Resolución de problemas de tanto por ciento (página 2)

Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de
fracción o número decimal y, a su vez, cualquier
número decimal o fracción se puede expresar en
porcentaje:

Cálculo de
porcentajes

Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por
ciento

• Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos
  la cantidad por el número que indica el porcentaje y
  dividimos el resultado entre 100.

Ejemplo:

El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240
alumnos, practica deporte. ¿Cuántos
estudiantes practican deporte?

Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos
el resultado entre 100:

Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos.

• Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos
  la cantidad por la expresión decimal de dicho
  porcentaje.

Ejemplo: Observa esta igualdad:

Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por
0,2:

240 · 0,2 = 48

Incrementos

Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un
porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.

Ejemplo: Si una camiseta, sin el 1% de IGV, cuesta
12,00 para saber cuánto cuesta con IGV hay que:

• Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta.
  Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (19% de
  12,00): 12 x 0,19 = 2,28 (0,19 es la expresión decimal
  del porcentaje 19%)

• Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (2,28) para
  obtener el precio final: 12,00 + 2,28 = 14,28

El precio de la
camiseta tiene un incremento debido al IGV y, por tanto, es
necesario disponer de un total de 14,28 soles para comprarla.

Descuentos

Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un
porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.

Ejemplo: Vamos a calcular el precio de un libro que
antes costaba 42,00 soles y ahora tiene el 5% de descuento:

• Calculamos el descuento que sufre el precio del libro.
  Para ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (5% de
  42,00): 42,00 · 0,05 = 2,10 (0,05 es la
  expresión decimal del porcentaje 5%).

• Restamos la cantidad (42,00) menos su descuento (2,10)
  para obtener el precio final: 42,00 – 2,10 = 39,90 soles El
  precio del libro tiene un recuento y, por tanto,
  habría que disponer de 39,90 soles para comprarlo.

Tanto por 1 y tanto por 1.000

Puesto que un tanto por ciento es una proporción de un
número de partes por cada 100, el tanto por uno y el tanto
por mil son proporciones de un número de partes por cada 1
o por cada 1.000 respectivamente. El tanto por ciento, por uno o
por mil son sólo diferentes maneras de expresar un
porcentaje.

Es lo mismo decir que se divide una tarta en 100 partes y se
cogen 25 que decir que se cogen 0,25 de una tarta, o que se
divide en 1.000 partes y se cogen 250. Por tanto, el 0,25, el 25
% o el 250 por mil son expresiones equivalentes y significan lo
mismo.

En realidad, no es más que multiplicar o dividir tanto
el numerador como el denominador por 10 ó 100,
según cada caso.

Aplicaciones de
los porcentajes

Los porcentajes se usan para:

• Relacionar una parte con el todo: Ejemplo: "El 58%
  de los aspirantes a ingresar en la Universidad son
  mujeres".

• Determinar una proporción entre dos cantidades:
  Ejemplo: "La proporción de levadura y harina
  para el bizcocho es del 3%".

• Describir a la población, indicando el peso
  relativo de una magnitud sobre ella. Ejemplo: "El 16%
  de la población tiene estudios superiores". Gran parte
  de la estadística se expresa en porcentajes.

• Determinar la variación relativa de una cantidad:
  Ejemplo: "El nivel del agua almacenada en los embalses
  ha subido un 8% en lo que va de año".

El interés
bancario

Las entidades financieras (bancos, cajas de
ahorros, etc.) dan a sus clientes un
interés por tener depositado su dinero. Es
directamente proporcional a la cantidad guardada y al tiempo que
dura el depósito, y se mide en tanto por ciento.

Cuando se pide un préstamo al banco
también se paga un interés.

Ejemplo:

La caja de ahorros local ofrece a Marta un 4% anual para los
6.000 soles que tiene ahorrados. ¿Qué
interés obtendrá Marta por su capital a
final de año?

Un interés del 4% anual significa que de cada 100 soles
obtiene 4 al año.

Por tanto,

Pero ¿y si Marta guarda el dinero en
la caja durante 4 años?

En cuatro años le producirá cuatro veces esa
cantidad:

4

Cálculo del interés bancario

Donde:

• I es el interés bancario. r es
  el rédito

• c es el capital. t es el
  tiempo.

   1. Porcentaje o tanto por ciento.

    En la tele o la radio
habrás oído que
un Banco ha tenido un 7 por ciento  de beneficios. Esto
quiere decir que por cada 100 monedas ha conseguido 7 más
y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje de beneficio ha sido el
7 %.    Porcentaje o tanto por ciento quiere decir
lo mismo.    Otro ejemplo: En una ley había
una ley de IVA que
decía que decía que todos los comerciantes
pagarían al Estado 
un impuesto del 6
por ciento (6 %) de todas las ventas. Si una
tienda ha vendido 100 euros pagará al Estado 6 euros; si
hubiese vendido 200 euros, tendría que pagar 12 euros.

    2.- Rebajas.

    En varias épocas del
año vemos en los comercios el cartel de rebajas. Si el
cartel dice 20 % esto quiere decir que por cada 100 monedas que
valga el producto me
rebajarán 20 monedas. Si compro un pañuelo que vale
100 monedas, me rebajarán 20 y tendré que pagar
80.    Para hallar el tanto por ciento de una
cantidad se multiplica ese tanto por la cantidad y se divide por
100. Así el 20 % de 2500 = (20 x 2500) : 100 = 500.
También se puede hacer así: 2500 x 0,20 = 500.

    3.- Interés
simple. 

    Cuando una familia gana
más dinero del que gasta, el dinero sobrante lo puede
poner en un Banco o Caja de Ahorros o invertirlo en bonos del Estado
y recibirá un beneficio. El beneficio se llama
interés. Si ha ingresado 100 euros en una Caja de Ahorros
y le dan un interés del  2 %, al cabo de 1 año
tendrá 102 euros. En 2 años tendría 104
euros.

    La fórmula del
interés simple es: interés = capital x % x
años    Si pongo en un Banco 400 euros al 3
% de interés durante 8 años obtendré un
interés de: n las cantidades    400 x
(3/300) x 8 = 400 x 0,03 x 8 = 96. ¿Cuánto dinero
tendré entonces?  Pues la suma de 400 + 96 = 496
euros.

    4.-
Préstamos.

    Supongamos que una pareja de
novios se quieren casar y desean comprarse un piso. Disponen de
unos ahorros pero les faltan 12000 euros, por lo que van a un
Banco a pedir que les presten ese capital. Llegan a un acuerdo y
el Banco les hace un préstamo de 12000 euros al 5 %
durante 10 años. Estos novios tendrán que devolver
el capital y pagar el interés correspondiente.

    Ejemplo: Si sacamos un
préstamo de 14000 soles al 5 % durante 4 años, el
interés que tendremos que pagar será: 14000 x 0,05
x 4 = 2800 soles Al Banco tendremos que pagarle esos 2800 soles
más los 14000 que nos prestaron. En total 16800 soles.

Uso y manejo de gráficos de los porcentajes

*El Porcentaje viene a ser, el numero de partes q se tomaron
de un entero que se divido entre 100 partes.

(% símbolo) 30% representan = 30/100 = 0.30

*Conversión de fracción a tanto por ciento.

En este caso se obtiene una fracción equivalente

3/5 = x/100

x=(100)(3)/5

x= 60 3/5 =
60/100 = 60%

Ejemplos:

• El uso de los porcentajes puede ser definido o aplicado de
  la siguiente manera(uso natural o fraccionaria)

Ejercicio: convierte a%

• a) 0.82 = 82/100 =82%

• b) 0.042 = 42/1000 = 4.2/100 = 4.2%

• c) 0.0345 = 345/10000 = 3.45/100 = 3.45%

• d) 1.25 = 125/100 =125%

• e) 2.034 = 2034/1000 = 203.4/100 = 203.4%

Convierte de fracción a %

• a) 9/10= x/100 =(100)(9)/10 =900/10 =90/100 = 90%

• b) 56/58 = x/100 =(100)(56)/58 = 560/58 =96.5/100
  =96.5%

• c) 4/5 =x/100= (100)(4)/5 =400/5=80/100 =80%

• d) 1/3 =x/100=(100)(1)/3 =100/3 = 33.3/100 =
  33.3%

*En Conclusión el uso de los porcentajes deriva
dependiendo el uso que se le dé :

Ejemplo:

*Comisión

*Descuento

*Aumento

*Impuesto a las ventas

*Precio con impuesto a las ventas

*Envío

*Interés simple y principal

*Consejos

*consejos para la estimación

Los Gráficos utilizados en el manejo de
Porcentajes:

Diferentes conjuntos de
datos son
particularmente aptos y utilizados de distintas maneras para
ciertos tipos de gráficos con relación a
porcentajes. A continuación hay una vista general de los
tipos de gráficos principales y secundarios en el uso de
porcentajes.

Barra

El gráfico de Barras (también conocido como
gráfico de Columnas) es una herramienta excelente para
presentar o comparar varios conjuntos de datos. Dos
gráficos de barras útiles son el gráfico de
barras Lado a lado y el gráfico de Barras apiladas.

• Gráfico de barras Lado a Lado

El gráfico de barras Lado a Lado muestra los datos
como serie de barras verticales. Este tipo de gráfico se
utiliza mejor para representar los datos de varios conjuntos
durante un período de tiempo; por ejemplo, las cifras de
ventas del año pasado en CA, AZ, OR y WA.

• Gráfico de barras Apiladas

Un gráfico de barras apiladas muestra los datos como
serie de barras verticales. Use este tipo de gráfico para
mejor representar tres series de datos, cada una de las cuales es
representada por un color apilado en
una sola barra (por ejemplo, las ventas de 1994, 1995 y
1996).

Línea

Este gráfico presenta sus datos como una serie de
puntos conectados por una línea. El gráfico de
línea se usa mejor con los datos de un gran número
de grupos (por
ejemplo, las ventas totales a través de varios años
pasados).

Área

Un gráfico de área muestra sus datos como
áreas llenas de colores o
diseños. Use este tipo de gráfico para representar
los datos de un número de grupos limitados (por ejemplo,
el porcentaje de las ventas totales de CA, AZ, OR y WA).

Gráfico circular

Un gráfico circular muestra los datos como un
círculo dividido en secciones de colores o diseños.
Este tipo de gráfico se usa solamente con un grupo de datos
(por ejemplo, el porcentaje de las ventas para el inventario
completo). También está disponible un
gráfico Circular Múltiple y un gráfico
Circular 3D.

Gráfico de anillos

El gráfico de Anillo es similar al gráfico
circular y muestra los datos como secciones de un círculo
o anillo. Si, por ejemplo, usted ha graficado las ventas por
región en un informe,
vería el número total de ventas (la figura) en el
centro del anillo, y vería las regiones como secciones del
anillo en colores. Como con el gráfico circular, tiene la
opción de elegir múltiples gráficos de
anillo para múltiples grupos de datos.

Gráfico de ascensión 3D

Un gráfico de ascensión 3D presenta sus datos en
una serie de objetos tridimensionales, alineados lado a lado, en
un plano de tres dimensiones. Este tipo de gráfico es
excelente para mostrar los puntos extremos de los datos en su
informe. Por ejemplo, la diferencia de ventas entre países
es visualmente dinámica cuando se representa en este
gráfico.

Gráfico de superficie 3D

Este tipo de gráfico presenta una vista
topográfica de conjuntos de datos múltiples. Si,
por ejemplo, usted necesita un gráfico para mostrar el
número de ventas por cliente por
país, y lo quiere de manera visualmente dinámica y
de formato relacional, podría considerar un gráfico
de superficie 3D.

Gráfico de dispersión XY

El gráfico de Dispersión XY es esencialmente una
colección de puntos trazados los cuales representan datos
específicos en una fuente de información. Este gráfico hace
posible que el usuario considere una esfera mayor de datos con el
propósito de determinar algunas tendencias. Por ejemplo,
si usted registra información sobre clientes, incluyendo
ventas, productos,
países, meses y años, usted entonces tiene una
colección de puntos trazados que representan la fuente de
información de clientes. Poder ver
todos estos datos en un gráfico de dispersión XY le
permitirá especular por qué ciertos productos se
están vendiendo mejores que otros o por qué ciertas
regiones tienen más compras que
otras.

Gráfico de radar

Este gráfico coloca los datos de grupo, tales como
países o clientes, en el perímetro del radar. El
gráfico de radar entonces ubica valores
numéricos, aumentando en valor, desde
el centro del radar hasta el perímetro. De esta forma, el
usuario puede determinar, con solo un vistazo, cómo los
datos de grupo específicos están relacionados con
todos los datos del grupo.

Gráfico de burbujas

El gráfico de Burbujas presenta los datos como una
serie de burbujas, donde el tamaño de las burbujas
está en proporción a la cantidad de datos. Un
gráfico de este tipo sería muy efectivo para
mostrar el número de productos vendidos en cierta
región.

Gráfico de stock

Este tipo de gráfico presenta los valores
altos y bajos relacionados con unos datos. Por esta capacidad, el
gráfico de cotizaciones es una herramienta excelente para
observar las actividades financieras o de ventas.

Eje numérico

Un gráfico de eje numérico es un diagrama de
barras, de líneas o de área que utiliza un campo
numérico o un campo de fecha/hora como campo "A cambio de".
Los gráficos de eje numérico proporcionan un medio
para aplicar una escala a los
valores del eje X, creándose de este modo un eje X
numérico verdadero o un eje X de fecha/hora verdadero.

Indicador

Un diagrama de este tipo se utiliza para presentar
gráficamente los valores como puntos en un indicador. Los
gráficos de indicador, al igual que los gráficos
circulares, se suelen utilizar para un grupo de datos (por
ejemplo, el porcentaje de ventas del inventario completo).

Gantt

Un diagrama de Gantt es un diagrama de barras horizontales que
se utiliza normalmente para proporcionar una
representación gráfica de una programación. El eje horizontal muestra un
período de tiempo, mientras que el eje vertical muestra
una serie de tareas o de eventos. Las
barras horizontales del gráfico representan secuencias de
eventos y períodos de tiempo correspondientes a cada
elemento del eje vertical. Cuando se crea un diagrama de Gantt
sólo se deberían utilizar campos de fecha. El campo
elegido para el eje de datos se debe establecer en "Para cada
registro" y
los campos de fecha inicial y final se deben agregar al
área "Mostrar valores" de la ficha Datos del Asistente de
diagramas.

Gráfico de embudo

Los diagramas de embudo se suelen usar para representar etapas
en un proceso de
ventas. Por ejemplo, la cantidad de ingresos
potenciales para cada etapa. Este tipo de gráfico
también puede resultar útil para identificar
áreas de problemas
potenciales en los procesos de
ventas de una organización. Un gráfico de embudo
se asemeja a un gráfico de barras apiladas en que
representa el 100% de los valores de resumen para los grupos
incluidos en el gráfico.

Ejemplos
gráficos

A continuación unos de los gráficos mas
utilizados:

*GRAFICOS EN COLUMNAS

COLUMNA AGRUPADA

COLUMNA 3D

BARRA AGRUPADA

BARRA APILADA

*GRAFICOS DE LINEAS

LINEA

*GRAFICOS CIRCULARES

CIRCULAR

CIRCULAR CON SUB-GRAFICO CIRCULAR

*GRAFICOS XY (DISPERSION)

DISPERSION

*GRAFICOS DE AREA

AREA

NOTA: EXISTEN VARIOS TIPOS DE GRAFICOS APARTES DE LOS
MOSTRADOS, MÁS SOLO SON MODELOS. UNO
MISMO PUEDE EMPLEAR LA IMAGINACION PARA CREAR GRAFICOS DE
DIFERENTES MANEJOS DE PORCENTAJES

Aplicación
de las Matemáticas en la vida Cotidiana

El tanto por ciento o porcentaje es una de
las expresiones matemáticas que más usamos en la
vida cotidiana. Por otra parte, la información que aparece
en los medios de
comunicación está repleta de datos expresados
en porcentajes. Por ejemplo, ¿quién no ha
oído decir alguna vez?: "Rebajas del 10% en todos los
artículos del hogar" o "El paro
aumentó el último trimestre un 0,5%". Un porcentaje
es la proporción de una cantidad respecto a otra y
representa el número de partes que nos interesan de un
total de 100.

Aplicaciones del tanto por ciento

1.- El precio de una motocicleta es de s/. 5.800
y sobre este precio se hace un 15 % de descuento.
¿Cuánto se pagará por él?

  Resolución:

  ? Se calcula el 15 % de s/. 5
800:

? Se resta el descuento del precio de la
motocicleta:

  5.800 – 870 = 4 930 soles

? También se puede razonar de esta
forma:

Si se hace un 15 % de descuento, por la
motocicleta se paga el 85 % de su valor

(100 – 15 = 85), es decir:

2.- Por una laptop que marcaba s/. 7 200 se han
pagado s/. 6 336. ¿Qué tanto por ciento de
descuento se ha efectuado?

  Resolución:

? 7 200 – 6 336 = 864

? La proporción en este caso es:

El descuento ha sido del 12 %.

3.- Sobre un artículo se hace un descuento
del 8 % y se paga un total de s/. 1 564. ¿Cuál era
su precio inicial?

  Resolución:

? Precio inicial – 8 % de precio inicial = 1
564

4.- La factura de una
reparación doméstica asciende a s/. 4 800 y sobre
esta cantidad se aplica un 12 % de impuesto.
¿Cuánto se pagará finalmente?

  Resolución:  

? Se calcula el 12 % de 4 800:  

? En total se pagará 4 800  +
576  = 5 376 soles

5.- En un trimestre, el consumo de
agua de una
familia ha sido de 69 metros cúbicos, y cada metro
cúbico cuesta s/. 35. Al importe del agua consumida se le
añade un 6 % de impuestos, y
además, la factura sufrió un recargo de un 20 % por
haberse pagado fuera de fecha. ¿Cuánto se
pagó al final?

Resolución:  

? Importe del agua: 69 metros cúbicos
· s/. 35 por cada metro cúbico = s/. 2 415

? 6 % sobre s/. 2 415:

? 20 % sobre s/. 2 560;

? Total factura: 2 560  + 512  = s/. 3
072

Aplicaciones del
tanto por ciento en los negocios

Ejemplo 1. Si la caña de azúcar
da el 12% de azúcar, ¿qué cantidad
darán 5,000 Kg. de

Caña?

Solución.

Supuesto: 100 Kg. de caña
dan 12 Kg. de azúcar.

Pregunta: 5000 Kg. de caña
dan x Kg. de azúcar

Por lo tanto

100 = 12 => 12 x 500 = 600 Kg.

5000 X 100

Problemas típicos. En general, los
problemas relativos al tanto por ciento pueden reducirse

a los tres casos siguientes:

1. Hallar el tanto por ciento correspondiente a
un número dado.

2. Hallar el tanto por ciento que un
número es de otro.

3. Hallar un número tal del que se conoce
el valor de un tanto por ciento.

Ejemplo 2. Una persona
invirtió $45,000 en un negocio relacionado al exportación de espárragos y
ganó el 12.5%. ¿Cuánto ganó?

Solución:

Supuesto: Por 100 gana 12.5

Pregunta: Por 45,000 gana
x

Luego:

Ejemplo 3. Un comerciante vendió un
auto en $5,850. Le había costado $5,000.

Calcule el tanto por ciento de beneficio: (a)
sobre el precio de compra; (b) sobre el precio

de venta.

Solución:

(a) Sobre el precio de compra:
Los beneficios obtenidos son 5,850 ? 5,000 ? 850. Por lo tanto,
ahora el problema debe formularse así: Si por $ 5,000
se obtienen $ 850, ¿cuánto se gana por
100?

Supuesto: Por $ 5,000 se obtiene
$ 850

Pregunta: Por $ 100 se obtiene
x

Luego:

En otras palabras, $850 son el 17% de $5,000.

(b) Sobre el precio de venta: En
este caso, el problema se puede plantear así: Si de $
5,850

850 constituyen la utilidad,
¿de $ 100 cuánta utilidad
corresponderá?

Supuesto: De $ 5,850 la utilidad
son $ 850

Pregunta: De $ 100 la utilidad es
x

Luego:

En otras palabras, $ 850 representan el 14.53% de
$ 5,850.

Ejemplo 4. Al vender un ramal de
tintorería en $ 684,000 se obtuvo una utilidad de 20%
sobre el precio de compra; ¿cuánto costó el
ramal?

Solución

Supuesto: los $ 684,000 de la
venta equivalen al 120% del precio de compra.

Pregunta: $ x (el precio
de compra) representa el 100%

Luego:

Conclusiones

El porcentaje es una cantidad que corresponde
proporcionalmente a una parte de cien. Su simbología (%)
esta regida por el Sistema
Internacional de medidas (S.I.); y su unidad es el 0.01

Es útil para la distribución de cantidades calculadas o
expresadas en tantos por ciento.

Su uso esta dirigido en especial a las
áreas de la estadística, la contabilidad y
la
administración; así como también cumple
un papel en distintas ramas de las matemáticas.

GRAFICOS:

EJEMPLO N° 1:

El 87 % de 68 es:

87 x 68 = 5 916 = 59.16 redondeando 59 ó
59.2

100

EJEMPLO N° 2:

Este es un grafico estadístico de los
porcentajes de la cantidad de enfermos psicosomáticos de
un lugar específico.

Bibliografía

• DICCIONARIO ENCICLOPEDICO ÉXITO.

EDITORIAL OCEANO-1990

• ENCICLOPEDIA INTERACTIVA SIGLO XXI.

• EDITORIAL EL VERBO-2000

• CALCULO Y ESTADISTICA TOMO IX (CALCULO I
  – II) LIC. L. GALDOS EDIT. EL COMERCIO

• ENCICLOPEDIA ESCOLAR PLANETA EDIT.PLANETA DE
  AGOSTINI

Páginas Web:

• Matemática a distancia

www.aaamatematica.com

• www.hiru.com

• eos[arroba]correo.cop.es

DEDICATORIA

Dedicamos las paginas de ésta monografía
a

cada uno de nuestros padres, quienes saben

forjar en nosotros la lucha continua y
servicio

desinteresado por lograr un futuro justo para

nuestro país II

AGRADECIMIENTO

Realizar este trabajo
representa para nosotros

Recordar las clases de nuestros maestros.
Nuestras

Propias experiencias como alumnos y agradecer
al

Excelente grupo de docentes de la
UNIVERSIDAD

CÉSAR VALLEJO-LIMA por todo el
conocimiento

¡Que nos brindan día a
día!

Autor:

Alexander Suárez Solano

César Ortiz Baldeón

Marlon Oneeglio Crúz

Asesoría: Lic. Juan Carlos Conopuma

Curso: Matemática
I

Escuela de Negocios
Internacionales

Lima-Perú