Teorema de Steiner (página 2)

Donde I e Ic son los momentos de inercia del cuerpo con
respecto Z y Zc, respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para
probar esta relación, escojamos los ejes Xc Yc Zc de modo
que su origen se encuentre en el centro de masa C y el eje Yc se
encuentre en el plano determinado por Z y con Yc. El punto P es
un punto arbitrario del cuerpo M. Entonces de la figura:
P’A es h a Yc y P’A = x, CA = Y, y OC = a,
tenemos:

R2C = X2 + Y2

R2= X2 + (Y + a)2

= X2 + Y2 + 2Ya + a2

= R2c + 2Ya + a2

Ahora el momento de inercia con respecto al eje Z es

I = å mR2 = å m(R2c + Zya + a2)

= å mR2c + 2a (å my) + a2å m

El primer término es justamente el momento de inercia a
I con respecto al eje Zc, y en el último término
å m = M, es la suma total del cuerpo. Por consiguiente.

I = Ic + 2ªå my + Ma2
…………… (4)

Para evaluar el término central recordamos que la
posición del centro de masa está dada por Ycm =
å my/å m.
Pero en nuestro caso Ycm = 0 ya que el centro de masa coincide
con el origen C del sistema
XcYcZc.
Luego å my = 0 y la ecuación (4) se reduce a (3) la
cual queda demostrada.

Cálculos Y Resultados
Llene la tabla 1 con las siguientes características

A partir de la ecuación (1), con Il dada por la
ecuación (2), encuentre el valor de l
donde el período es mínimo.

La ecuación (1) es

T = 2P

Y la ecuación (2) es

Il = IG + Ml2

Reemplazando 2 en 1, tenemos que:

T = 2P = 2P

Derivando con respecto a la longitud l, para hallar el
mínimo valor de l igualaremos a cero,

Þ

Þ

Donde a es el ancho de la barra y b el largo de la barra, a =
0.037 y b = 1.1

Entonces al reemplazar obtendremos que :

¿ Cúal es el período para esta
distancia?
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre ,
utilizando la relacio (I) , el valor Il y llene la siguiente
tabla;

Haga el grafico Il vs l 2 y ajustar dicha grafica
Del grafico anterior, y por comparación con la
ecuación (2), determine IG y M .
Del
gráfico anterior y por un ajuste de curvas obtuvimos que
la ecuación de la gráfica es
Y = 2,0241X + 0,166
Comparando esta ecuación con la ecuación 2 Il = Ml2
+ IG
Notamos que el valor de IG = 0,166 y el valor de M es 2,0241.
Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la
formula analítica para una barra de longitud l y ancho
b,

¿Qué error experimental obtuvo? Y
¿qué puede decir acerca de la masa?

Según nuestra grafica obtenida en el paso 5 el valor de
IG.
IG =0.166
Según la ecuación dada y con los datos tomados en
el laboratorio

para M= 1.886 Kg L= 1.1 m b=0.037
reemplazando tenemos:
IG =0.19038
Calculando el error de medicion:
%ERROR = 0.19038 – 0.166 *100 = 12.8%
0.19038
La masa según nuestro ajuste de curvas es M=2.0241
La masa obtenida en el laboratorio es
M= 1.886
Hay una diferencia de 0.1381 y el porcentaje de error es :
%error = 2.0241-1.886 .100= 6.8227
2.0241

Halle la longitud del péndulo simple equivalente.

Como Sabemos el período del péndulo simple es

Pero para el péndulo físico el período es

Entonces si igualamos estas dos ecuaciones
obtendremos que:

Donde M es la masa de la barra y es 1,886kg

Reemplazando Il con los valores
obtenidos en la tabla de la pregunta 3, tenemos que:

Para el primer agujero Il = 0,6655 Þ l = 0,5940
Para el segundo agujero Il = 0,5729 Þ l = 0,5511
Para el tercer agujero Il = 0,4915 Þ l = 0,5104
Para el cuarto agujero Il = 0,.4174 Þ l = 0,4704
Para el quinto agujero Il = 0,3520 Þ l = 0,4320
Para el sexto agujero Il = 0,3068 Þ l = 0,4033
Para el séptimo agujero Il = 0,2593 Þ l = 0,3707
Para el octavo agujero Il = 0,2141 Þ l = 0,3369
Para el noveno agujero Il = 0,1930 Þ l = 0,3198
Para el décimo agujero Il = 0,1656 Þ l = 0,2963
Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2).

(Para ver el gráfico faltante haga click en el
menú superior "Bajar Trabajo")

relación (1) nos indica que T = 2P

Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la
gráfica, el peso mg causa un momento de torsión
de restitución t = – (mg)(dsenq )
El signo negativo implica que el momento de torsión es
horario si el desplazamiento es antihorario y viceversa. Si se
suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de
equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de
torsión t es proporcional a senq , no a q , pero si q es
pequeño podemos aproximar senq por q en radianes, y el
movimiento es aproximadamente M.A.S
t = -(mgd)q

La Ecuación del movimiento es å t = I.a

-(mgd)q = I.a =

Þ

De la ecuación del M.A.S

Comparando estas dos ecuaciones notamos que el papel de
en el M.A.S lo
desempeña aquí la cantidad así que la frecuencia angular
está dada por:

W = (
Péndulo físico, amplitud pequeña)

Y como f =
l.q.q.d

La relación (2) nos indica que: Il = IG + Ml2

Para demostrarlo, consideremos dos ejes paralelos al eje z;
uno pasa por el centro de masa, el otro por un punto P . Primero
tomamos una rodaja muy delgada del cuerpo, paralela al plano xy.
Tomamos el origen de nuestro sistema de coordenadas x, y son (a,
b). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de
masa es d, donde d2 = a2 + b2. Podemos escribir una
expresión para el momento de inercia Ip alrededor
del eje que pasa por P. Sea mi un elemento de masa de nuestra
rodaja, con coordenadas (xi, yi, zi). El momento de Inercia ICM
de la rodaja alrededor del eje que pasa por O es

ICM =

El momento de Inercia de la rodaja alrededor del eje que pasa
por P es

En estas expresiones no intervienen lasa coordenadas zi,
medidas perpendicularmente a las rodajas, así que podemos
extender las sumatorias para incluir todas las partículas
de todas las rodajas. Expandiendo los cuadrados y
reagrupando,

La primera sumatoria es ICM .Por definición de centro
de masa la segunda y tercera sumatoria son proporcionales a xcm,
ycm que son 0 porque tomamos el origen en el centro de masa. El
término final es d2 multiplicada por la masa total o sea,
Md2.
Entonces queda demostrado que Ip = Icm + Md2