidad de que un evento ocurra esta dada mediante un numero
que va desde de 0 a 1.00.

2.2.1 definición de espacio maestral
Definición 1 Un espacio maestral: es el conjunto de todos
los resultados posibles de un evento o muestra.
Definición 2 Espacio maestral: es el conjunto de todos lo
s resultados posibles de un experimento estadístico y se
representa con el símbolo S.

2.1.3 discreto y continuo 1. Discreto: si
un espacio maestral contiene un número finito de
posibilidades o una serie interminable con tantos elementos como
números enteros existentes. 2. Discreto: Es aquel donde se
puede contar el número de posibles resultados. 1.
Continuo: No se puede enumerar los posibles resultados, debido a
que, el espacio muestra continuo esta definido sobre la recta de
los números reales. 2. Si el espacio muestral contiene un
número infinito de elementos, es decir, no se puede
establecer una correspondencia biunívoca entre E y N.
2.2.3. Definición de evento. 1. un evento es un
subconjunto de un espacio muestral. 2. Evento: es uno o
más de los resultados posibles de hacer algo, o uno de los
resultados posibles de realizar un experimento. 2.2.4.
Simbología, uniones e intersecciones. 1. A, B,
C…=conjuntos. 2.
a ,b ,c…=elementos de conjuntos 3. =unión de
conjuntos 4. =intersección de conjuntos 5. A"= complemento
de un conjunto 6. / =dado que: 7. diferencia 8. =diferente de
no es elemento de(((9. Elemento de(((10. 11. =subconjunto
impropio de 12. R= conjunto de los números reales 13. N=
conjunto de los números naturales 14. C= conjunto de los
números complejos 15. n!= factorial de un numero entero
positivo 16. Q= conjunto de los números fraccionarios 17.
I= conjunto de los números irracionales 18. c=
subconjuntos Conjunto nulo o vacio(((19.

{ }= yaves. Conjuntos
vacíos

Si A y B son dos subconjuntos de un
conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos
forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B,
escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un
subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito
A & cap B. Si A y B no tienen ningún elemento
común se denominan conjuntos disjuntos ya que su
intersección no tiene ningún elemento, y siendo
conveniente representar esta intersección como otro
conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y
se representa con el símbolo Ã~. Por ejemplo, si A
= {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A
U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A n B
= {4, 6} y A n C = Ã~. 2.2.5. DIAGRAMA DE
VENN A U B. donde los elementos pertenecen así
mismo

A U B A U B

El conjunto universal se representa por
medio del figura de: La intersección esta dada por: A
ÇB = x

A Ç B

2.3. Técnicas
de conteo 1 Las técnicas de conteo son aquellas que son
usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. 2
Las técnicas de conteo son aquello principios que se
usan para contar resultados que no se conocen o que son muy
extensos Se les denomina técnicas de conteo a: las
combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que
a continuación se explicarán y hay que destacar que
éstas nos proporcionan la información de todas las
maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Las bases para entender el uso de las
técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el
aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso
de ellos. 2.3.1 diagrama de árbol

1. Un diagrama de árbol es una
representación gráfica de un experimento que consta
de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo.

2. Los diagramas de
árboles
una herramienta muy que sirve para representar
gráficamente una manera del como se pueden resolver un
determinado problema

El diagrama de árbol por lo regular
siempre empieza con un circulo, de ahí mismo se dividen en
ramas.

Solución:

2.3.2 notación factorial 1
notación factorial: es el producto de n
entero positivo hasta 1 n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)….3, 2.1 2
En algunos problemas de
matemáticas se nos presentan
multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como:
4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.

Para abreviar estas expresiones, se usa una
notación especial llamada notación factorial y nos
denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta l y se define
como:

4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee "cuatro
factorial"

3 x 2 x 1 = 3! Se lee "tres
factorial"

En términos generales:

n(n-1)(n-2)…x 2 x 1 = n! Se lee "n
factorial" 2.3.3 permutación 1 Permutación: Todos
los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles. n
P r = n!

(n – r )!

2 permutación: Es todo arreglo de
elementos en donde nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
2.3.4 combinaciones 1 Combinaciones: Es el número de
formas de seleccionar r objetos de un grupo de n
objetos sin importar el orden. n C r = n!

r! (n – r )!

2 una combinación, es un arreglo de
elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación
nos interesa formar grupos y el
contenido de los mismos. 2.3.5 teorema d el binomio 1 el teorema
del binomio esta dado por el principio de que toda palabra tiene
su inverso como por ejemplo bueno= malo, bonito= feo,
etc.

Tenemos un ejemplo donde estamos utilizando
dos variales independientes X y Y suponiendo que X es bueno y Y
es malo. para n=2, n=3, n=4:

De una manera mas generalizada
tenemos

2 le teorema del binomio es un resultado de
análisis del como de se pueden combinar dos
tipos de diferentes de eventos. 2.4 probabilidad con
técnicas de conteo Como bien se dijo las técnicas
de conteo es una herramienta fundamental para contar
números no muy precisos. 2.4.1 aplicación del
concepto clásico de probabilidad Como sabemos la
probabilidad clásica resulta de las situaciones que tienen
resultados igualmente probables. Los juegos de
azar, entre los que se encuentran el tiro de monedas y de dados o
juegos de cartas. Como por
ejemplo: Si cada carta de un mazo
de 52 naipes tiene la misma posibilidad de ser seleccionada, la
probabilidad de sacar cualquier carta será 1/52: = P(A)=I
carta / 52 cartas. 2.4.2 ejercicios con permutaciones Ejercicio 1
Consideremos a, b, c. ¿Cuántos arreglos posibles
diferentes tenemos? Las permutaciones son abc, acb, bac, bca, cab
y cba. Como vemos tenemos 6 arreglos distintos. nPr = 3P2 =6
Ejercicio 2 ¿Cuántas ordenaciones diferentes der
ocho letras se pueden hacer utilizando las letras RRRRUUUN?
Solucion Sabemos que tenemos 8 letras, 4 eres, 3 ues y 1 ene, las
cuales dan lugar a: 8P 4.3.1 = 280 2.4.3 ejercicios de
combinaciones Ejercicio 1 ¿Cuantos comités
diferentes de tres miembros se pueden seleccionar a partir de un
grupo de personas? Solución 10C3 = 120 Ejercicio 2 Suponga
que queremos formar un comité constituido por una mujer y dos
hombres, a partir de un grupo de 4 mujeres y seis hombres.
¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles?
Solución (4C1 ) (6 C2 ) = 4 x 14 = 60 2.4.4 axiomas 1. una
axioma es una regla ya establecida que no necesta
comprobación. 2. axioma es una regla o ley ya
establecida, que para estos casos no necesita llevarla ala
demostración o comprobación. Axiomas 1. (0= P(A)
=1) 2. P(S)= 1 3. A1, A2, A3, …AK son mutuamente
excluyentes, entonces

S= entonces son eventos
disyuntos((AnB=

P(A1 UA…)= P?( A1…AK) A1U
A2=P(A1) +p(A2 )… 2.4.5 Teoremas Los teoremas son una
demostración de los axiomas, o sea un teorema son un
suceso que permite la demostración de alguna ley o regla.
)(esconjunto vacio, entonces P(((i) si (((a) An A((b)
An

(((((An

ii) si A" es el complemento de un evento
entonces

P(A" )=1-P(A) AC

S=1

S=A U A"

P(S)=P(A) +P( A") P( A")=1- P(A) iii) si A
c B entonces P(A) = P(B) AnB=A AcB B=A U B/A P(B)= P(A) +P( B/A)
a) P(B/A) =0 P( B)=P( A) b) P(B/A)> 0 P( B)> P( A) iv) Sean
A y B dos eventos entonces: P( AU B)= P(A) +P( B)
–P(AnB)

2.5 probabilidad condicional 1 Sea d un
espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde
p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra
un evento A (el que también es definido en el mismo
espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces
deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que
se determina como se muestra.

2 es la posibilidad de que ocurra el evento
A dado que B ha ocurrido.

2.5.1 Dependiente

1 La probabilidad dependiente es aquella
donde A depende B. Sea A y B dos eventos; donde el cual A es
dependiente de B; A= p(B).

2.5.2 Independiente La probabilidad
independiente es aquella donde el cual B no depende de A;
A=P(B)

2.6 ley multiplicativa Al multiplicar la
formula P(B/A) =P( A Ç B)/ P(A) por P( A); obtenemos la
siguiente regla multiplicativa, esta es importante por que nos
permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos.
Teorema: si un experimento pueden ocurrir los eventos A y B,
entonces P( A Ç B)= P( A) P(B/A). así la
probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de
que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B,
dado que ocurre A. Como los eventos (A Ç B) y (BÇA)
son equivalentes, que también lo podemos escribir
como

2.7 eventos independientes

Dos eventos, A y B, son independientes si
la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo
si: P(A ÇB) =P(A)P(B) Esto implica que: P(A B)= P(A) P(B
A)=P(B) Independientes es diferente a mutuamente exclusivos 2.7.1
aplicación de teoremas

2.7.2 regla de bayes

El teorema de Bayes es válido en
todas las aplicaciones de la teoría
de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el
tipo de variables que
emplea.

Concepto clásico
de probabilidad

Este enfoque permite determinar valores de
probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se
le denomina enfoque a priori.

El enfoque clásico es aplicado
cuando todos los resultados son igualmente probables y no pueden
ocurrir al mismo tiempo.

Si queremos conocer la probabilidad del
evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente
cociente:

N(A)

P(A) = ————-

N(S)

Donde: N(A): resultados elementales
posibles son favorables en el evento A

N(S): posibles resultados en el espacio
muestral

EJEMPLOS 1) En un mazo de cartas
bien barajadas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, la
probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción
es

N(A) 4 1

P(A) = —— = —– = —-

N(S) 52 13

2) El experimento es lanzar un dado.
¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia
arriba?

P( caiga 2 ) = 1 = .166

—-

Enfoque de frecuencias
relativas (a posteriori o empírico)

Este enfoque permite determinar la
probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre
un resultado favorable en cierto número experimentos.

No implica ningún supuesto previo de
igualdad de
probabilidades.

A este enfoque se le denomina
también enfoque empírico debido a que para
determinar los valores de
probabilidad se requiere de la observación y de la recopilación de
datos.
También se le denomina a posteriori, ya que el resultado
se obtiene después de realizar el experimento un cierto
número de veces.

Si queremos conocer la probabilidad del
evento A según este enfoque debemos calcular el siguiente
cociente:

Número de observaciones de A
n(A)

P(A) =
————————————– = ——-

Tamaño de la muestra n

EJEMPLOS

1) Antes de incluir la cobertura
para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de
seguros médicos para adultos con empleo, una
compañía de seguros desea determinar la
probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para
que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas
cifras. Por ello, un especialista en estadística
recopila datos para 10,000 adultos que se encuentran en las
categorías de edad apropiadas y encuentra que 100 de
ellos han experimentado el problema dental específico
durante el año anterior. Por ello, la probabilidad de
ocurrencia es:

2) Se sabe que una moneda
está cargada. Para determinar la probabilidad de que
caiga águila se lanza 60 veces la moneda al aire, de
las cuales 25 veces cayó águila. Si aplicamos
la fórmula:

Interpretación
subjetiva probabilidad

La probabilidad subjetiva o condicionada
interpreta las mismas frecuencias del procedimiento de
confirmación de la evidencia implícita en una
relación causal humana mediante una aplicación
estricta del teorema de Bayes. Según este teorema la
probabilidad condicionada de un suceso (A) respecto de otro (B),
es directamente proporcional a la probabilidad ya comprobada o "a
priori" de la conjunción de ambos eventos A y B, e
inversamente proporcional a la probabilidad aislada del segundo
evento B. En todo momento se presupone la referencia a eventos
recíprocamente independientes, aunque interrelacionados,
manteniendo entre ellos una correlación meramente
fáctica.

Probabilidad de
eventos

La creación de la probabilidad se
atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise
Pascal y
Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado
importantes contribuciones a su desarrollo. La
probabilidad matemática
comenzó como un intento de responder a varias preguntas
que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber
cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de
que salga algún seis supere el 50%.

La probabilidad de un resultado se
representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La
probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca,
y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá
siempre.

El cálculo
matemático de probabilidades se basa en situaciones
teóricas en las cuales puede configurarse un espacio
muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma
probabilidad. Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la
probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos
dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es
1/36.

En estos casos, la probabilidad de un
suceso cualquiera S, se calcula mediante la regla de Laplace:

P[S] = número de sucesos elementales
de S / número total de sucesos elementales

P[S] = número de casos favorables a
S / número de casos posibles

Pierre de Fermat El matemático
francés Pierre de Fermat destacó por sus
importantes aportaciones a la teoría de la probabilidad y
al cálculo
diferencial. También contribuyó al desarrollo
de la teoría de números.Corbis

La aplicación de la regla de Laplace
en casos elementales es muy sencilla. Por ejemplo, en la
experiencia de lanzar un dado:

P[{2, 3, 4, 5}] = 4/6

Pues {2, 3, 4, 5} tiene 4 sucesos
elementales y la experiencia admitía, en total, seis
posibilidades.

Sin embargo, la aplicación de esta
regla en experimentos más complejos requiere el uso de la
combinatoria. Por ejemplo, al extraer tres cartas de una baraja y
ver la probabilidad de que las tres sean tréboles, el
número total de sucesos elementales es C523 =
(52•51•50)/(3•2•1) = 22.100. Los casos
favorables son C133= (13•12•11)/(3•2•1) =
286. Por tanto, la probabilidad pedida es:

P[TRES TRÉBOLES] = 286/22.100 =
143/11.050

La resolución de este tipo de
problemas se simplifica notablemente si consideramos "sacar tres
naipes" como una experiencia compuesta por tres experiencias
simples: "sacar un naipe y después otro y después
otro".

Definición
espacio muestral

Espacio muestral (E): es el conjunto
de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento
aleatorio.

Suceso: subconjunto del espacio muestral.
Se representa con una letra mayúscula, con sus elementos
entre llaves y separados por comas.

Operaciones con sucesos:

Unión: la unión de dos
sucesos es el suceso que ocurre cuando se da uno de ellos.
Intersección: la intersección dos sucesos es el
suceso que ocurre cuando se dan ambos a la vez.

Tipos de sucesos:

Suceso Seguro: se tiene
la certeza de que se producirá porque contiene todos los
resultados posibles de la experiencia (coincide con el espacio
muestral).

Suceso Imposible: se tiene la certeza de
que nunca se puede presentar, ya que no tiene elementos (es el
conjunto vacío).

Suceso Contrario de A: es el que ocurre
cuando no se da A; es su complementario respecto al espacio
muestral (A").

Suceso Elemental: es el que tiene un solo
resultado, es un conjunto unitario.

Sucesos incompatibles: la
intersección es conjunto vacío, es decir, no pueden
los dos sucesos darse al mismo tiempo.

Sucesos Compatibles: la intersección
de dos sucesos contiene algún elemento.

ESPACIO DISCRETO Y
CONTINUO

Espacio muestral discreto: si contiene un
número finito o infinito numerable de puntos muestrales.
Ejemplo: se tiene una urna con bolillas del 1 al 20. Se extrae
una. S = { 1, 2, 3 …, 20 } (finito)

Espacio muestral contínuo: si
contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales.
Ejemplo: su utiliza una balanza de presición para pesar
partículas metálicas. S= { X : 0 < X <
infinito )

Definición de
evento

Un evento es un subconjunto de un espacio
muestral.

Evento o Suceso. Se llama evento o
suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en
el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un
dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2,
3, 5}

2. Obtener un número primo y par B =
{2}

3. Obtener un número mayor o igual a
5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos
eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma
simultánea, esto es, si y sólo si su
intersección es vacía. Por ejemplo, en el
lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son
mutuamente excluyentes por cuanto B C =

Eventos Complementarios.- Si A B = y
A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y
Bc = A

Su Medición Matemática o
Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los
resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir,
la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de
cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un
evento A es la razón:

P(A) = número de casos favorables
para A/número total de casos posibles

A partir de esta definición las
probabilidades de los posibles resultados del experimento se
pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el
experimento.

Se deduce de la definición lo
siguiente:

0 P(A) 1 La medición
probabilística es un número real entre 0 y 1,
inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje.

P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del
resultado A de un experimento es la razón FR =
número de veces que ocurre A/número de veces que se
realiza el experimento

Si el experimento se repite un
número grande de veces, el valor de FR se
aproximará a la medición probabilística P
del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el
número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR
es cercano a 50%.

Simbología
uniones e intersecciones

2.2.4. Simbología, uniones e
intersecciones.

1. A, B, C…=conjuntos.

2. a ,b ,c…=elementos de
conjuntos

3. U=unión de conjuntos

4. n=intersección de
conjuntos

5. A"= complemento de un
conjunto

6. / =dado que

7. diferencia

8. <>=diferente de

9. ( )=Conjunto nulo o vacio

10. R= conjunto de los números
reales

11. N= conjunto de los números
naturales

12. C= conjunto de los números
complejos

13. n!= factorial de un numero entero
positivo

14. Q= conjunto de los números
fraccionarios

15. I= conjunto de los números
irracionales

16. c= subconjuntos

{ }= yaves. Conjuntos
vacíos

Si A y B son dos subconjuntos de un
conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos
forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B,
escrito A U B.

Los elementos comunes a A y B forman un
subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito
A &cap B.

Si A y B no tienen ningún elemento
común se denominan conjuntos disjuntos ya que su
intersección no tiene ningún elemento, y siendo
conveniente representar esta intersección como otro
conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y
se representa con el símbolo Ã~.

Por ejemplo,

si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C =
{10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2,
4, 6, 10, 14, 16, 26}, A n B = {4, 6} y A n C =
Ã~.

DIAGRAMA DE VEN

Diagrama de Venn.

Los diagramas de Venn son ilustraciones
usadas en la rama de las matemáticas conocida como
teoría de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar
gráficamente la relación matemática o
lógica
entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada
conjunto mediante un óvalo o círculo.

La forma en que esos círculos se
sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones
lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo,
cuando los círculos se superponen, indican la existencia
de subconjuntos con algunas características
comunes.

Orígenes e Historia.

Los diagramas de Venn reciben su nombre de
su creador, John Venn, matemático y filósofo
británico. Estudiante y más tarde profesor en el
Caius College de la Universidad de
Cambridge, desarrolló toda su producción intelectual entre esas cuatro
paredes.

Venn introdujo el sistema de
representación que hoy conocemos con su nombre en julio de
1880 con la publicación de su trabajo
titulado "De la representación mecánica y diagramática de
proposiciones y razonamientos" (On the Diagrammatic and
Mechanical Representation of Propositions and Reasonings) en el
Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un
cierto revuelo en el mundo de la lógica formal.

Aunque la primera forma de
representación geométrica de silogismos
lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz,
y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el
método de
Venn superaba en claridad y sencillez a los sistemas de
representación anteriores, hasta el punto de convertirse
con el tiempo en un nuevo estandar. Venn fue el primero en
formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de
generalización para los mismos.

Más adelante desarrolló algo
más su nuevo método en su libro
"Lógica simbólica", publicado en 1881 con el
ánimo de interpretar y corregir los trabajos de Boole en
el campo de la lógica formal. Aunque no tuvo demasiado
éxito
en su empeño, su libro se convirtió en una
excelente plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de
representación. Siguió usándolo en su
siguiente libro sobre lógica (Los principios de la
lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los
diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más
empleados como representación de relaciones
lógicas.

Sin embargo, la primera referencia escrita
al término "diagrama de Venn" de la que se tiene
constancia es muy tardía (1918), en el libro "A Survey of
Symbolic Logic", de Clarence Irving Lewis.

Los diagramas de Venn se emplean hoy
día para enseñar matemáticas elementales y
para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al
cálculo simbólico puro. Se suelen usar
también en el aula diagramas de Venn de dos o tres
conjuntos como herramienta de síntesis,
para ayudar a los estudiantes a comparar y contrastar dos o tres
de elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento
las características exclusivas, y en las intersecciones,
las comunes con los otros.

Tipos de diagramas de venn

Diagrama de dos conjuntos

Observemos el ejemplo a la derecha:
Supongamos que el conjunto A (el círculo naranja)
representa, por ejemplo, todas las criaturas vivas con solo dos
piernas motrices, y el conjunto B (el círculo azul)
contiene a todas las criaturas que pueden volar. El area donde
ambos círculos se sobreponen (que recibe el nombre de
intersección entre A y B, o intersección A – B)
contendría por tanto todas las criaturas que, al mismo
tiempo, pueden volar y tienen solo dos piernas
motrices.

Imaginemos ahora que cada tipo distinto de
criatura viva está representado con un punto situado en
alguna parte del diagrama. Los humanos y los pingüinos
estarían dentro del círculo naranja (el conjunto A)
en la parte en la que no se sobrepone al círculo azul (el
conjunto B), ya que ambos son bípedos y no pueden volar.
Los mosquitos, que tienen seis piernas motrices y pueden volar,
estarían representados con un punto dentro del
círculo azul fuera de la intersección A – B. Los
loros, que tienen dos piernas motrices y pueden volar,
estarían representados por un punto dentro de la
intersección A – B. Cualquier tipo de criatura que no
tuviera solo dos piernas ni pudiera volar (como por ejemplo las
ballenas o las serpientes), estaría representado mediante
puntos fuera de ambos círculos.

El diagrama de Venn representado en el
ejemplo 1 puede describirse como la relación entre el
conjunto A y el conjunto B. El área combinada de ambos
conjuntos recibe el nombre de unión de los conjuntos A y
B. La unión en este caso contiene todos los tipos de
criaturas que tienen dos piernas, pueden volar, o ambas cosas a
la vez.

El área donde los conjuntos A y B se
entrecruzan se define como la intersección de A y B.
Contiene todos los tipos de criaturas que pertenecen a la vez a A
y a B, es decir, que tienen dos piernas Y pueden volar. Un
diagrama de Venn de dos conjuntos define 3 áreas
diferentes, que pueden unirse en 6 posibles
combinaciones:

A (dos patas) A y B (dos patas y vuelan) A
y no B (dos patas y no vuelan) no A y B (más o menos de
dos patas, y vuelan) no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)
B (vuelan)

A veces se incluye un rectángulo
alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de conjunto
universal. Se usa para representar el conjunto de todas las cosas
posibles. La definición del universo, al
igual que la de los conjuntos, depende del diagrama sobre el que
se representa. La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada
por el propio Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson,
más conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos.

Los diagramas de tres conjuntos fueron los
más corrientes elaborados por Venn en su
presentación inicial. Las distintas intersecciones de los
tres conjuntos A, B y C definen ocho áreas diferentes,
cuyas posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los
tres conjuntos iniciales. Más de tres conjuntos

La dificultad de representar más de
tres conjuntos mediante diagramas de Venn (o cualquier otra
representación gráfica) es bien evidente. Venn
sentía afición a la búsqueda de diagramas
para más de tres conjuntos, a los que definía como
figuras simétricas, elegantes en sí mismas. A lo
largo de su vida diseñó varias de estas
representaciones usando elipses, así como indicaciones
para la creación de diagramas para cualquier cantidad de
curvas, partiendo del diagrama de tres
círculos.

Diagramas de Venn de Edwards.

A. W. F. Edwards diseñó unas
hermosas representaciones para diagramas de Venn de más de
tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se
pueden representar fácilmente tres conjuntos tomando tres
hemisferios en ángulos adecuados (x=0, y=0 y z=0). Un
cuarto conjunto se puede representar tomando una curva similar a
la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del
ecuador. Los
conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano
para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez
mayores de dientes.

Edwards ideó estos diagramas
mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn
que hoy adorna el comedor de su colegio.

Diagrama para tres conjuntos

Diagrama para cuatro conjuntos

Diagrama para cinco conjuntos

Diagrama para seis conjuntos

Otros diagramas.

Los diagramas de Edwards son
topológicamente equivalentes a los diagramas
diseñados por Branko Grünbaum, que se basaban en
polígonos intersectados, con cantidades
crecientes de lados.

Smith ideó diagramas similares de n
conjuntos usando curvas senoidales en ecuaciones
como y=sin(2ix)/2i, 0=i=n-2.

Lewis Carroll diseñó un
diagrama de cinco conjuntos.

Diagramas Similares.

Diagramas de Euler

Los diagramas de Euler son similares a los
de Venn, pero no necesitan todas las posibles relaciones. Por
ejemplo, en el representado a la derecha un conjunto (el A)
está totalmente incluido en otro (el B), mientras que otro
(el C) no tiene ninguna relación con los dos
anteriores.

Supongamos que el conjunto A representa
todos los tipos de queso que pueden encontrarse en el mundo, y el
B representa a todos los comestibles existentes en el mundo.
Según el diagrama, se ve claramente que todos los quesos
son comestibles, pero no todos los comestibles son quesos. Si
definimos el conjunto C como el de las cosas hechas de metal, el
diagrama nos permite representar de forma evidente dos
afirmaciones adicionales: los comestibles no están hechos
de metal, y las cosas hechas de metal no son
comestibles.

Diagrama De Johnston.

Diagrama de Johnston para la
expresión ni A ni B son ciertas.

Los diagramas de Johnston se usan para
ilustrar afirmaciones lógicas como ni A ni B son ciertas,
y son una forma visual de ilustrar tablas de verdad. Pueden ser
idénticos en apariencia a diagramas de Venn, pero no
representan conjuntos de elementos.

Los mapas de Karnaugh
o Diagramas de Veitch son otra forma de representar de forma
visual expresiones de algebra booleana.

Diagrama de Peirce.

Los diagramas de Peirce, creados por
Charles Peirce, son extensiones de los diagramas de Venn que
incluyen información sobre afirmaciones existenciales,
disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones [2].

Técnicas de
conteo

Diagrama de Venn.

Los diagramas de Venn son ilustraciones
usadas en la rama de las matemáticas conocida como
teoría de conjuntos.

Estos diagramas se usan para mostrar
gráficamente la relación matemática o
lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),
representando cada conjunto mediante un óvalo o
círculo.

Orígenes e Historia.

Los diagramas de Venn reciben su nombre de
su creador, John Venn, matemático y filósofo
británico. Estudiante y más tarde profesor en el
Caius College de la Universidad de Cambridge, desarrolló
toda su producción intelectual entre esas cuatro
paredes.

Venn introdujo el sistema de
representación que hoy conocemos con su nombre en julio de
1880 con la publicación de su trabajo titulado "De la
representación mecánica y diagramática de
proposiciones y razonamientos" (On the Diagrammatic and
Mechanical Representation of Propositions and Reasonings) en el
Philosophical Magazine and Journal of Science, provocando un
cierto revuelo en el mundo de la lógica formal.

Aunque la primera forma de
representación geométrica de silogismos
lógicos se atribuye comúnmente a Gottfried Leibniz,
y fue luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan, el
método de Venn superaba en claridad y sencillez a los
sistemas de representación anteriores, hasta el punto de
convertirse con el tiempo en un nuevo estandar. Venn fue el
primero en formalizar su uso y en ofrecer un mecanismo de
generalización para los mismos.

Más adelante desarrolló algo
más su nuevo método en su libro "Lógica
simbólica", publicado en 1881 con el ánimo de
interpretar y corregir los trabajos de Boole en el campo de la
lógica formal. Aunque no tuvo demasiado éxito en su
empeño, su libro se convirtió en una excelente
plataforma de ejemplo para el nuevo sistema de
representación. Siguió usándolo en su
siguiente libro sobre lógica (Los principios de la
lógica empírica, publicado en 1889), con lo que los
diagramas de Venn fueron a partir de entonces cada vez más
empleados como representación de relaciones
lógicas.

Sin embargo, la primera referencia escrita
al término "diagrama de Venn" de la que se tiene
constancia es muy tardía (1918), en el libro "A Survey of
Symbolic Logic", de Clarence Irving Lewis.

Los diagramas de Venn se emplean hoy
día para enseñar matemáticas elementales y
para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al
cálculo simbólico puro. Se suelen usar
también en el aula diagramas de Venn de dos o tres
conjuntos como herramienta de síntesis, para ayudar a los
estudiantes a comparar y contrastar dos o tres de elementos; en
este uso, se incluyen dentro de cada elemento las
características exclusivas, y en las intersecciones, las
comunes con los otros.

Tipos de diagramas de venn

Diagrama de dos conjuntos

A (dos patas) A y B (dos patas y vuelan) A
y no B (dos patas y no vuelan) no A y B (más o menos de
dos patas, y vuelan) no A y no B (ni tienen dos patas ni vuelan)
B (vuelan)

A veces se incluye un rectángulo
alrededor del diagrama de Venn, que recibe el nombre de conjunto
universal. Se usa para representar el conjunto de todas las cosas
posibles. La definición del universo, al igual que la de
los conjuntos, depende del diagrama sobre el que se representa.
La idea de conjunto universal, aunque fue apuntada por el propio
Venn, se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, más
conocido como Lewis Carroll.

Diagramas de tres conjuntos.

Los diagramas de tres conjuntos fueron los
más corrientes elaborados por Venn en su
presentación inicial. Las distintas intersecciones de los
tres conjuntos A, B y C definen ocho areas diferentes, cuyas
posibles uniones suponen 256 combinaciones distintas de los tres
conjuntos iniciales. Más de tres conjuntos

Diagramas de Venn de Edwards.

A. W. F. Edwards diseñó unas
hermosas representaciones para diagramas de Venn de más de
tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Se
pueden representar facilmente tres conjuntos tomando tres
hemisférios en
ángulos adecuados (x=0, y=0 y z=0). Un cuarto conjunto se
puede representar tomando una curva similar a la juntura de una
pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los
conjuntos resultantes pueden proyectarse de nuevo sobre el plano
para mostrar diagramas de engranaje, con cantidades cada vez
mayores de dientes.

Edwards ideó estos diagramas
mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de
Venn que hoy adorna el comedor de su colegio.

Diagrama para tres conjuntos

Diagrama para cuatro conjuntos

Diagrama para cinco conjuntos

Diagrama para seis conjuntos

Otros diagramas.

Los diagramas de Edwards son
topológicamente equivalentes a los diagramas
diseñados por Branko Grünbaum, que se basaban en
polígonos intersectados, con cantidades crecientes de
lados.

Smith ideó diagramas similares de n
conjuntos usando curvas senoidales en ecuaciones como
y=sin(2ix)/2i, 0=i=n-2.

Lewis Carroll diseñó un
diagrama de cinco conjuntos.

Diagramas Similares.

Diagramas de Euler

Diagrama De Johnston.

Diagrama de Johnston para la
expresión ni A ni B son ciertas.

Los mapas de Karnaugh o Diagramas de Veitch
son otra forma de representar de forma visual expresiones de
algebra booleana.

Diagrama de Peirce.

Diagrama de
árbol

Un diagrama de árbol es una
representación gráfica que muestra los resultados
posibles de una serie de experimentos y sus respectivas
probabilidades.

I.II.I Construcción Del Diagrama De
Árbol

Sean: A={2,6,0} y B={3,7}

a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado
a la izquierda, representa la raíz del
árbol);

b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas
como elementos tenga el conjunto A;

c) Abrir a partir de cada una de estas,
tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;

d) Leer el conjunto ordenado resultante
sobre cada secuencia de ramas.

"+"""INSTITUTO TECNOLÓGICO DE
LEÓN. Licenciatura en Administración Camarena Monjaraz
Columba"""+"

I. DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de árbol es una
representación gráfica de un experimento que consta
de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número
finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:

1. Un médico general
clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o
femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la
presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).
Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este
médico?

Solución:

Si contamos todas las ramas terminales, nos
damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x
3 = 24 mismas que podemos enumerar;

MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.,
etc.

1) Dos equipos denominados A y B se
disputan la final de un partido de baloncesto,
aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de
tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante
un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser
ganado este torneo,

Solución:

A = gana el equipo A

B = gana el equipo B

En este diagrama se muestran que hay solo
diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando
las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es
posible enumerar;

AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc.,
etc.

2) Un hombre tiene
tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él
empieza a jugar con un dólar, apuesta cada vez un
dólar y puede ganar o perder en cada juego un
dólar, él se va a retirar de jugar si pierde todo
su dinero, si
gana tres dólares (esto es si completa un total de cuatro
dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un
diagrama de árbol, diga cuántas maneras hay de que
se efectué el juego de este hombre.

Solución:

Si contamos las ramas terminales nos
daremos cuenta que hay 11 maneras de que este hombre lleve a cabo
sus apuestas, en este diagrama se han representado los cinco
juegos o apuestas que este hombre tiene tiempo de
jugar.

Permutación
permutaciones

Al ordenar un conjunto de n objetos en un
orden se llama permutación de los objetos tomando todo a
la ves al ordenador un numero r de dicho objeto donde r se llama
una permutación de los objetos tomados r a la
ves

Para poder calcinar
las permutaciones debemos la forma

n P r = n !

(n-r)!

SI N= R

nPr =n!

Cuantas permutaciones de 3 elementos se
forman con 3 objetos ABC

Combinaciones

Son casos especiales de ordenamientos sin
reemplazo, pero en una combinación si importa el orden de
los elementos es decir, si un arreglo ya salió no puede
volver a salir en cualquier orden.

Se definen las combinaciones de un conjunto
de n elementos tomados de r en r elementos, como los
ordenamientos sin reemplazo de los n elementos del conjunto
tomado de r en r, multiplicados por el inverso multiplicativo de
las permutaciones de r elementos, es decir:

Problema 1.- ¿Cuántas
combinaciones de 3 elementos podemos formar con las 6 caras de un
dado?

2.- En una caja hay 6 canicas blancas, 8
canicas verdes y 10 canicas rojas, extraer:

a) Combinaciones de 3 canicas

b) Combinaciones de 5 canicas
verdes

Anexo

1.5 Combinaciones.

Como ya se mencionó anteriormente,
una combinación, es un arreglo de elementos en donde no
nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos
dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar
grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el
número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de
entre n objetos

Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica
como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos
pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos
tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las
combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si
tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!,
les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas
en combinaciones, de otra forma, también si deseamos
calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente
con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones
requeridas.

nPr = nCr r!

Y si deseamos r = n entonces;

nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! =
1

¿Qué nos indica lo anterior?
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de
elementos con que se cuenta solo es posible formar un
grupo.

Ejemplos: 1) a. Si se cuenta con 14 alumnos
que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec,
cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que
consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos
hay 8 mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza
tendrán a 3 mujeres?, c. ¿cuántos de los
grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo
menos?

Solución: a. n = 14, r =
5

14C5 = 14! / (14 – 5)!5! = 14! /
9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/
9!5!

= 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay
grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo
mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r =
5

En este caso nos interesan aquellos grupos
que contengan 3 mujeres y 2 hombres

8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6
– 2)!2!)

= (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!)

= 8 x7 x 6 x 5 /2!

= 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres,
puesto que cada grupo debe constar de 5 personas

c. En este caso nos interesan grupos en
donde haya 4 hombres o más

Los grupos de interés
son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120
+ 6 = 126

2) Para contestar un examen un alumno debe
contestar 9 de 12 preguntas, a. ¿Cuántas maneras
tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.
¿Cuántas maneras tiene si forzosamente debe
contestar las 2 primeras preguntas?, c. ¿Cuántas
maneras tiene si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?,
d. ¿Cuántas maneras tiene si debe contestar como
máximo una de las 3 primeras preguntas?

Solución:

a. n = 12, r = 9

12C9 = 12! / (12 – 9)!9!

= 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 / 3!

= 220 maneras de seleccionar las nueve
preguntas o dicho de otra manera,

el alumno puede seleccionar cualquiera de
220 grupos de 9 preguntas para contestar el examen

b. 2C2*10C7 = 1 x 120 = 120 maneras de
seleccionar las 9 preguntas entre las que están las dos
primeras preguntas c. 3C1*9C8 = 3 x 9 = 27 maneras de seleccionar
la 9 preguntas entre las que está una de las tres primeras
preguntas

d. En este caso debe seleccionar 0 o 1 de
las tres primeras preguntas

3C0*9C9 + 3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9) = 1 +
27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a
contestar

3) Una señora desea invitar a cenar
a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras
tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si
entre ellos está una pareja de recién casados y no
asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras
tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van
juntos?

Solución: a. n = 11, r =
5

11C5 = 11! / (11 – 5)!5! = 11! /
6!5!

= 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! /
6!5!

= 462 maneras de invitarlos

Es decir que se pueden formar 462 grupos de
cinco personas para ser invitadas a cenar.

b. Esta señora tiene dos
alternativas para hacer la invitación, la primera es no
invitar a la pareja y la segunda es invitar a la
pareja.

2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) =
210 maneras de invitarlos

En este caso separamos a la pareja de los
demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no
asistan o que asistan a la cena.

c. La señora tiene dos alternativas
para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a
Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.

2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) =
126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación

4) En un plano hay 10 puntos denominados A,
B, C, ….,etc. etc., en una misma línea no hay
más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas
pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b.
¿Cuántas de las líneas no pasan por los
puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de
los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos
contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los
triángulos tienen el lado AB?.

Solución:

a. a. En la redacción del problema se aclara que en una
misma línea no hay más de dos puntos debido a que
si lo anterior ocurriera no se podría dar
contestación a las preguntas que se hacen.

Una línea puede ser trazada a partir
de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2!
= 45 líneas que se pueden trazar

b. b. En este caso excluiremos los puntos A
y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán
las líneas.

2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 líneas que no
pasan por los puntos A o B

c. c. Un triángulo puede ser trazado
a partir de tres puntos, luego;

10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3!
= 120 triángulos posibles de trazar

d. d. En este caso se separa el punto A de
los demás, se selecciona y posteriormente también
se seleccionan dos puntos más.

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que
contienen el punto A

e. e. Los puntos A y B forman parte de los
triángulos a trazar por lo que;

2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que
contienen el lado AB

Teorema del
binomio

En matemáticas, el teorema del
binomio proporciona la expansión de las potencias de una
suma.

(1)

Donde

De manera que sustituyendo se
obtiene:

Como ejemplo, para n=2, n=3,
n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las
potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el
caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente
forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)
[editar] Isaac Newton
generalizó la fórmula para tomar otros exponentes,
considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número
complejo (en particular, r puede ser cualquier número
real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes
están dados por:

(El k = 0 es un producto vacío y por
lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los
otros factores (r – 1), etc., no aparecen en ese
caso).

Una forma útil pero no obvia para la
potencia
recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es
verdadera siempre que los números reales o complejos x e y
sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor
absoluto | x/y | sea menor a uno.

TEOREMA DEL BINOMIO

En matemáticas, el teorema del
binomio proporciona la expansión de las potencias de una
suma.

(1)

Donde

De manera que sustituyendo se
obtiene:

Como ejemplo, para n=2, n=3,
n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las
potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el
caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente
forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)
[editar]Isaac Newton generalizó la fórmula para
tomar otros exponentes, considerando una serie
infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número
complejo (en particular, r puede ser cualquier número
real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes
están dados por:

(El k = 0 es un producto vacío y por
lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los
otros factores (r – 1), etc., no aparecen en ese
caso).

Una forma útil pero no obvia para la
potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es
verdadera siempre que los números reales o complejos x e y
sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor
absoluto | x/y | sea menor a uno.

PROBABILIDAD CON TECNICAS DE
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Estoy invitando a todos los maestros y
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EMPIEZA A CONSTRUIR, SALUDOS Y MUCHAS GRACIAS

Aplicación.
Concepto clásico de aplicación

EJERCICIOS DE PREMUTACION

PERMUTACIONES.

Para entender lo que son las permutaciones
es necesario definir lo que es una combinación y lo que es
una permutación para establecer su diferencia y de esta
manera entender claramente cuando es posible utilizar una
combinación y cuando utilizar una permutación al
momento de querer cuantificar los elementos de algún
evento.

COMBINACIÓN: Es todo arreglo de
elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho
arreglo.

PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de
elementos en donde nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho
arreglo.

EJEMPLO Suponga que un salón de
clase
está constituido por 35 alumnos. a) El maestro desea que
tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener
el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando
así sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los
representantes del salón (Presidente, Secretario y
Tesorero).

Solución: a) a) Suponga que por
unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar
el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse
seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado
cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades
mencionadas anteriormente). ¿Es importante el orden como
se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres
personas? Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el
orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único
que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho
de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?
Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir
esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras
de elementos en donde lo único que nos interesa es el
contenido de los mismos.

b) b) Suponga que se han nombrado como
representantes del salón a Daniel como Presidente, a
Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que
a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran
a continuación:

CAMBIOS PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael
Daniel SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael TESORERO: Rafael
Rafael Arturo Arturo

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se
trata de la misma representación?

Creo que la respuesta sería no, ya
que el cambio de
función
que se hace a los integrantes de la representación
original hace que definitivamente cada una de las
representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el
orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta
definitivamente sería sí, luego entonces las
representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o
la forma en que se asignan las funciones
sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con
permutaciones.

EJERCICIOS DE COMBINACIONES

FÓRMULA

La fórmula que da el número
de combinaciones de r objetos tomados de una colección de
n es:

Note que siempre este número va a
ser menor que nPr ya que, como no interesa el orden, va a haber
menos combinaciones, ya que muchas nos van a resultar
iguales.

El paradigma
ahora es un comité en que todos tienen voz y voto.
Aquí no importa el orden en que fueron seleccionados los
integrantes.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA
FÓRMULA

Suponga que un salón de clase
está constituido por 35 alumnos. El maestro desea que tres
de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el
aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así
sea necesario.

SOLUCIÓN:

Suponga que por unanimidad se ha elegido a
Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el aula o entregar
material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel
y a Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres
personas para realizar las actividades mencionadas
anteriormente).

¿Es importante el orden como se
selecciona a los elementos que forma el grupo de tres
personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta
de que el orden en este caso no tiene importancia, ya que lo
único que nos interesaría es el contenido de cada
grupo, dicho de otra forma, ¿quiénes están
en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación,
quiere decir esto que las combinaciones nos permiten formar
grupos o muestras de elementos en donde lo único que nos
interesa es el contenido de los mismos.

Axiomas

Definiciones, Axiomas y Teoremas

Experimento. Toda acción
bien definida

Espacio muestral. La totalidad de los
puntos muestrales de un experimento. (S)

Evento. Serie de puntos muestrales
específicos del espacio muestral.

Probabilidad. Número de elementos
favorables entre número total de elementos.

Ejemplo:

En la tirada de un dado corriente
hallar:

a) El espacio muestral

b) El evento A en que aparezca un
número par en la tirada del dado.

c) La probabilidad de que aparezca un
5.

Solución:

a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) A = {2, 4, 6}

c) p(5) = 1/6

Ejemplo:

Sea el caso de lanzar una moneda 2 veces,
hallar:

a) El espacio maestral.

b) El evento B donde todos los resultados
son iguales.

c) La probabilidad de que los resultados
sean iguales.

d) La probabilidad de que caigan dos
soles.

Solución:

a) S = {AA, SS, AS, SA}

b) B = {AA, SS}

c) p(resultados iguales) = 2/4 =
1/2

d) p(SS) = 1/4

Axiomas:

1) Para el evento 0:

P (0) = 0

2) Para S:

P (S) = 1

3) Para todo evento A:

0 £ p(A) £ 1

4) Si A y B son dos eventos mutuamente
exclusivos:

p(AÈB) = p(A) + p (B)

Teoremas:

1) Si Ac es el complemento del evento A,
entonces:

p(Ac) = 1 – p(A)

2) Si A y b son 2 eventos,
entonces:

p(A-B) = p(A) –
p(AÇB)

3) Si A y B son 2 eventos,
entonces:

p(AÈB) = p(A) + p(B) –
p(AÇB) ÃY (regla de la adición)

4) Si A y B son 2 eventos
independientes:

p(AÇB) = p(A) . p(B) ÃY
(regla de la multiplicación)

Probabilidad Simple y Probabilidad
Compuesta

Probabilidad Simple. Cuando los resultados
que entran en un espacio muestral son simples.

Probabilidad Compuesta. La probabilidad de
eventos simples relacionados entre si por alguno o algunos de los
conectivos Ç y È que corresponden a la
intersección y unión de conjuntos. La
negación da lugar a probabilidad compuesta:

p(AÈB); p(AÇB);
p(A")

Ejemplo:

Se tiene una caja con 3 lápices
rojos, 4 verdes y 2 azules. ¿Cuál será la
probabilidad de que al sacar un lápiz, este
sea?

a) Rojo

b) Verde

c) Azul

d) Blanco

Solución:

a) p(rojo) = 3/9 = 1/3

b) p(verde) = 4/9

c) p(azul) = 2/9

d) p(blanco) = 0/9 = 0

Ejemplo:

¿Qué probabilidad hay de que
al hacer una tirada con un solo dado no salga un número
par?

Solución:

p(A") = 1 – p(A)

A = {salga par}; A = {2, 4, 6}

p(A) = 3/6

p(A") = 1 – 3/6 = 3/6 =
½

Ejemplo:

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres
de los cuales la mitad de los hombres y la mita de mujeres tienen
ojos castaños. Hallar la probabilidad de que una persona
elegida al azar sea hombre ó tenga los ojos
castaños.

Solución:

A = {Hombre}; B = {Ojos
castaños}

p(AÈB) = p(A) + p(B) –
p(AÇB)

= 10/30 + 15/30 – 5/30 = 20/30 =
2/3

TEOREMAS PROBABILIDAD

B) AXIOMAS Y TEOREMAS.

Para el cálculo de probabilidades
hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a
continuación se enumeran.

1)La probabilidad de que ocurra un evento A
cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

2)La probabilidad de que ocurra el espacio
muestral d debe de ser 1.

p(d) = 1

3)Si A y B son eventos mutuamente
excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente
excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,…..An,
entonces;

p(A 1 ÈA 2
È?………ÈAn) = p(A1) + p(A2) +
…….+ p(An)

Teoremas

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o
vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser
cero.

p(f)=0

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como
f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces
p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento
de A, Ac debe ser, p(Ac)= 1 – p(A)

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral d, se divide en dos
eventos mutuamente exclusivos, A y Ac luego d=AÈAc, por
tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que
p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 – p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B,
entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos
mutuamente excluyentes, A y B A (B menos A), por tanto,
B=AÈ(B A) y p(B)=p(A) +p(B A), luego entonces si p(B
A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A B )= p(A) –
p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son dos
eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos
eventos mutuamente excluyentes, (A B) y AÇB, por tanto,
A=(A B)È(AÇB), luego p(A)=p(A B) +
p(AÇB), entonces, p(A B) = p(A) – p(AÇB).
LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B,
p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN:

Si AÈB = (A B) È B, donde
(A B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A
È B) = p(A B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que
p(A B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) =
p(A) + p(B) – p(AÇB). LQQD

COROLARIO:

Sea d un espacio muestral en donde se ha
definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la
probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es
definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya
ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de
tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra
A dado que E ya ocurrió

p(AÇE) = probabilidad de que ocurra
A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra
E

Luego;

Por tanto:

Donde:

½AÇE½= número
de elementos comunes a los eventos A y E

½E½= número de
elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de
las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional
de A dado que E ya ocurrió.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire dos dados
normales, si la suma de los números que aparecen es de por
lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo
dado aparezca el número cuatro, b. Determine la
probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine
la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero
dos.

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando
se lanza un dado dos veces y se muestra a
continuación;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(6,2)

d = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)

a. Para calcular una probabilidad
condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo
estos,

A = evento de que en el segundo dado
aparezca el número cuatro,

E = evento de que la suma de los
números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es
que es el evento que está condicionando)

E = {21 elementos, los que suman siete o
más}

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)

A = {6 elementos, los que en el segundo
dado aparece el cuatro}

A = {(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(6,4)}

Luego,

AÇE = {(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)},
½AÇE½= 4 elementos

Por tanto;

p(A½E) = ½AÇE½/
½E½= 4/21 = 0.19048

b. E = evento de que la suma de los
números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)

A = evento de que ambos números sean
pares

(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)

(6,2)

AÇE = (4,4) (6,4)
½AÇE½= 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)

p(A½E) = ½AÇE½/
½E½

= 6/ 21

= 0.28571

c. E = evento de que la suma de los
números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(6,6)

A = evento de que en el primer dado
aparezca el número dos

(2,1)

(2,2)

A = (2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

AÇE = {(2,5)},
½AÇE½= 1 elemento

P(A½E) =
½AÇE½/½E½

= 1/21

Partes: 1, 2, 3

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