Análisis de varianza

Indice
1.
Introducción
2. Bases del análisis de la
varianza
3. Modelos de análisis de la
varianza
4. Contrates de hipótesis en un
análisis de la varianza de dos factores
5. Bibliografía

1.
Introducción

El análisis de la varianza (o Anova: Analysis
of variance) es un método
para comparar dos o más medias, que es necesario porque
cuando se quiere comparar más de dos medias es incorrecto
utilizar repetidamente el contraste basado en la t de Student.
por dos motivos:

En primer lugar, y como se realizarían
simultánea e independientemente varios contrastes de
hipótesis, la probabilidad de
encontrar alguno significativo por azar aumentaría. En
cada contraste se rechaza la H0 si la t supera el
nivel crítico, para lo que, en la hipótesis nula,
hay una probabilidad
. Si se realizan m contrastes independientes, la
probabilidad de que, en la hipótesis nula, ningún
estadístico supere el valor
crítico es (1 – )m, por lo tanto, la
probabilidad de que alguno lo supere es 1 – (1 –
)m, que para valores de
 próximos a 0 es aproximadamente igual a
m. Una primera solución, denominada método de
Bonferroni, consiste en bajar el valor de
, usando en su lugar /m, aunque resulta un
método muy conservador.

Por otro lado, en cada comparación la
hipótesis nula es
que las dos muestras provienen de la misma población, por lo tanto, cuando se hayan
realizado todas las comparaciones, la hipótesis nula es
que todas las muestras provienen de la misma población y, sin embargo, para cada
comparación, la estimación de la varianza necesaria
para el contraste es distinta, pues se ha hecho en base a
muestras distintas.

El método que resuelve ambos problemas es
el anova, aunque es algo más que esto: es un método
que permite comparar varias medias en diversas situaciones; muy
ligado, por tanto, al diseño
de experimentos y,
de alguna manera, es la base del análisis multivariante.

2. Bases del
análisis de la varianza

Supónganse k muestras aleatorias independientes,
de tamaño n, extraídas de una única
población normal. A partir de ellas existen dos maneras
independientes de estimar la varianza de la población
2:

1) Una llamada varianza dentro de los grupos (ya que
sólo contribuye a ella la varianza dentro de las
muestras), o varianza de error, o cuadrados medios del
error, y habitualmente representada por MSE (Mean Square Error) o
MSW (Mean Square Within) que se calcula como la media de las k
varianzas muestrales (cada varianza muestral es un estimador
centrado de2 y la media de k
estimadores centrados es también un estimador centrado y
más eficiente que todos ellos). MSE es un cociente: al
numerador se le llama suma de cuadrados del error y se representa
por SSE y al denominador grados de libertad por
ser los términos independientes de la suma de
cuadrados.

2) Otra llamada varianza entre grupos
(sólo contribuye a ella la varianza entre las distintas
muestras), o varianza de los tratamientos, o cuadrados medios de los
tratamientos y representada por MSA o MSB (Mean Square Between).
Se calcula a partir de la varianza de las medias muestrales y es
también un cociente; al numerador se le llama suma de
cuadrados de los tratamientos (se le representa por SSA) y al
denominador (k-1) grados de libertad.

MSA y MSE, estiman la varianza poblacional en la
hipótesis de que las k muestras provengan de la misma
población. La distribución muestral del cociente de dos
estimaciones independientes de la varianza de una
población normal es una F con los grados de libertad
correspondientes al numerador y denominador respectivamente, por
lo tanto se puede contrastar dicha hipótesis usando esa
distribución.

Si en base a este contraste se rechaza la
hipótesis de que MSE y MSA estimen la misma varianza, se
puede rechazar la hipótesis de que las k medias provengan
de una misma población.
Aceptando que las muestras provengan de poblaciones con la misma
varianza, este rechazo implica que las medias poblacionales son
distintas, de modo que con un único contraste se contrasta
la igualdad de k
medias.
Existe una tercera manera de estimar la varianza de la
población, aunque no es independiente de las anteriores.
Si se consideran las kn observaciones como una única
muestra, su
varianza muestral también es un estimador centrado
de s
2:
Se suele representar por MST, se le denomina varianza total o
cuadrados medios totales, es también un cociente y al
numerador se le llama suma de cuadrados total y se representa por
SST, y el denominador (kn -1) grados de libertad.

Los resultados de un anova se suelen representar en una
tabla como la siguiente:

Y el cociente F se usa para realizar el contraste de la
hipótesis de medias iguales. La región
crítica para dicho contraste es F >
F(k-1,(n-1)k)

Algunas propiedades

Es fácil ver en la tabla anterior que

GLerror+ GLtrata = (n – 1) k + k –
1 = nk – k + k – 1 = nk – 1 = GLtotal

No es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen
la misma propiedad,
llamada identidad o
propiedad
aditiva de la suma de cuadrados:

SST = SSA + SSE

El análisis de la varianza se puede realizar con
tamaños muestrales iguales o distintos, sin embargo es
recomendable iguales tamaños por dos motivos:

La F es insensible a pequeñas variaciones en la
asunción de igual varianza, si el tamaño es
igual.

Igual tamaño minimiza la probabilidad de error
tipo II.

3. Modelos de
análisis de la varianza

El anova permite distinguir dos modelos para
la hipótesis alternativa:
Modelo I o de
efectos fijos en el que la H1 supone que las k
muestras son muestras de k poblaciones distintas y fijas.
Modelo II o de
efectos aleatorios en el que se supone que las k muestras, se han
seleccionado aleatoriamente de un conjunto de m>k
poblaciones.
Un ejemplo de modelo I de anova es que se asume que existen cinco
poblaciones (sin tratamiento, con poca sal, sin sal, etc.) fijas,
de las que se han extraído las muestras.
Un ejemplo de modelo II sería: un investigador está
interesado en determinar el contenido, y sus variaciones, de
grasas en las células
hepáticas de cobayas; toma del animalario 5 cobayas al
azar y les realiza, a cada una, 3 biopsias
hepáticas.

La manera más sencilla de distinguir entre ambos
modelos es pensar que, si se repitiera el estudio un tiempo
después, en un modelo I las muestras serían iguales
(no los individuos que las forman) es decir
corresponderían a la misma situación, mientras que
en un modelo II las muestras serían distintas.
Aunque las asunciones iniciales y los propósitos de ambos
modelos son diferentes, los cálculos y las pruebas de
significación son los mismos y sólo difieren en la
interpretación y en algunas pruebas de
hipótesis suplementarias.

Análisis de la varianza de dos factores
Es un diseño
de anova que permite estudiar simultáneamente los efectos
de dos fuentes de
variación.
En cualquier caso, el investigador puede estar interesado en
estudiar si hay, o no, diferencia en la evolución según el sexo. En un
anova de dos vías se clasifica a los individuos de acuerdo
a dos factores (o vías) para estudiar
simultáneamente sus efectos. En este ejemplo se
harían cinco grupos de tratamiento para los hombres y
otros cinco para las mujeres, en total diez grupos; en general,
si el primer factor tiene a niveles y el segundo tiene b, se
tendrán ab muestras o unidades experimentales, cada una
con n individuos o repeticiones.

Una observación individual se representa
como:
El primer subíndice indica el nivel del primer factor, el
segundo el nivel del segundo factor y el tercero la observación dentro de la muestra. Los
factores pueden ser ambos de efectos fijos (se habla entonces de
modelo I), de efectos aleatorios (modelo II) o uno de efectos
fijos y el otro de efectos aleatorios (modelo mixto). El modelo
matemático de este análisis es:

modelo
I

modelo
II

modelo
mixto

donde m
es la media global, a i o Ai el efecto del
nivel i del 11 factor, j o Bj el
efecto del nivel j del 2º factor y ijk
las desviaciones aleatorias alrededor de las medias, que
también se asume que están normalmente
distribuidas, son independientes y tienen media 0 y
varianza s
2.
A las condiciones de muestreo
aleatorio, normalidad e independencia,
este modelo añade la de aditividad de los efectos de los
factores.
A los términos (a b
)ij, (AB)ij, (a B)ij, se les denomina
interacción entre ambos factores y representan el hecho de
que el efecto de un determinado nivel de un factor sea diferente
para cada nivel del otro factor.

Para entender mejor este concepto de
interacción veamos un ejemplo sencillo sobre un anova de
dos factores, cada uno con dos niveles: supóngase un
estudio para analizar el efecto de un somnífero teniendo
en cuenta el sexo de los
sujetos. Se eligen al azar dos grupos de hombres y otros dos de
mujeres. A un grupo de
hombres y otro de mujeres se les suministra un placebo y a los
otros grupos el somnífero. Se mide el efecto por el
tiempo que los
sujetos tardan en dormirse desde el suministro de la
píldora.

Se trata de un anova de dos factores (sexo y
fármaco) fijos, cada uno con dos niveles (hombre y
mujer para el
sexo y somnífero y placebo para el fármaco). Los
dos tipos de resultados posibles se esquematizan en la
figura

A B

En la figura A se observa que las mujeres tardan
más en dormirse, tanto en el grupo tratado
como en el grupo placebo (hay un efecto del sexo) y que los
tratados con
placebo tardan más en dormirse que los tratados con
somnífero en ambos sexos (hay un efecto del tratamiento).
Ambos efectos son fácilmente observables.

Sin embargo en la figura B es difícil cuantificar
el efecto del somnífero pues es distinto en ambos sexos y,
simétricamente, es difícil cuantificar el efecto
del sexo pues es distinto en ambos grupos de tratamiento. En este
caso, se dice que existe interacción.

Podría, incluso, darse el caso de que se
invirtieran los efectos de un factor para los distintos niveles
del otro, es decir, que las mujeres se durmieran antes con el
somnífero y los hombres antes con el placebo.

La interacción indica, por tanto, que los efectos
de ambos factores no son aditivos: cuando se dan juntos, su
efecto no es la suma de los efectos que tienen cuando
están por separado, por lo que, si en un determinado
estudio se encuentra interacción entre dos factores, no
tiene sentido estimar los efectos de los factores por separado. A
la interacción positiva, es decir, cuando el efecto de los
factores actuando juntos es mayor que la suma de efectos actuando
por separado, en Biología se le
denomina sinergia o
potenciación y a la interacción negativa
inhibición. En el ejemplo de la figura B, se diría
que el ser mujer inhibe el
efecto del somnífero, o que el ser hombre lo
potencia
(según el sexo que se tome como referencia).

4. Contrates de
hipótesis en un análisis de la varianza de dos
factores

Del mismo modo que se hizo en el anova de una
vía, para plantear los contrastes de hipótesis
habrá que calcular los valores
esperados de los distintos cuadrados medios. Los resultados
son:

Modelo I

Por lo tanto, los estadísticos MSAB/MSE, MSA/MSE
y MSB/MSE se distribuyen como una F con los grados de libertad
correspondientes y permiten contrastar, respectivamente, las
hipótesis:

no existe interacción (MSAB/MSE)

no existe efecto del primer factor, es decir,
diferencias entre niveles del primer factor (MSA/MSE)

no existe efecto del segundo factor (MSB/MSE)

Si se rechaza la primera hipótesis de no
interacción, no tiene sentido contrastar las siguientes.
En este caso lo que está indicado es realizar un
análisis de una vía entre las ab combinaciones de
tratamientos para encontrar la mejor combinación de los
mismos.

5.
Bibliografía
V. Abraira, A. Pérez de Vargas
Métodos
Multivariantes en Bioestadística.
Ed. Centro de Estudios Ramón
Areces. 1996.

Trabajo enviado por.
Martínez Padilla Omar