Los problemas expresados por las ecuaciones diferenciales aparecen unidos a condiciones iniciales (se conoce el valor de la función incógnita para un valor de la variable independiente, Problema de Cauchy) y / o en la frontera (se conoce el valor de la función incógnita para algunos valores de la variable espacial en el contorno del dominio donde se estudia el fenómeno en cuestión, Problema de Contorno).

Luego de ser definido el modelo diferencial. El problema que se presenta es determinar su solución, es decir, obtener la función que expresa el comportamiento cualitativo (cuantitativo). Los métodos para la solución de los modelos diferenciales pueden ser clasificados: Métodos Analíticos y Métodos Aproximados.

Los métodos analíticos son aquello que permiten obtener la solución expresada por una función en forma analítica (una fórmula), los mismos dependen de las características de la ecuación: orden, propiedades de linealidad, las propiedades de continuidad de los coeficientes (entiéndase en general funciones) que están presentes en ella y en las condiciones iniciales y / o en la frontera.

Si a lo anterior agregamos que estas ecuaciones aparecen frecuentemente como resultado de un proceso de modelación (idealización de un proceso real) y los coeficientes que intervienen en la ecuación y las condiciones son resultado de procesos de mediciones experimentales, podemos llegar a la conclusión de que enfrentar la solución por medio de los métodos analíticos será una tarea de un alto nivel de complejidad, o simplemente estos no pueden brindarnos la solución de toda la gama de problemas que aparecen expresados por los modelos diferenciales. Siendo necesario recurrir a los métodos aproximados (entiéndase métodos numéricos), los mismos sólo brindan una solución aproximada para un numero finito de puntos, no pudiéndose obtener una solución general, pero a pesar de estas desventajas, su utilización unido al uso de los recursos computacionales, han demostrado tener el alcance suficiente para dar una respuesta adecuada, que satisfaga las exigencias impuestas por el problema objeto de estudio.

Nuestro propósito es iniciarnos en el estudio de los Métodos Numéricos para la Solución de los Modelos Diferenciales con Condiciones de Frontera.

Sobre este tema puede encontrarse una variada literatura, alguna de las cuales son referenciadas. No pretendemos sustituirlas, sólo tratar de despejar un poco el camino a aquellos que comienzan a familiarizarse en la utilización de estos métodos.

Planteamiento general del problema de contorno

Dada la región (=G( P (figura 1),

donde, G es el interior de (, P la frontera de (.

Se desea determinar, dentro de cierta clase de funciones definidas en ( aquellas que sean solución de la ecuación diferencial,

(
(5)

y además satisfagan las condiciones de fronteras

, (
(6)

donde, L y son los operadores diferenciales, y(x) la función incógnita, ( (x) y ( (x) funciones continuas conocidas, en general x=(x1, x2,..., xn) ).

Ideas generales de los métodos numéricos para los problemas de contorno

Supongamos que en alguna clase de funciones el problema (5)-(6) esta correctamente planteado (existe la solución, es única y estable), entonces resolver (5)-(6), por medio de los métodos numéricos significa:

- Transformar la región continua ( en una región discreta (conjunto finito de puntos) sobre la que se calcularan los valores de la función incógnita y(x).

- Trasformar el modelo continuo (5)-(6) en un modelo discreto (sistema de ecuaciones algebraicas).

- Determinación de las soluciones del sistema de ecuaciones algebraico sobre la región discretizada.

- Verificar la convergencia de las soluciones obtenidas.

Entre los métodos numéricos más populares para determinar la solución aproximada de los problema de contorno se encuentran: Método de Diferencias Finitas (MDF) y Método de Elementos Finitos (MEF).

Generalidades del Método en Diferencias Finitas (MDF)

Retomemos el problema (5)-(6):

La región continua (=
se sustituye por un conjunto finito de puntos (nodos), los que definen una red (malla) (figura 2),

donde h es el paso con el cual se se discretiza ( .

Aproximemos las derivadas que aparecen en (5)-(6) por las diferencias finitas correspondientes al orden de las derivadas (puede entenderse como diferencias finitas, la derivada discreta, la razón sin paso al limite), es decir los operadores diferenciales se sustituyen por operadores en diferencias

Las funciones ( (x) y ( (x) se sustituyen por sus valores sobre la red obteniendo el siguiente esquema en diferencias,

(7)

Como resultado se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas, cuyas soluciones son lo valores de la función y(x) sobre la red.

Diremos que el esquema en diferencias (7) esta correctamente planteado, si para h suficientemente pequeño y (
es un espacio vectorial, sobre el cual están definidos los operadores en diferencias), se satisface,

(8)

M es una constante independiente de h.

La condición (8) garantiza la estabilidad del esquema en diferencia (dependencia continua de la soluciones respecto al miembro izquierdo de la ecuación y las condiciones iniciales y/o de fronteras).

• Generalidades del Método de Elementos Finitos (MEF).

En el MEF el proceso de discretización del problema de contorno inicial se realiza sobre la base de los Métodos Varacionales o de los Métodos de Proyección, conjuga lo mejor lo de estos.

Estos métodos han demostrado muy buena efectividad cuando los datos (coeficientes de la ecuación diferencial, condiciones iniciales y/o de frontera) no satisfacen las propiedades de suavidad, (entiendase la continuidad de las funciones y sus derivadas que intervienen como datos del problema) así como aquellos problemas en que la región a discretizar es muy compleja.

El algoritmo del MEF consta de las siguientes etapas:

Etapa 1: División de la región donde está definida la función continua en elementos finitos (separación de los elementos finitos).

Etapa 2: Determinación de las funciones de aproximación de los elementos finitos (encontrar la función del elemento finito).

Etapa 3: Formación del conjunto de elementos, o sea, la unión de las funciones de aproximación de los elementos en un modelo común de la función continua buscada.

Etapa 4: Determinación del vector de valores en los nodos de la función continua buscada. Esta es una de las etapa puede ejecutarse de dos maneras.

• 1. Minimización de una funcional escogida de acuerdo al significado físico del problema.(Métodos Variacionales)

Nota: Una funcional es una función definida sobre un espacio de funciones.

• 2. El método de Galerkin, que se basa en la minimización de los errores de la solución del problema con ayuda de un modelo aproximado.

Como resultado se debe obtener un sistema de ecuaciones resoluble con respecto al vector de valores desconocidos.

Nota: En lo adelante nuestra exposición estará dedicada a la presentación de la aplicación del MDF al caso unidimensional y bidimensional.

4.3 Discretización de (.

Todo intervalo [a;b], para todo a y b reales puede ser reducido al intervalo [0;1], mediante un sencillo cambio de variable:

Para toda x que pertece al intervalo [a;b] (
) se satisface,

.

El resultado anterior nos permite, sin perdida de generalidad, realizar todas nuestras construcciones para los valores sobre el intervalo [0;1].

Consideremos el caso unidimensional (= [0;1] ( Lo anterior significa que nuestra región es el intervalo [0;1], entonces,

Lo anterior podemos escribirlo de la siguiente forma,

Todo lo anterior no es más que: partiendo del valor inicial x0 = 0 y una constante h, generamos un conjunto de puntos hasta obtener el valor xn=1, donde, los xi para i=1,2,...n –1 son valores que pertenecen a Gh (valores distintos de cero y uno), x0 y xn los valores de Ph.

Para el caso bidimensional consideremos figura 3),

Figura 3

Si entonces h1 = h2 y ( es un cuadrado unitario.

4.4 Ejemplos de aplicación del MDF a las ED.

I.- Consideremos primeramente el problema de contorno unidimensional siguiente:

U""(x) +2U(x) =-x; para 0<1

U (0) = 0 (9)

U (1)=x

Definamos el paso h=0,2, entonces (h viene expresado por el conjunto,

Nuestro objetivo es determinar los valores de U(x) sobre (h.

Hagamos, U(xi+1)=Ui+1, U(xi)=Ui , U(xi-1)=Ui-1, en los nodos arbitrarios xi+1, xi, xi-1, de (h , para i=0, 1, 2, 3, 4, 5

Sustituyendo en la ecuación diferencial ordinaria del problema de contorno (9), la segunda derivada por la diferencias finitas de segundo orden en los nodos xi+1, xi, xi-1, para i=1, 2, 3, 4, se tiene,

Multiplicando toda la ecuación por h2, y ajustando las condiciones de fronteras obtenemos el esquema en diferencias,

(10)

Para i=1, 2, 3, 4, de la ecuación en diferencias de (10) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

-1,92U1 + U2 = -0,008

U1 - 1,92U 2 +U3 = -0,016 (11)

U2 - 1,92U3 + U4=-0,024

U3 - 1,92U4 =--1,032

El sistema (11) en forma matricial queda expresado como sigue,

(12)

Resolviendo el sistema con ayuda del MatLab y ajustando las condiciones de frontera obtenemos los valores de U(x) sobre (h.

Analicemos la estabilidad del esquema en diferencias mediante la condición (8).

M es una constante que no depende de h.

Calculamos,

II(h (x )II = II-xhII = I-1I IxhI = ( (0,2)2+ (0,4)2 + (0,6)2 + (0,8)2 )1/2 ( 1,09544

II(h (x)II = IIxhII = IxhI = ( 02+12 )1/2= 1

IIUh (x )II = = ( 02+ (0,3249)2+ (0,6159)2 + (0,8414)2+ (0,9757)2+12 )1/2 ( 1,77346

Sustituyendo en (8) obtenemos,

El esquema en diferencias es estable para todo valor M ( 0,85.

II.- Para el caso bidimensional resolvamos la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de 2do orden:

(14)

Para 0<1 y t>0,

Con la condición inicial: U(x, 0) =5X2

Y las condiciones de fronteras: U (0, t)=U (1, t)= 0

Y con un paso: h =
= 0,2

Por el método de la diferencia finita tenemos que:

La diferencia finita de segundo orden con respecto a x.

Diferencia finita de primer orden con respecto a t.

Sustituyendo en (14) las anteriores expresiones, obtenemos, .

(15)

Agrupando términos semejantes quedaría de la siguiente forma:

(16)

Como el paso h=0,2 y 0,2 , entonces (hviene expresado por el conjunto,

Nuestro objetivo es determinar los valores de U(x,t) sobre (h.

Hagamos, U (xi+1,tj )=Ui+1,j , U (xi,ti)=Ui, j U (xi-1,tj)=Ui-1, j , U (xi,tj-1)=Ui, j-1 en los nodos arbitrarios de (h , para i=0, 1, 2, 3, 4, 5 y j=0, 1, 2, 3, 4, 5

Calculando el número de particiones por la fórmula:

Siendo a =0 y b=1 entonces N=5

Para j=1 hasta N-1 sin incluir 0 y N ya que son las condiciones

Para i=1 hasta N-1 de fronteras dadas

Para i=1, j=1 y x=0,2 queda:

Siendo U0,1 la condición de frontera para x=0 y U1,0 la condición inicial .

Sustituyendo

En este paso la x=0,2 por ser el primer paso.

Para i=2, j=1 y x=0,4 queda:

Sustituyendo U2,0

Para i=3, j=1 y x=0,6 queda:

Sustituyendo U3,0

Para i=4, j=1 y x=0,8 queda:

Sustituyendo U4,0 y U5,1

Construyendo la matriz del sistema:

Sustituyendo los valores de h,
y x

Haciendo uso del MATLAB al igual que el ejercicio anterior, el resultado es

Para i=1, j=2, x=0,2 y t=0,4

Sustituyendo U0, 2 quedaría:

Para i=2 quedaría

Para i=3 quedaría

Para i=4

Y como x=0,8 entonces U5,2 cumple con la condición de frontera siendo igual 0 , quedando la ecuación :

Construyendo la matriz del sistema:

Sustituyendo los valores de h,
y x

Resultando:

Podrán percatarse que todos los sistemas que se forman para cada iteración de j es de la forma:

Utilizaremos en la matriz de términos independientes los valores que se obtienen en la iteración anterior. En el caso de j=1 esta matriz se forma a partir de las condiciones iniciales.

Entonces para j=3 , 0,6 quedaría:

Resultando:

Para j=4, 0,8 quedaría la matriz del sistema:

Resultando:

Bibliografía

• Amosov, A. A., Dubinskii,Y. A., Konpchenova N. V.: Métodos de calculo para la solución de problemas de ingeniería., Editorial MEI, 1991.

• Alvarez, M. Blanco.: Matemática Numérica. Editorial Félix Varela, 2004.

• Ames, W. F.: Numerical methods for partial differential equations. Academic Press, Nueva York, 1992.

• Axelson, O, Barker, V. A.: Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. Academic Press, Orlando, Fl, 1984

• Burden R. L., Faires J.D.: Análisis Numérico. Thomson Learning, 2002

• Bronshtein, I. K.Semediaev.: Manual de Matemática para Ingenieros y Estudiantes. Editorial Mir, 1981

• Zienkiewics, O. C., Morgan, K.: Finite elements and approximation. John Wiley and Sons, Nueva York, 1983.

 

 

 

 

Autor:

Dr.C. Antonio Manuel Otero Diéguez

amod62[arroba]facinf.uho.edu.cu

Graduado en la antigua URSS, en licenciatura en Física-Matemática.

Profesor:

Facultad de Informática, Departamento de Matemáticas Universidad De Holguín, Cuba.

Holguín 2008