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Matrices y determinantes




Partes: 1, 2

  1. Clases de matrices
  2. Operaciones con matrices
  3. Matrices invertibles

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

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La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

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Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

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CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

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Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz Identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices Triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

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Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices Diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

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son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la transpuesta de:

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En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = Monografias.comes la matriz n ð m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.


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