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El cálculo en Física con los Diagramas de Feynman



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    Desde la mitad del siglo XX, los físicos
    teóricos han recurrido cada vez más a los diagramas
    de Feynman para abordar cálculos complicados, en los que
    se ha buscado la mayor exactitud. Dichos diagramas han llegado a
    revolucionar los más variados aspectos de la
    física.

    Richard Feynman presentó sus diagramas a finales de los
    años cuarenta, ofreciéndolos como un artificio
    contable que simplificaba los farragosos y complicados
    cálculos de la Electrodinámica Cuántica
    (QED), pero pronto fueron empleados en física nuclear y de
    partículas, así como en la física del estado
    sólido. Y es que las expresiones integradas de Feynman
    acentuaban la "pictorialidad" espacio-temporal de los
    sucesos.

    Realmente la aportación de Feynman es altamente
    original. Los procesos visualizados en los diagramas de Feynman
    se han hecho imprescindibles en casi todos los dominios de la
    física. Los propagadores, que llevan las partículas
    de choque en choque pasan de ser complicadas distribuciones en el
    espacio-tiempo (Schwinger) a sencillos denominadores racionales
    (propagadores de Feynman) en "espacio de momentos". Los
    complicados cálculos perturbativos de órdenes
    superiores se resumen en una reglas (de Feynman) que se leen
    directamente de los diagramas.

    En la QED, los electrones y otras partículas
    fundamentales intercambian fotones "virtuales" que sirven de
    portadores de la fuerza. Estas partículas virtuales toman
    su energía de la del vacío, por el poco tiempo que
    les permite el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

    Existían dos problemas fundamentales que frustraban los
    cálculos en la QED. El primero es que en cuanto se
    procedía más allá de los grados de
    aproximación más simples, dejaba de ofrecer
    respuestas finitas, y los infinitos, lógicamente,
    carecían de sentido físico. El segundo
    consistía en que el formalismo era muy incómodo,
    "una pesadilla algebraica con un sin fin de términos a
    tomar en cuenta y evaluar". Como los electrones podían
    intercambiar un número cualquiera de esos fotones
    virtuales, cuantos más fotones intervenían,
    más complicadas eran las ecuaciones correspondientes. En
    el cálculo había que tomar en cuenta cada
    situación y sumar todas las contribuciones. Pero, la
    realidad es que ese número infinito de contribuciones
    distintas en la práctica podían truncarse al cabo
    de pocos términos, lo que constituía el llamado
    método de "cálculo de perturbaciones"; más,
    este método aparentemente simple presentaba dificultades
    extraordinarias. Por ejemplo, se había afrontado un
    cálculo en e4 a mitad de los años treinta, y en
    seguida aparecían cientos de términos distintos. Y
    cada contribución al cálculo total ocupaba
    más de cuatro o cinco líneas de símbolos
    matemáticos, por lo que era muy fácil que se
    omitieran términos. Resumiendo: divergencias sin resolver
    y cuentas inabordables.

    Como dije, los diagramas de Feynman son una herramienta muy
    potente para hacer cálculos en la teoría
    cuántica, que permiten superar los dos problemas
    anteriormente expuestos. Como cualquier cálculo en
    cuántica, se trata de obtener un número complejo, o
    "amplitud", cuyo módulo al cuadrado dé una
    probabilidad.

    Las amplitudes en la QED se componen de algunos ingredientes
    básicos, los cuales poseen su propia expresión
    matemática asociada, por ejemplo:

    • la amplitud de que un electrón virtual viaje desde
      x a y. B(x, y);

    • la amplitud de que un fotón virtual viaje de x a y.
      C(x, y); y

    • la amplitud de que el electrón y el fotón
      choquen eD (siendo e la carga del electrón).

    En la dispersión de un electrón por un campo
    electromagnético, el campo puede describirse como una
    colección de fotones. En el caso más simple el
    electrón colisionará sólo una vez con un
    único fotón en un solo vértice X0.
    Aquí parecen sólo partículas reales, de
    forma que la única contribución a la amplitud
    proviene del vértice: A(1)=eD.

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    Pero al electrón pueden acaecerle otros
    fenómenos complejos, como que el electrón entrante
    pueda desprender un fotón virtual antes de colisionar con
    el campo electromagnético y reabsorber el fotón
    virtual en un punto posterior

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    En este diagrama, las líneas del electrón y las
    líneas del fotón se encuentran en tres lugares y,
    por lo tanto, la amplitud para esta contribución es
    proporcional a e3. Así que la amplitud será

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    Y en el siguiente nivel de complejidad hay hasta siete
    diagramas de Feynman distintos.

    La amplitud total de que un electrón interaccione con
    el campo electromagnético se escribiría
    entonces:

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