Teoría elemental de probabilidad (página 3)

Enviado por Omar Alejandro Patino Arellano

Partes: 1, 2, 3

= 0.04762

2.Se seleccionan al azar dos números
de entre los números del 1 al 9, si la suma de los
números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad
de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de
que ambos números sean impares.

Solución:

d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos
números de entre nueve que se tienen}

(1,2)

(1,3) (2,3)

(1,4) (2,4) (3,4)

d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7)
(6,7)

(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8)
(7,8)

(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9)
(8,9)

a. E = evento de que la suma de los
números que se seleccionan sea par

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = {16 elementos}

A = evento de que ambos números sean
pares

(2,4)

A = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A = {6 elementos}

(2,4)

AÇE = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

½AÇE½ = 6 elementos, p
(A½E) = ½AÇE½/ ½E½=
6/16 = 0.375

b. E = evento de que la suma de los
números seleccionados es par

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = evento de que ambos números sean
impares

(1,3)

A = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = {10 elementos},

(1,3)

AÇE = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

½AÇE½= 10 elementos;
p(A½E)= ½AÇE½/ ½E½=
10/16 = 0.625

Este ejercicio también puede ser
resuelto haciendo uso de las combinaciones; el espacio muestral
puede ser definido;

d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar los
dos números}

a. E = evento de que la suma de los
números seleccionados sea par

Para que la suma de dos números sea
par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por
tanto,

E = {selección
de dos números pares o de dos impares = 4C2 +
5C2}

A = evento de que ambos números sean
pares

A = {4C2}

AÇE = {4C2 = 6 maneras de
seleccionar dos números pares}

½AÇE½= 6
elementos

p(A½E) =
½AÇE½/½E½= 6/16 =
0.375

b. E = evento de que la suma de los
números seleccionados sea par

E = {4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar
dos números de entre nueve}

A = evento de que ambos números sean
impares

A = {5C2 = 10 maneras de seleccionar dos
números impares}

½AÇE½= {5C2 =
10}

p(A½E½=
½AÇE½/½E½= 10/16 =
0.625

3. Dada la siguiente tabla referente a la
producción de flechas para camión de
carga pesada; se inspeccionan 200 flechas del tipo A y B, 300 del
tipo C y 400 del tipo D, a continuación se presentan los
resultados obtenidos en la inspección;

TIPO FLECHA

DEFECTO

TOTAL

132

S – DEF

118

165

246

380

909

TOTAL

200

300

400

1100

a. Si se selecciona una flecha al azar y
resulta que es una flecha del tipo B, ¿cuál es la
probabilidad de que no tenga defectos, b. Si la flecha
seleccionada es del tipo C, ¿cuál es la
probabilidad de que tenga defectos del tipo II?, c. Si la flecha
seleccionada tiene defectos del tipo I, ¿cuál es la
probabilidad de que sea del tipo A, d. ¿cuál es la
probabilidad de que una flecha no tenga defectos?, e.
¿cuál es la probabilidad de que una flecha tenga
defectos?

Solución:

a. Definiremos los eventos;

E = evento de que la flecha seleccionada
sea del tipo B = {200 elementos o flechas}

A = evento de que la flecha seleccionada no
tenga defectos = {909 flechas o elementos}

AÇE = {165 elementos del tipo B y
que no tienen defectos}

p(A½E) =
½AÇE½/½E½= 165/200 =
0.825

b. E = evento de que la flecha sea del tipo
C ={300 flechas}

A = evento de que la flecha tenga defectos
del tipo II ={59 flechas}

AÇE = {14 flechas del tipo C y que
tienen defectos del II }

p(A½E)
=½AÇE½/½E½= 14/300 =
0.04667

c. E = evento de que la flecha tenga
defectos del tipo I = {132 flechas}

A = evento de que la flecha sea del tipo A
= {200 flechas}

AÇE = {54 flechas con defectos del
tipo I y del tipo A}

p(A½E) =
½AÇE½/½E½= 54 / 132 =
0.40901

d. En este caso se trata de una
probabilidad simple, ya que no hay un evento que esté
condicionando al evento del cual se desea determinar su
probabilidad

D = evento de que una flecha no tenga
defectos = {909 flechas}

d = {1100 flechas}

p(D) = 909/1100 = 0.82636

d. F = evento de que una flecha tenga
defectos = {132 + 59 = 191 flechas}

d = {1100 flechas}

p(F) = 191 / 1100 = 0.17364

4. Una pareja de recién casa dos ha
decidido formar una familia de solo
tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos
varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga
como máximo un hijo varón, c. ¿cuál
es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d. Si
esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es
la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?, e. Si
esta familia tiene como máximo un hijo varón,
¿cuál es la probabilidad de que tenga puras
hijas?

Solución:

Lo primero que hay que obtener para
resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos
podemos ayudar con un diagrama de
árbol en donde representemos uno tras otro el nacimiento
de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de
un solo bebé, no múltiples y se considera que
existe la misma probabilidad de que nazca un varón o una
niña.

Y el espacio muestral obtenido
es:

H = niño

M = niña

d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH,
MMM}

a. A = evento de que la familia
tenga puros hijos varones

A = {HHH}

p(A) = 1/8 = 0.125

b. B = evento de que la familia tenga como
máximo un hijo varón

B = {ningún hijo varón o un
hijo varón}= {MMM, HMM, MHM, MMH}

p(B) = 4/8 = 1/2 =0.5

c. C = evento de que el segundo hijo de la
familia sea varón

C = {HHH, HHM, MHH, MHM}

P© = 4/8 =1/2 = 0.5

d. Como en este caso se trata de calcular
una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos
eventos, el evento E que es el que condiciona y el evento
A;

E = evento de que la familia tenga por lo
menos una hija

E = {tenga una o más
hijas}

E = {HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7
elementos}

A = evento de que el segundo hijo sea
varón

A = {HHH, HHM, MHH, MHM}

AÇE = {HHM, MHH, MHM}= {3
elementos}

Luego;

p(A½E) =
½AÇE½/½E½= 3/7 =
0.42857

e. E = evento de que la familia tenga como
máximo un hijo varón

A = evento de que la familia tenga puras
hijas

E = {MMM, MHM, MMH, HMM}= {4
elementos}

A = {MMM}

AÇE = {MMM} = {1
elemento}

P(A½E) =
½AÇE½/½E½= 1/4 =
0.25

5. Según las estadísticas, la probabilidad de que un
auto que llega a cierta gasolinera cargue gasolina es de 0.79,
mientras que la probabilidad de que ponga aceite al
motor es de 0.11
y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es de
0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es
la probabilidad de que ponga aceite?, b. Sí un auto pone
aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que
ponga gasolina?

Solución:

a. E = evento de que un auto cargue
gasolina

b. p(E) = 0.79

A = evento de que un auto ponga aceite al
motor

P(A) = 0.11

AÇE = evento de que un auto ponga
gasolina y aceite

p(AÇE) = 0.07

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) = 0.07/
0.79 = 0.0881

c. E = evento de que un auto ponga aceite
al motor

P(E) = 0.11

A = evento de que un auto ponga
gasolina

P(A) = 0.79

AÇE = evento de que un auto ponga
aceite al motor y ponga gasolina

P(AÇE) = 0.07

P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) =
0.07/0.11 = 0.63636

6.- La probabilidad de que un auto de
carreras cargue gasolina en cierto circuito en la primera media
hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de
neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de
0.16, la probabilidad de que cargue gasolina y cambie de
neumáticos en la primera media hora de recorrido es de
0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue
gasolina o cambie de neumáticos en la primera media hora
de recorrido?, b. ¿cuál es la probabilidad de que
no cargue combustible y de neumáticos en la primera media
hora de recorrido, c. Si el auto cambia de neumáticos en
la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la
probabilidad de que cargue combustible también?, d. Si el
auto carga combustible en la primera media hora de recorrido,
¿cuál es la probabilidad de que cambie de
neumáticos también?

Solución:

a. A = evento de que cargue gasolina en la
primera media hora de recorrido

P(A) = 0.58

B = evento de que cambie de
neumáticos en la primera hora de recorrido

P(B) = 0.16

AÇB = evento de que cargue
combustible y cambie de neumáticos en la primera hora de
recorrido

P(AÇB) = 0.05

P(cargue gasolina o cambie de
neumáticos) = p(AÈB) = p(A) + p(B) –
p(AÇB) = 0.58 + 0.16 – 0.05 = 0.69

b. p( no cargue combustible y no cambie de
neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 – 0.69 =
0.31

c. E = evento de que el auto cambie de
neumáticos en la primera media hora de
recorrido

A = evento de que el auto cargue
combustible en la primera media hora de recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) =
0.05/0.16 = 0.3125

d. E = evento de que el auto cargue
combustible en la primera media hora de recorrido

A = es el evento de que el auto cambie de
neumáticos en la primera media hora de
recorrido

p(A½E) = p(AÇE)/p(E) =
0.05/0.58 = 0.08621

Probabilidad
dependiente

El cálculo de
probabilidades en una experiencia compuesta se realiza
multiplicando las probabilidades de los sucesos
componentes.

Si las experiencias son independientes (el
resultado de una no influye en las siguientes),
entonces

P[S1 y S2 y…y Sn] =
P[S1]·P[S2]…P[Sn]

Así, para calcular la probabilidad
de que al tirar tres dados no se obtenga ningún 6 se
procederá así:

P[ningún 6] = P[no 6]·P[no
6]·P[no 6] = (5/6)3 = 125/216

Si las experiencias son dependientes (el
resultado de cada una influye en las probabilidades de las
siguientes), entonces

P[S1 y S2 y…y Sn]=
P[S1]·P[S2/supuesto que ocurrió
S1]…P[Sn/supuesto que ocurrieron S1 y S2
y…]

Así, para calcular la probabilidad
de obtener tres tréboles al extraer tres cartas de una
baraja, se procederá así:

P[TRES TRÉBOLES] = P[1ª
tréboles]·P[2ª tréboles/1ª
tréboles]·P[3ª tréboles/1ª y
2ª tréboles] = (13/52)·(12/51)·(11/50)
= 143/11.050

Probabilidad
independiente

La independencia
de dos eventos A y B, quiere decir que el saber que A
sucedió no modifica la probabilidad de que B
también haya sucedido. Como consecuencia saber que A no
sucedió tampoco puede afectar a la probabilidad de B.
Hacemos una demostración formal en el
pizarrón.

Podemos poner esto diciendo que

Si A y B son independientes, también
lo son las tres siguientes pares: A" y B ; A y B" ; A" y B"
(estamos usando el apóstrofe " para denotar complemento)
Cuando se tienen tres eventos, se puede presentar una
situación muy curiosa. Puede pasar que A y B sean
independientes y A y C sean independientes y B y C también
sean independientes. Pero A,B y C NO sean independientes. Esta
situación curiosa se describe diciendo que no basta que
varios eventos sean independientes a pares, para que sean
independientes.

El ejemplo clásico es el de un
experimento aleatorio con cuatro posibles resultados igualmente
probables: 1, 2, 3 y 4 .

Si el resultado es 1, A gana y nadie
más. Si el resultado es 2, B gana y nadie más. Si
el resultado es 3, C gana y nadie más, pero Si el
resultado es 4, los tres A, B y C ganan. Usted puede calcular las
probabilidades para darse cuenta que: P(A y B) = P(A) P(B) P(A y
C) = P(A) P© P(B y C) = P(B) P© pero P(A y B y C) no es
igual a P(A) P(B) P©.

Una nota final de un estilo menos
matemático. La palabra independencia se utiliza en otros
contextos para denotar un sin número de conceptos
diferentes.

Los ejemplos más comunes son en
política,
en historia, en
derecho. En la ciencia se
habla de variables
independientes y el significado es diferente que el que usamos
aquí. Aún en otras ramas de la matemática
se usa la palabra independencia para denotar a otros conceptos.
Cuando queremos distinguir la definición técnica
que usamos en la probabilidad de otras nociones le ponemos un
apellido a la independencia y decimos independencia
estocástica

Ley multiplicativa
probabilidad

La ley multiplicativa de probabilidades
indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran
simultáneamente es igual a:

La ley
multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de
determinar una probabilidad condicional a partir de los valores de
y:

Supongamos, por ejemplo, que queremos
estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de
riesgo en el
desarrollo de
una enfermedad en una determinada población. Para ello se
diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar
una muestra de 180
sujetos, los resultados son los que se muestran en la Tabla 1.
Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la
enfermedad (E) en la población de estudio es:

CALCULO DE PROBABILIDAD DE
EVENTOS

Para calcular la probabilidad de eventos es
necesario que éstos se comporten de una manera más
o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad
estadística, que es la propiedad de
los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al
aumentar el número de repeticiones de un experimento en
condiciones prácticamente constantes, la frecuencia
relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor
fijo.

Sin embargo, al momento de definir la
probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes
criterios:

1. La probabilidad subjetiva de un evento
se la asigna la persona que hace
el estudio, y depende del conocimiento
que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su
carácter de subjetividad no se considera
con validez científica, aunque en la vida diaria es de las
más comunes que se utilizan al no apoyarse más que
en el sentido común y los conocimientos previos, y no en
resultados estadísticos.

2. La probabilidad frecuencia de un evento
es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de
ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad
estadística. Esta definición sería la
más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es
decir, proporciona estimaciones y no valores
reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se
necesita realizar el experimento para poder
obtenerlo. (Para ver un ejemplo haz click
aquí.)

3. La probabilidad clásica de un
evento E, que denotaremos por P(E), se define como el
número de eventos elementales que componen al evento E,
entre el número de eventos elementales que componen el
espacio maestral:

Es la definición más
utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito
indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad de ocurrir.

Conjuntos de
probabilidad

Probabilidades Como Conjuntos 1)
Ej.: espacio muestral o conjunto de todos los resultados
posibles.

2) A B : al menos uno de los eventos A
ó B ocurre.

3) A B : ambos eventos ocurren

4) Ac : el evento A no ocurre.

Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado
de seis caras" sean los eventos: A = sale par, B = sale primo. El
evento "A ó B" = A B : "sale par o primo" se
describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un
subconjunto de k elementos, entonces P(A) = k/n, concordando con
la definición de las probabilidades.

Propiedades Además de P(E) = 1, P()
= 0, 0 P(A) 1, tenemos:

1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente)
entonces: P(A B) = P(A) + P(B)

2) P(A) + P(Ac) = 1

3) Si AB entonces

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

4) Si A y B son eventos independientes (la
ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B),
entonces

P(A B) = P(A) • P(B)

5) Si A y B son eventos dependientes (la
ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B),
entonces

P(A B) = P(A) • P(B/A)

P(B/A) es la probabilidad del evento B,
sabiendo que ha ocurrido A.

DIAGRAMA DE ARBOL EVENTOS
DEPENDIENTES

El Diagrama de Árbol, o
sistemático, es una técnica que permite obtener una
visión de conjunto de los medios
necesarios para alcanzar una meta o resolver un
problema.

Partiendo de una información general, como la meta a
alcanzar, se incrementa gradualmente el grado de detalle sobre
los medios necesarios para su consecución.

Este mayor detalle se representa mediante
una estructura en
la que se comienza con una meta general (el "tronco") y se
continúa con la identificación de niveles de
acción
más precisos (las sucesivas "ramas"). Las ramas del primer
nivel constituyen medios para alcanzar la meta pero, a su vez,
estos medios también son metas, objetivos
intermedios, que se alcanzarán gracias a los medios de las
ramas del nivel siguiente. Así repetidamente hasta llegar
a un grado de concreción suficiente sobre los medios a
emplear.

Ejemplos:

1. Un médico general
clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o
femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la
presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).
Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas
clasificaciones pueden estar los pacientes de este
médico?

Solución: A

A B

B A

M AB N

O B

F B A

O A

Si contamos todas las ramas terminales, nos
damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x
3 = 24 mismas que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB,
etc., etc.

EVENTOS INDEPENDIENTES

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes
cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto
sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).
Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa
de nuevo a la población donde se obtuvo. Ejemplo: lanzar
al aire dos veces
una moneda son eventos independientes por que el resultado del
primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que
ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento

APLICACIÓN DE TEOREMAS

Ejemplo:

Calcule:

a)P(A|C) b)P(ByC) c)P(ByC)
d)P(C|B)

Respuesta:?

a) P(A|C)= 1/7 / 1/3 = 3/7 =
0.4286

b) P(C|A)= 1/7 / 3/4 = 4/21=
0.1905

c) Despejando:

P(ByC)= P(B|C)= P(B intersección
C)

——————-

Probabilidad de C

P(B intersección C)= P(B|C)x Prob.
de C

P(B intersección C)= 5/21 x 1/3 =
5/63= 0.0794

d) P(C|B)= 5/63 / 1/6 = 10/21 =
0.4762

APLICACIÓN DE TEOREMAS EVENTOS
INDEPENDIENTES

Ejemplo:

Calcule:

a)P(A|C) b)P(ByC) c)P(ByC)
d)P(C|B)

Respuesta:?

a) P(A|C)= 1/7 / 1/3 = 3/7 =
0.4286

b) P(C|A)= 1/7 / 3/4 = 4/21=
0.1905

c) Despejando:

P(ByC)= P(B|C)= P(B intersección
C)

——————-

Probabilidad de C

P(B intersección C)= P(B|C)x Prob.
de C

P(B intersección C)= 5/21 x 1/3 =
5/63= 0.0794

d) P(C|B)= 5/63 / 1/6 = 10/21 =
0.4762

Regla de
Bayes

Teorema De Bayes El teorema de Bayes,
descubierto por Thomas Bayes, en la teoría
de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de
una variable aleatoria A dada B en términos de la
distribución de probabilidad condicional de la variable B
dada A y la distribución de probabilidad marginal de
sólo A. P(AiB)=
P(BAi)P(A1)————–P(BAi)P(Ai)

——————– =
——————-

P(B) ——— £nj=1
P(BAj)P(Aj)

Sea {A1,A2,…,Ai,…,An} un
conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y
tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de
cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las
probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad
P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde: P(Ai) son las probabilidades a
priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las
probabilidades a posteriori. Esto se cumple

El teorema de Bayes es válido en
todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad.
Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades
que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística
tradicional sólo admiten probabilidades basadas en
experimentos
repetibles y que tengan una confirmación empírica
mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten
probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para
indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades
subjetivas cuando recibimos información adicional de un
experimento. La estadística bayesiana está
demostrando su utilidad en
ciertas estimaciones basadas en el
conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas
estimaciones en función de
la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de
hacer conocimiento. Como observación, se tiene y su
demostración resulta trivial. El Teorema de BAYES se apoya
en el proceso
inverso al que hemos visto en el Teorema de la Probabilidad
Total: Teorema de la probabilidad total: a partir de las
probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que
haga buen tiempo)
deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha
ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A
(¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La
fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con
palabras es un galimatías, así que vamos a intentar
explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el
ejercicio, recordar que este teorema también exige que el
suceso A forme un sistema
completo.

Ejemplos

1.-El parte meteorológico ha
anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que
llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos
posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que
ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad
de accidente del 20%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del
10% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta
que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la
ciudad no sabemos que tiempo hizo (llovío, nevó o
hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas
probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer
que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a
priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el
20%). Una vez que incorporamos la información de que ha
ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian:
son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan
"probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la
fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera
lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente
estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a
posteriori) es del 71,4%. b) Probabilidad de que estuviera
nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es
del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es
del 7,1%

2.- En una etapa de la producción de un artículo se aplica
soldadura y
para eso se usan tres diferentes robots. La probabilidad de que
la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los
tres, así como la proporción de artículos
que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla. robot
defectuosos art. procesados A 0.002 18 % B 0.005 42 % C 0.001 40
% Ahora podemos hacernos un par de preguntas: • Cuál
es la proporción global de defectos producida por las tres
máquinas. • Si tomo un artículo
al azar y resulta con defectos en la soldadura, cuál es la
probabilidad de que haya sido soldado por el robot C. a) La
primera pregunta nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre
de fórmula de la probabilidad total. Queremos conocer la
proporción global de defectos delos tres robots.
Después de reflexionar un momento se ve que si todas las
soldaduras las pusiera el robot C, habría pocos defectos,
serían 0.001 o 0.1%. En cambio, si
todas las pone el B, ¡sería un desastre!,
tendríamos cinco veces más: 0.005 o 0.5%. De modo
que en nuestra respuesta debemos tener en cuenta las diferentes
proporciones de lo maquinado en cada robot. Nuestra idea es
empezar por descomponer el evento “defectuoso en “viene del
robot A y es defectuoso o “viene del robot B y es
defectuoso o “viene del robot C y es defectuoso. En
símbolos tendremos P(d) = P(A y d) + P(B y
d) + P(C y d) ó P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) +
P© P( d|C) Antes de ponerle números y resolver
nuestro problema fijémonos en la fórmula obtenida.
Hay tres eventos A, B y C que son ajenos y cubren todo el espacio
muestral. Conocemos las probabilidades de cada uno de ellos.
Además, conocemos las probabilidades condicionales de otro
evento dado cada uno de ellos. La fórmula de arriba se
llama fórmula de la probabilidad total. Llenando con
nuestros números, tenemos que P(d) = (0.18)(0.002) +
(0.42)(0.005) + (0.40)(0.001) o sea que P(d) = 0.00286 casi 3
piezas por cada mil. Es bueno comparar este resultado con los
porcentajes de soldaduras defectuosas de cada robot por separado.
Podemos ver que el resultado se encuentra entre todas ellas y se
encuentra relativamente cerca de los porcentajes de los robots
más utilizados (el B y el C). Esto es muy razonable. b) La
segunda pregunta es, a la vez más simple y más
complicada. Nos va a llevar a lo que se conoce con el nombre de
teorema de Bayes. La probabilidad que buscamos es una condicional
pero al revés de las que tenemos. Buscamos P( C | d) para
calcularla usamos la definición de probabilidad
condicional: P( C | d) = [P(C y d)] / [P( d )] El numerador (lo
de arriba) lo calculamos con P( C y d ) = P© P(d|C) y el
denominador lo calculamos con la fórmula de probabilidad
total P(d) = P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P© P( d|C)
juntando las dos tenemos la fórmula de Bayes: P( C|d) =
[P© P(d|C)] / [P(A) P( d|A) + P(B) P( d|B) + P© P(
d|C)] Aplicándola a nuestro caso tenemos

P(C|d) = [(0.40)(0.001)]/[(0.18)(0.002) +
(0.42)(0.005) + (0.40)(0.001)] o sea P(C|d) = [0.0004]/[0.00286]
= 0.1399 casi 14%. O sea que si tomamos una pieza al azar, la
probabilidad de que haya sido soldada por el robot C es alta,
40%. Pero, como ese robot produce sólo 1 de cada mil
soldaduras defectuosas, al saber que la pieza seleccionada es
defectuosa, la probabilidad de que provenga del robot C disminuye
a solamente 14%. Esto quiere decir que, en este caso el saber que
la soldadura es defectuosa, nos provee con una gran cantidad de
información. Si analizáramos, usando de nuevo la
fórmula de Bayes las probabilidades de los robots A y B,
tendríamos P(B|d) = 0.7343 y P(A|d) = 0.1259 Comparadas
con las probabilidades de cada máquina sin saber que la
pieza es defectuosa vemos un gran incremento en la probabilidad
de B. Si, por el contrario la pieza no hubiese tenido defectos de
soldadura, el mismo teorema de Bayes nos daría (haga Ud.
las cuentas y
¡fíjese que no me haya equivocado yo!): P(A|no d) =
0.1802 P(B|no d) = 0.4191 y P(C|no d) = 0.4007 Las probabilidades
no son idénticas a las probabilidades no condicionales,
pero la diferencia es muy pequeña. Para apreciar mejor el
cambio, pongamos en una sola tabla las probabilidades iniciales y
las condicionales obtenidas bajo el conocimiento de la soldadura
de la pieza. Robot P( ) P( |d) P( |no d) A 0.18 0.1259 0.1802 B
0.42 0.7343 0.4191 C 0.40 0.1399 0.4007 Es tan grande el éxito
de los tres robots en el soldado correcto que el saber que la
pieza no tiene defectos, prácticamente no altera las
probabilidades de produción en uno u otro. Por el
contrario, el robot C es tan bueno, comparado con el B que, al
saber que la pieza es defectuosa, las probabilidades cambian
dramáticamente. En este ejemplo el cálculo de
probabilidades condicionales nos cuantifica algo que el sentido
común nos dice de otra forma. Note que la fórmula
de Bayes nos sirvió para pasar de las probabilidades no
condicionales a las condicionales.

RESOLVER PROBLE MAS QUE APLIQUEN EL
TEOREMA

APLICAR EL TEOREMA DE CHEBYSHEV PARA
CALCULAR EL INTERVALO DEL TAMAÑO DE LAS ORDENES QUE
INCLUYA POR LO MENOS EL 89% DE ELLAS

En probabilidad, la desigualdad de
Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota
inferior a la probabilidad de que el valor de una variable
aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia
de su esperanza matemática o de su media;
equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la
probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia
respecto de la media. El teorema es aplicable incluso en
distribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota
la cantidad de datos que
están o no "en medio".

Teorema: Sea X una variable aleatoria de
media µ y varianza finita s . Entonces, para todo
número real k > 0,

Sólo los casos con k > 1
proporcionan información útil.

Para ilustrar este resultado, supongamos
que los artículos de Wikipedia tienen una extensión
media de 1000 caracteres y una desviación típica de
200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshev se deduce que al
menos el 75% de los artículos tendrán una
extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres (k =
2).

Otra consecuencia del teorema es que para
cada distribución de media µ y desviación
típica finita s, al menos la mitad de los valores
caerán en el intervalo (µ-v2 s, µ+v2
s).

Las cotas proporcionadas por la desigualdad
de Chebyshev, en general, no se pueden mejorar; es posible
construir una variable aleatoria cuyas cotas de Chebyshev sean
exactamente iguales a las probabilidades reales. Sin embargo, en
general el teorema proporcionará cotas poco
precisas.

El teorema puede ser útil a pesar de
las cotas imprecisas porque se aplica a una amplia gama de
variables que incluye las que están muy alejadas de la
distribución normal, y porque las cotas son fáciles
de calcular. El teorema se emplea para demostrar la ley
débil de los números grandes.

El teorema recibe su nombre del
matemático Pafnuty Chebyshe

Autor:

Omar Alejandro Patino
Arellano

Profesor: Jose Guadalupe

Partes: 1, 2, 3