1. Matrices
2. Clases de matrices
3. Operaciones con matrices
4. Matrices invertibles

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz Identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices Triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices Diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la transpuesta de:

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = es la matriz n ð m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.