Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
Podemos observar que los elementos simétricos de
A son iguales, o que AT = A. Siendo así,
A es simétrica.
Para B los elementos simétricos son opuestos
entre sí, de este modo B es
antisimétrica.
A simple vista, C no es cuadrada; en
consecuencia, no es ni simétrica ni
antisimétrica.
Matrices Ortogonales
Se dice que una matriz real
A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa
que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e
invertible, con inversa A-1 = AT.
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:
Si A es ortogonal, entonces:
Matrices Normales
Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es,
si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica,
antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.
Ejemplo:
Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.
OPERACIONES CON
MATRICES
Suma y resta de matrices
Para poder sumar o
restar matrices, éstas deben tener el mismo número
de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3
ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto
es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se
suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar
en las matrices.
Ejemplo:
Para sumar o restar más de dos matrices se procede
igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices,
éstas tienen que ser cuadradas.
Ejemplo:
Producto de matrices
Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el
mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz
resultante del producto
quedará con el mismo número de filas de la primera
y con el mismo número de columnas de la segunda.
Es decir, si tenemos una matriz 2 ð 3 y la multiplicamos
por otra de orden 3 ð 5, la matriz resultante será de
orden 2 ð 5.
(2 ð 3) ð (3 ð 5) = (2 ð 5)
Se puede observar que el producto de matrices no cumple la
propiedad
conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la
segunda por la primera, no podríamos efectuar la
operación.
3 ð 5 por 2 ð 3,
Puesto que la primera matriz no tiene el mismo número
de columnas que filas la segunda.
Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son
matrices tales que el número de columnas de A
coincide con el número de filas de B; es decir,
A es una matriz m ð p y B una
matriz p ð n. Entonces el producto AB es la
matriz m ð n cuya entrada ij se obtiene
multiplicando la fila i de A por la columna
j de B.
Esto es,
Ejemplo:
1.
2.
Producto por un escalar
El producto de un escalar k por la matriz A,
escrito k·A o simplemente kA, es la
matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por
k:
Ejemplo:
Entonces:
División de matrices
La división de matrices se define como el producto del
numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es
decir, sean las matrices A y B tal que A/B
= AB-1:
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los
términos de la matriz quedarán divididos por ese
escalar.
Ejemplo:
MATRICES
INVERTIBLES
Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si
existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
Siendo I la matriz identidad.
Denominamos a la matriz B la inversa de A y la
denotamos por A-1.
Ejemplo:
Puesto que AB = BA = I, A y B son
invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.
Método de Gauss
Sea A = (ai j) una matriz cuadrada de orden
n. Para calcular la matriz inversa de A, que
denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes
pasos:
Paso1. Construir la matriz n ð 2n M =
(AI) esto
es, A está en la mitad izquierda de M y
la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila
de M, y debajo del primer término de la diagonal
principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros.
Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria
Paso 1.
Paso 2.
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se
coge como pivote el segundo término de la diagonal
principal.
Al llegar al último término de la diagonal, se
procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo
pivote. Se observa que al coger como pivote el último
término de la diagonal, la matriz A se transforma
en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la
matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este
momento hay que proceder a transformar, si es que no lo
está, la mitad izquierda en la matriz identidad,
dividiendo si fuera necesario las filas de M por un
escalar.
Autor:
Eddy Rubem Alcalde Rumiche
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