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Teorema de Steiner




Partes: 1, 2

  1. Péndulo Físico
  2. Momento de inercia y Teorema de STEINER

1. Péndulo Físico

Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no tiene toda la masa concentrada en un punto.
(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")
Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C,g tiene un eje de rotación en P y se separa un ángulo j de su posición de equilibrio.
En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo j de la posición de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese punto.
La distancia del eje al centro de masa es d,e momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de rotación
es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento angular j es:

M = -m g d sen j

Y se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen j y no a j , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen j º j es, como anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que pequeñas amplitudes,

M = -m g d j

O sea M = -Kj

Siendo K = m g d

Pero M

De manera que

Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.

2. Centro de Oscilación

Es siempre posible encontrar un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.

;

o bien,

Así en lo que concierne al periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse concentrada en un punto cuya distancia al eje es to = I/m. Este punto se denomina centro de oscilación del péndulo.
La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C, su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.
El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le denomina centro de percusión.

3. Momento de inercia y Teorema de STEINER

Se sabe que un cuerpo rígido, está compuesto de un número muy grande de partículas de modo que la suma.

I = m1R21 + m2R22 + m3R23 + ......... = å imiR2i

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo") 

Debe reemplazarse por un integral I = å imiR2i = ò R2dm, o sui P es la densidad del cuerpo dm = edv

I = ò PR2dv ............. (1)

Si el cuerpo es homogéneo, su densidad es constante, y en lugar de (1) podemos escribir I = ò PR2dv. La integral se reduce así a un factor geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño. Notamos que en la figura R2 = X2 + Y2, el momento de inercia con respecto a Z.

IZ = ò P)x2 + y2=dv ................... (2)

Si el cuerpo es una placa delgada, como es muestra, notamos que el momento de inercia con respecto al eje x e y puede escribirse como:

lx = ò Py2dv e Iy = ò Px2dv

Ya que la coordenada Z es esencialmente cero.

La comparación con la ecuación (2) muestra este caso:

Iz = Ix = Iy

Resultado que es válido solamente para placas delgadas.
Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están relacionados una fórmula muy simple.
Sea Z un eje arbitrario y Zc un eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo.
Si "a" es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada TEOREMA DE STEINER, tiene lugar:
I = Ic + Ma2 ............. (3)

(Para ver el gráfico faltante haga click en el menú superior "Bajar Trabajo")

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