Partes: 1, 2

Capítulo I: PRELIMINARES.

Capítulo II: LA ESTRUCTURA GEOMÉTRICA DE M4.

Capítulo III: EL GRUPO DE LORENTZ

Conclusiones

Recomendaciones

Anexo 01

Bibliografía

CAPITULO I:

PRELIMINARES

En el presente capítulo se introducirá las nociones previas que son requeridas en el capítulo II, en la sección 1.1 daremos la estructura necesaria para definir un tensor métrico luego en la sección 1.2 enunciaremos algunas nociones sobre topología que nos permitan definir un homeomorfismo. En la sección 1.3 se dará la idea de sistema coordenado, lo cual será muy importante para llegar a definir en la última sección una variedad n-dimensional diferenciable.

TENSORES

En esta sección se dará la definición de tensor para lo cual necesitamos algunas consideraciones previas:

DEFINICIÓN 01.- (CONVENIO DE SUMACIÓN DE EINSTEIN): Cada monomio, cuyos factores están provistos de índices literales superiores e inferiores susceptibles de tomar determinados valores numéricos, debe considerarse como representación abreviada de la suma de monomios.

EJEMPLO 01:

Si i = 1,... ,n ; j = 1,.,m ; r = 1,.,p se tiene

a.-

b.-

Notar que

donde k = 1,... ,n ; l = 1,.,m ;

c.-

d.-

NOTA 01: Se debe tener mucho cuidado en el uso de la notación, por ejemplo:

Esto es, nunca se debe usar índices que se repitan más de dos veces.

DEFINICIÓN 02.-(DELTA DE KRONECKER): Definimos la aplicación llamada el símbolo Delta de Kronecker) como: ............... (1.1)

EJEMPLO 02: Probar que: donde j = 1,...,4;

En efecto:

y así sucesivamente para cualquier

EJEMPLO 03: Probar que: j = 1,...,4;

En efecto

y así sucesivamente para valores cualesquiera de

EJEMPLO 04: Discutir la relación entre dos bases de un espacio vectorial n- dimensional V.

En efecto:

Sean y dos bases de V, entonces cada tiene una expresión en términos de y viceversa:

Los números son arreglados en una matriz cuadrada de orden n. Llamada la matriz de cambio de la base a la base

Sustituyendo en obtenemos:

comparando con tenemos:

......................... (1.2)

análogamente: ......................... (1.3)

obsérvese que y son inversas una de otra.

OBSERVACIÓN 01: Los espacios vectoriales que se consideran en éste trabajo son de dimensión finita.

DEFINICIÓN 03.- Se llama producto tensorial de dos espacios vectoriales U y V a un par formado por un espacio vectorial Z y una aplicación bilineal: que cumple las condiciones siguientes:

El espacio Z es generado por los vectores del conjunto es decir, Z es idéntico con el conjunto de todas las combinaciones lineales: en donde los son escalares cualesquiera, p es un entero positivo finito y son vectores cualesquiera. Esto también se puede expresar como Z es el espacio vectorial generado por los vectores del conjunto y en adelante lo denotaremos por

Cada aplicación bilineal de en un espacio vectorial cualesquiera W puede expresarse en la forma:

.....................(1.4)

donde g es una transformación lineal de Z en W.

Se dice que (1.4) es la factorización de mediante la aplicación universal

Gráficamente:

Los elementos del espacio Z se llaman tensores de orden dos. Los tensores de la forma se llaman tensores descomponibles.

NOTA 02: Todo tensor puede expresarse como la suma de un número finito de tensores descomponibles, pero dicha expresión no es única.

Por ejemplo: Sea

Sin embargo

Las condiciones y son equivalentes a una sola condición:

T .- (PROPIEDAD DE FACTORIZACION ÚNICA):

Para cada aplicación bilineal f de en un espacio vectorial cualesquiera existe una única transformación lineal de en tal que

Demostración :

Probemos primero que T1 y T2 equivalen a T

Dada una aplicación bilinealde en W, supongamos que hubieran dos transformaciones lineales. y tales que y se sigue que .Dado un vector cualesquiera z, en virtud de T1 puede escribirse : por lo tanto

de donde

Supongamos ahora inversamente que el par satisface la condición T; T2 es evidente, sólo queda probar T1.

Sea aplicación inclusión que a cada elemento de le hace corresponder el mismo elemento en Z. Para probar T1 bastará probar que es sobreyectiva.

Consideremos la aplicación bilineal: que se define por

de modo que así se tiene

Gráficamente

En virtud de la condición T existe una transformación lineal tal que se tiene entonces que lo cual constituye una factorización de la aplicación bilineal mediante la aplicación universal Según T, será la única transformación lineal que da lugar a esa factorización.

Ahora sea la aplicación identidad en Z se tiene evidentemente que y esta también es una factorización de mediante la aplicación universal Se deduce que puesto que es una sobreyección, también lo será . Y por lo tanto . Lo cual prueba que T1 y T2 equivalen a T.¦

TEOREMA 1.1.-(UNICIDAD DEL PRODUCTO TENSORIAL):

Si y son dos productos tensoriales de U y V entonces existe un isomorfismo único tal que

Demostración:

Dado que es un producto tensorial de U y V y además es una aplicación bilineal de en existirá, en virtud de T2 una transformación lineal tal que de forma análoga se concluye que existe una transformación lineal tal que por consiguiente y , pero genera a y genera a Z

Así de donde (aplicación identidad en similarmente se obtiene aplicación identidad en Z).

Inyectiviadad: de se deduce que es inyectiva.

Sobreyectividad: de se tiene que es sobreyectiva.

Luego es un isomorfismo y de la demostración de la biyectividad se sigue que es su inversa.

Ahora, supongamos que exista otro isomorfismo tal que según T y considerando se tiene que es única, por lo tanto

Para la demostración de la existencia del producto tensorial de dos espacios vectoriales, consultar [TP] tomo II, página 150.

OBSERVACIÓN 02: en vista de la existencia y unicidad, en el sentido del teorema 1.1, del producto tensorial de dos espacios vectoriales U y V , en adelante hablaremos del producto tensorial de U y V.

NOTA 03: A partir de la observación anterior, a veces la aplicación es reemplazada por el símbolo de modo que un tensor descomponible es definido como y por conveniencia se escribirá

Para el producto tensorial de U y V se cumple el siguiente

TEOREMA 1.2.- Dados dos conjuntos cualesquiera y de vectores linealmente independientes de U y V respectivamente, entonces los vectores son linealmente independientes. es la aplicación universal del producto tensorial de U y V.

Demostración :

Sea el producto tensorial de U y V y sean y conjuntos l.i. de U y V respectivamente.

Designemos por U1 y V1 los sub espacios de U y V generados por estos conjuntos de vectores.

Escojamos luego un conjunto arbitrario de escalares y definamos la función bilineal : R??tal que

En virtud de T2 existe una función lineal R

Tal que :

Podemos probar que son l.i. para .

Supongamos que sea :

se tendrá entonces:

puesto que los escalares son arbitrarios, se sigue que

Por lo tanto los son l.i.¦

COROLARIO 1.1.- Si y son bases de U y V respectivamente, entonces los vectores constituyen una base para Z.

Demostración :

Sean y bases de U y V respectivamente, según el teorema 1.2. son l.i. luego, y según la condición T1, Z es generado pores decir, si se tiene que , así será una base para Z. ?

DEFINICIÓN 04.- Dado un espacio vectorial V de dimensión finita n denominaremos:

i ) Espacio Tensorial Afín contravariante (covariante) al producto tensorial de V con sí mismo (V*: dual de V ,con sí mismo) y lo denotamos

ii ) Espacio Tensorial Afín mixto al producto tensorial de V y V*

Los elementos de tal espacio se llaman tensores afines de orden 2, r-veces contravariantes y s-veces covariantes, donde r + s = 2.

NOTA 04:

a.- Todo vector es denominado un tensor de orden uno.

b.- Todo escalar es denominado un tensor de orden cero.

COMPONENTES DE LOS TENSORES AFINES

Dada una base de V y la correspondiente base de un espacio tensorial afín cualquiera, los componentes de un tensor de ese espacio pueden expresarse de manera sencilla mediante las componentes de los vectores factores. Veamos esto mediante un ejemplo: Sea un tensor afín de

Dada la base de V y la correspondiente base dual de V*, de modo que la base de será donde cada índice puede tomar los valores del 1 al n, así existen n2 elementos allí.

Ahora, puesto que : ;

Entonces = ..................... (1.5)

El tensor viene dado por ...................... (1.6)

Donde son las componentes del tensor, notemos que la disposición de los índices nos permite saber al espacio que corresponde al tensor.

De (1.5) y (1.6) obtenemos que:

NOTA 05: Los vectores del espacio vectorial V son denominados vectores contravariantes y a los vectores que pertenecen a su dual V* , en particular (V) 1 es dual de V, se les llama vectores covariantes.

Entre los espacios (V) y V existe un isomorfismo definido a partir del producto escalar:

tal que

Si es una base de V yes la base dual de ( (V) , entonces es una base de V, tal que si V es un espacio euclidiano2 es la base reciproca de

DEFINICIÓN 05.- Dado un Espacio Euclidiano V, sea una base de V, las componentes de un vector cualquiera V respecto a esa base las designaremos por y las denominaremos componentes contravariantes de

Llamaremos componentes covariantes de y las designaremos por a las componentes de , que esta asociado a v mediante el isomorfismo respecto a la base dual

Ahora, sea:

aplicando se obtiene : , por lo tanto las componentes covariantes de un vector son sus componentes respecto a la base recíproca de

DEFINICIÓN 06.- Se llama vector euclidiano del espacio euclidiano V al conjunto formado por un vector cualquiera y por otro vector con el cual se identifica mediante el isomorfismo El vector euclidiano se representa por Sus componentes contravariantes y covariantes son las componentes de introducidas en la definición anterior.

Una vez introducidas componentes contravariantes y covariantes hallaremos la relación entre ellas, respecto a un a base de V.

Entre los elementos de la base y existen relaciones de la forma:

y .................... (1.7)

donde son las matrices de transformación de una base en su recíproca, son regulares, e inversa una de la otra de modo que se cumple :

Ahora, desde que se obtiene :

Similarmente , de la conmutatividad del producto escalar resulta: y además, puesto que y se tiene:

así obtenemos las relaciones buscadas,

esto es, y ................. (1.8)

Consideremos un tensor afín contravariante que sea descomponible, es decir, que sea el producto de dos vectores contravariantes :

..................... (1.9)

a cada vector le corresponde un vector covariante Identificaremos entre si a todos los tensores afines que se obtienen cuando se sustituye en (1.9) uno o los dos vectores por sus respectivos vectores covariantes. Los tensores afines que así se obtienen junto con constituyen un conjunto que se denomina tensor euclidiano que es representado por cualquiera de los elementos que la forman.

Las componentes de diversos tensores identificados entre si son las componentes de diversas clases (contravariantes, covariantes y mixtos) del respectivo tensor euclidiano.

EJEMPLO 05: Designaremos por las componentes contravariantes del vector las componentes contravariantes del tensor de (1.9) son:

.................. (1.10)

las componentes mixtas

y (1.11)

las formulas (1.8) permiten expresar las componentes de cualquier clase en términos de otra clase cualquiera.

EJEMPLO 06: Si queremos expresar las componentes (1.10) en función de las componentes covariantes de (1.9)

NOTA 06: El tensor t y los tensores afines asociados a él como lo hemos descrito anteriormente definen un tensor euclidiano cuyas componentes de cada tipo son las componentes del tensor afín de este tipo asociado a t .

TEOREMA 1.3.- La función bilineal R que a cada par de vectores le hace corresponder el numero real (la función producto interior) es un tensor dos veces covariante que pertenece a un tensor euclidiano de segundo orden cuyas componentes respecto a la base de B(V)1 asociada a la base de V son los números Sus componentes contravariantes son los números y sus componentes mixtas .

Aquí denota la aplicación universal del producto tensorial de V* y V*.

DEFINICIÓN 07.- El tensor euclidiano de segundo orden que respecto a una base de V que tiene componentes se llama tensor fundamental del espacio vectorial euclidiano V o tensor métrico de V.

Dicho tensor se identifica con la función bilineal

R

que se define mediante la forma cuadrática:

cuyas componentes son exactamente las componentes covariantes de

Así también podemos obtener: y

DEFINICIÓN 08.- Una forma cuadrática R definida mediante una función bilineal como se dice:

no negativa si

negativa si

no positiva si

positiva si

DEFINICIÓN 9.- El índice de una forma cuadrática R es la mayor dimensión de un sub espacio vectorial de V restringido al cual la forma cuadrática es negativa y lo denotamos por

NOTA 07: Cuando convenimos en 0

TEOREMA 1.4.-(LEY DE INERCIA DE SILVER):

Si existe una base de V tal que se tiene entonces la forma cuadrática tiene índice i .

NOTA 08: Si la forma cuadrática que identifica al tensor métrico tiene índice cero se denomina tensor métrico de Riemman, Si tiene índice uno se denomina tensor métrico de Minkowsky.

CONCLUSIONES

• 1. Las transformaciones ortogonales sobre V4, en particular la transformación especial de Lorentz permite determinar la relación entre los sucesos del espaciotiempo de Minkowski M4.

• 2. El conjunto de transformaciones de Lorentz tienen una estructura determinada, la de grupo.

• 3. Las mediciones que realizan los observadores inerciales dependen de la naturaleza de su movimiento (estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme) así, dos observadores inerciales en movimiento relativo, a grandes velocidades, no obtendrán los mismos valores en sus mediciones del tiempo y el espacio.

• 4. A partir de la transformación especial de Lorentz es posible calcular los efectos que sufre una partícula en movimiento, como pueden ser la contracción de longitud, dilatación del tiempo.

RECOMENDACIÓN

Una vez establecida la estructura matemática, el espaciotiempo de Minkowski, sobre la cual se desarrolla la Teoría de la Relatividad Restringida, será posible continuar con la investigación de los hechos que a partir de aquí se derivan y de allí dar paso al estudio de la Teoría de la Relatividad General, donde encontramos temas interesantes como singularidades del espaciotiempo (bing bang, agujeros negros), así como también se puede abordar el estudio de otros modelos de espaciotiempo, la mayoría de estos coincide en afirmar que el universo es una variedad diferenciable cuatridimencional. Y así contribuir a descifrar las leyes que rigen en el fascinante universo de la cosmología.

BIBLIOGRAFÍA

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[RM] Roman, A. Maeder. "Programming in Mathematica"

Editorial Addison-Wesley

[TP] Tola Pasquel, José. "Algebra lineal y multilineal" tomo I y II

Fondo Editorial PUCP, Lima, 1989

A Paula M. y Manuel H.,mis padres, por su apoyo abnegado, constante e incondicional.

A todas las personas; alumnos, profesores y amigos, que nos incentivaron a seguir y esperaron pacientemente la conclusión de éste trabajo.

A mis Padres, Rubén y Flora que supieron comprenderme y brindarme todo su apoyo, y a mi hija por ser la fuerza que me impulsa a seguir superándome.

Agradecemos al Lic. Luis Aguilar Ibáñez, por sus oportunos comentarios y su ayuda para esclarecer algunos conceptos matemáticos, al Lic. Ricardo Velesmoro León por su invaluable y desinteresado apoyo, al señor Orlando Navarro Y. por facilitar el acceso a la bibliografía, a J. Valentín Mendoza M. por su fervoroso ánimo, y a todas aquellas personas que nos brindaron su apoyo, gracias al cual fue posible que este trabajo diera luz.

 

 

 

Autor:

Ellis R. Hidalgo M.

Javier F. Pazo E.

Universidad Nacional De Piura

Facultad De Ciencias

Escuela Profesional De Matemática

Tesis Para Optar El Título De Licenciado En Matemática

Piura-Peru

Enero -2005

Ejecutor: Br. Pazo Eche F. Javier

Ejecutor: Br. Hidalgo Mendoza R. Ellis

Patrocinador: Lic. Aguilar Ibañez Luis

Copatrocinador: Lic. Velesmoro León Ricardo