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Trabajo de Álgebra Lineal (página 2)

Enviado por Martin Arias



Partes: 1, 2


INVERSA DE UNA MATRIZ.- Una matriz es invertible siempre y cuando exista una matriz D de n x n, tal que al multiplicar por la matriz primitiva que la denominaremos como A se produzca la siguiente relación Monografias.comy Monografias.comdonde a la matriz D la denominaremos como inversa de A y su denotación será Monografias.comademásMonografias.comserá la matriz identidad de orden n así las relaciones se dan de la siguiente manera:

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TEOREMAS

  • a) Una matriz que no tiene inversa se denomina no invertible o simplemente singular.

  • b) Una matriz que tiene inversa se denomina invertible o simplemente no singular.

  • c) Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es única. [4]

  • d) Las matrices no cuadradas no tienen inversas.[5]

La resolución de la inversa de una matriz se consigue con la consecución de loa siguientes pasos que serán relatados a continuación:

  • Dada la matriz a conseguir la inversa se debe verificar que esta tenga el mismo número de filas como de columnas es decir sea una matriz de n x n

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  • A continuación se procede a colocar la matriz identidad a lado de la matriz que se requiere la inversa.

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  • Mediante el proceso de Gauss – Jordan se procede a convertir la matriz que se requiere la inversa en la identidad

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  • Así la matriz que se encuentre en la posición de la identidad será la inversa de la matriz deseada.[6]

  • TRANSPUESTA.- La transpuesta de una matriz de m x n no es más que el cambio de filas por columnas, así la nueva matriz será de n x m, la denotación de la transpuesta de una matriz es la siguiente. Monografias.com

Una matriz denominada simétrica es aquella cuya matriz es igual a la transpuesta, en donde se cumple la siguiente condición: Monografias.com

La transpuesta de Monografias.comnos regresa a la matriz original A, además la transpuesta de una matriz triangular inferior es una triangular superior.[7]

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TEOREMAS

  • a) La transpuesta de AB es Monografias.com

  • b) La transpuesta de la inversa de una matriz es Monografias.com

Determinante

El determinante es un número real asociado con una matriz mediante la función determinante. El determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a su elemento. La denotación del determinante se da de la siguiente manera:

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  • OPERACIONES CON DETERMINANTES.- Las operaciones con determinantes son todas las operaciones que se pueden realizar sobra la matriz para resolución de su determinante y que no alteren su resultado, todo esto nos lleva a las propiedades de los determinantes que será mostradas a continuación:

  • Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante por medio de matrices de permutación, su valor no se modifica, como sabemos todo lo que decimos para las filas también podemos decir para las columnas.

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  • Si todos los elementos de una fila o columna son nulos, el determinante será cero.

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  • Si se permutan dos filas o columnas iguales, el valor del determinante cambia de signo.

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  • Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales su valor es cero.

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  • Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un mismo escalar k, el valor del determinante queda multiplicado por K

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  • Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son suma de dos o más términos, el determinante es igual a la suma de dos o más determinantes.

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  • Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra por un escalar k, el valor de determinante no varía.

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Formas de reducción

La forma de reducción es el pasar una matriz a una triangular superior o inferior, en tal caso la resolución del determinante se reduce al producto de su diagonal.

2.4.1 DESARROLLO CON EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN.- Cuando realizamos la eliminación escogiendo los pivotes mediante el método de Gauss – Jordan la matriz que obteníamos era una triangular superior, así de esta manera el determinante de una matriz triangular superior se reduce al cálculo de el producto de su diagonal, en este punto es muy importante las matrices de permutación ya que nos ayudan a tener un mejor pivote y que el sistema pueda tener una solución. [8]

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Cálculo

  • DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE 2X2.- Si se tiene una matriz A de 2 x 2 de la siguiente manera:

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Monografias.comEl determinante de una matriz de 2 x 2 se calcula de la siguiente manera:

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Así el determinante de una matriz de 2 x 2 se da de la siguiente manera:

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  • DETERMINANTE DE TERCER ORDEN. – Si se tiene una matriz de 3 x 3 de la siguiente manera:

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La resolución del determinante se consigue con la realización de los siguientes pasos:

  • a) Se escriben, al lado del determinante, las dos primeras columnas del mismo:

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  • b) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de izquierda a derecha y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo +

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  • c)  Se multiplican los elementos de las tres diagonales, en el sentido de derecha a izquierda y de arriba abajo, seguido a cada producto del signo –

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  • d) La suma algebraica de los seis productos es el desarrollo del determinante:[9]

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  • MÉTODO DE COFACTORES.- Antes de comenzar con el desarrollo de el determinante por el método de cofactores se debe antes tener un concepto muy importante que se tiene a continuación:

Monografias.com2.5.3.1 MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna Monografias.comla menor viene denominada por Monografias.com

Monografias.comMonografias.comMonografias.comMonografias.com

2.5.3.2 COFACTOR.- Se representa con la letra Monografias.comy su cálculo se da de la siguiente manera:

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Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:

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Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:

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Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x n:

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CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.- Las condiciones para que el determinante de una matriz sea cero (det(A)=0) son las siguientes:

  • a) Toda una fila o columna conste de ceros

  • b) Dos filas o columnas sean iguales

  • c) Una fila o una columna sea dependiente o múltiplo de otra fila o columna correspondientemente.

Aplicaciones

  • ADJUNTA DE UNA MATRIZ.- Antes de entrar a la resolución de la adjunta de una matriz antes debemos recordar que el cofactor Monografias.comde una matriz viene dado como Monografias.comveces el determinante de la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz. Siendo A la matriz de n x n, entonces la matriz de cofactores de A se da de la siguiente manera:

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    La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de la matriz y su denotación es: Monografias.comes decir la transpuesta de la matriz A es la siguiente:[10]

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  • INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA.- Dada una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la inversa de una matriz viene dado por la siguiente relación:

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  • REGLA DE CRAMER.- La regla de Cramer es una aplicación práctica de los determinantes para la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas de n ecuaciones con n incógnitas. Está regla puede aplicarse sólo a sistemas de ecuaciones lineales que tienen soluciones únicas.

Si se tiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:

Monografias.com Monografias.com

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La soluciones de "x" y "y" viene dados de la siguiente manera:[11]

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Donde det (D) es el determinante de los coeficientes. Para la determinación de los valores de las incógnitas se obtiene a partir de la matriz A al sustituir la columna donde se encuentre la incógnita por la columna de las constantes c, y ese resultado dividirlo para el determinante de la matriz D de coeficientes.[12]

  • ÁREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO XY.- El área de un triángulo cuyos vértices son: Monografias.comestá dada por la siguiente relación:[13]

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  • PARA PROBAR SI TRES PUNTOS EN EL PLANO XY SON COLINEALES.- Tres puntos Monografias.comson colineales en el plano x y si y solo sí cumplen con la siguiente condición:[14]

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  • FORMAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA POR MEDIO DE DOS PUNTOS.- La ecuación de la recta que pasa por dos puntos distintos Monografias.comestá dada por la siguiente relación:[15]

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Conclusiones

En el primer punto del trabajo tuvimos un concepto general de lo que son las permutación que son cada uno de los intercambios que se pueden hacer sin repetirlos, así mismo lo llevamos a términos matriciales que es el intercambio de filas cuando un pivote es cero y debemos buscar un pivote adecuado para la eliminación de Gauss – Jordan y así mismo para la correcta resolución de un sistema de ecuaciones.

En la operaciones de los determinantes pudimos llegar a la conclusión que podemos trabajar sobre la matriz a obtener el determinante para que nuestra resolución sea mucho más rápida y haciendo que el resultado de la misma no sea alterado de ninguna manera.

Las diferentes formas de resolución nos llevo a un enfoque mucho más amplio de la resolución del determinante de una matriz, ya que cada una de ellas podía ser utilizadas en las otras ya que en el método de cofactores se usa mucho la resolución de el determinante de las matrices de 2 x 2, las permutaciones cuando queremos transformar una matriz a una triangular superior o inferior para la resolución de el determinante por medio de el producto de la diagonal.

En el punto de las aplicaciones se pudo ver formas mucho más simples que podemos usar para la resolución de la inversa, la adjunta, en geometría analítica la obtención de el área de un triangulo, la determinación de colinealidad de dos puntos, así como la ecuación de la recta entre dos puntos.

Recomendaciones

Por el momento en este trabajo no tengo recomendaciones que proporcionar, ya que el trabajo se realizo con la debida anticipación, así como el envío del mismo, en futuros trabajos si hubiera alguna de ellas se las dará a conocer

Bibliografía

  • Teoría y Problemas de Matrices. Ayres, Frank, JR. Serie de compendios Schaum. México. 1969

  • Teoría y Problemas de Algebra Lineal. Lipschutz, Seymour. Serie de compendios Schaum. México. 1969

  • Algebra de Matrices. Franz E. Hohn. Editorial Trillas. México.1979

  • Introducción al Álgebra Lineal. Larson – Edwards. México. Editorial Limusa. 1994

Anexos

A1

A1.1

Determinar el número de permutaciones que pueden hacerse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5

El número de permutaciones se determina mediante la relación presenta en la parte escrita del trabajo donde:

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A1.2

Determinar el número de permutaciones que se pueden hacer con las letras de la palabra CONCORDANCIA.

a= #A = 2 b= #C = 3 c= #D = 1 d= #O = 2 e= #N = 2 f= #I = 1 g= #R = 1 n=12

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A1.3

Dada la siguiente matriz encontrar la matriz de permutación que produzca el intercambio de la segunda fila con la primera:

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La matriz de permutación que produce el intercambio de la segunda fila con la segunda es la siguiente:

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Ya que si realizamos el producto entre las dos matrices se producirá el intercambio deseado de la siguiente manera:

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A1.4

Se supone para esta demostración que A es invertible, y además se sabe que tiene por lo menos una inversa D tal que Monografias.compara esto supongamos que A tiene otra inversa C tal que AC=I=CA, entonces podemos demostrar que B y C son iguales de la siguiente manera:

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Por lo tanto se ha demostrado que B y C son iguales y de esta manera se puede llegar a la conclusión que la inversa tiene una única solución.

A1.5

Para demostrar este teorema debemos observar que si A es de orden Monografias.comy D es de orden Monografias.comen donde Monografias.comentonces los productos AD y DA será de órdenes diferentes y así de esta de esta manera se deduce que nunca de los nunca podrán ser iguales entre sí.

A1.6

Dada la siguiente matriz determinar su inversa:

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Para esto colocamos la matriz identidad a continuación de la matriz A y tratamos de conseguir la identidad:

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Procedemos a hacer cero a -1 mediante la eliminación de Gauss – Jordan multiplicando la primera fila por 1 y sumándole a la segunda y tenemos de la siguiente manera:

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Ahora procedemos a hacer cero a 4, multiplicando la segunda fila por -4 y sumándole a la primera y obtenemos lo siguiente:

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Si en los lugares de la diagonal tuviéramos números diferentes de 1 lo que procedemos a realizar es la división de toda la fila por ese número, así de esta manera la inversa de la matriz a es la siguiente:

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Para comprobar realizamos el producto por la matriz primitiva y obtendremos la matriz identidad.

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A1.7

La siguiente matriz determinar si es simétrica o no:

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Si realizamos la transpuesta de esta matriz tenemos:

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Como podemos observar la transpuesta y matriz original son idénticas por lo tanto podemos decir que la matriz A es simétrica.

A1.8

Dada la matriz A de m x n calcular su transpuesta:

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La transpuesta de la matriz se conseguirá mediante el cambio de filas en columnas, así la nueva matriz será de n x m:

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A4

A4.1

Realizar la eliminación de Gauss – Jordan a la siguiente matriz y de esta manera conseguir el determinante:

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Mediante el método de Gauss – Jordan la matriz se tiene de la siguiente manera:

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Por lo tanto el determinante de la matriz se consigue con el producto de la diagonal de la matriz ya que esta es una triangular superior:

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A5

A5.1

Calcular el determinante de la matriz cuadrada de 2 x 2:

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El determinante de la matriz A se consigue de la siguiente manera:

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A5.2

Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

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Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

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El valor de el determinate es:

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Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

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Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

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El valor de el determinate es:

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A5.3

Encontrar el determinante de la siguiente matriz por el método de cofactores escogiendo una fila para el desarrollo:

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Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente formula:

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A5.4

Encontrar el determinante de la misma matriz de A3.3 por el método de cofactores escogiendo ahora una columna para el desarrollo:

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Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente formula:

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A6

A6.1

Determinar la adjunta de la siguiente matriz:

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La solución de la adjunta se consigue siguiendo el esquema en la parte superior del trabajo:

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Realizaremos el cofactor de Monografias.comy el cálculo de los demás cofactores serán idéntico:

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La matriz de cofactores será de la siguiente manera:

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Como dijimos en la parte superior la adjunta de la matriz es la transpuesta de la matriz A así que el resultado será el siguiente:

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A6.2

Determinar la inversa de la matriz anterior usada para la obtención de la adjunta de A:

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Ahora obtendremos el determinante de la matriz A:

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La inversa de la matriz se consigue de la siguiente manera:

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A6.3

Para la demostración de la Regla de Cramer se considera el siguiente sistema:

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Al multiplicar por Monografias.comla primera ecuación y por Monografias.comla segunda ecuación y luego sumar los resultados se obtiene:

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Al despejar Monografias.comsuponiendo queMonografias.comse obtiene:

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De la misma manera se puede despejar Monografias.com

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Como podemos observar tanto el numerador como el denominador pueden ser representados como determinante:

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A6.4

Determinar los coeficientes x, y, z del siguiente sistema de ecuaciones:

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Desarrollando los determinantes de cada uno de ellos por el método de cofactores el resultado es el siguiente:

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A6.5

Encontrar el área de el triangulo cuyo vértices son los puntos Monografias.comcomo se indica en la figura.

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Se toma el valor absoluto del área ya que el área no puede ser considerada como negativa.

A6.6

Determinar si los puntos Monografias.comson colineales

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Si desarrollamos el determinante por medio de los cofactores podemos determinar que es igual a cero:

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Así de esta manera comprobamos que los tres puntos son colineales.

A6.7

Determinar la ecuación de la recta determinada por los puntos:Monografias.com

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Monografias.com0

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La ecuación de la recta que pasa por los puntos Monografias.comes Monografias.compor lo tanto la ecuación es una recta paralela al eje de las x.

 

 

 

Autor:

Martín Quito

18 DE MAYO DE 2009

Ecuador

[1] Ejemplo de permutación de anexo A1.1

[2] Ejemplo en el anexo A1.2

[3] Ejemplo en anexo A1.3

[4] Demostración en anexo A 1.4

[5] Demostración en anexo A1.5

[6] Ejemplo en anexo A1.6

[7] Ejemplo en anexo A1.8

[8] Ejemplo en anexo A4.1

[9] Ejemplo en anexo A5.2

[10] Ejemplo en anexo A6.1

[11] Demostración en anexo A6.3

[12] Ejemplo en anexo A6.4

[13] Ejemplo en anexo A6.5

[14] Ejemplo en anexo A5.6

[15] Ejemplo en anexo A5.7


Partes: 1, 2


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