Teoría de colas (página 2)

– Un proceso de
servicios, que
es la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente

– Proceso de salida, que son de los siguientes dos
tipos:

a. Los elementos abandonan completamente el sistema
después de ser atendidos, lo que tiene como resultado un
sistema de colas de un paso. Por ejemplo los clientes de un
banco esperan
en una sola fila, son atendidos por uno de los tres cajeros y,
después que son atendidos abandonan el sistema.

b. Los productos, ya
que son procesados en una estación de trabajo, son
trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de
proceso, lo que tiene como resultado una red de colas. Por
ejemplo, los productos primero son procesados en la
estación de trabajo A y después son enviadas a la
estación de trabajo B o C. Los productos terminados en
ambas estaciones, B y C, luego son procesados en la
estación D, antes de abandonar el sistema.

Elementos que
Conforman la Teoría de Colas

Proceso Básico de Colas: Los clientes que
requieren un servicio se
generan en una fase de entrada. Estos clientes entran al sistema
y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un
miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante
alguna regla conocida como disciplina de
servicio. Luego, se lleva a cabo el servicio requerido por el
cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el
cliente sale del sistema de colas.

Fuente de Entrada o Población Potencial: Es un conjunto de
individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a
solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla
finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista,
sí permite (por extraño que parezca) resolver de
forma más sencilla muchas situaciones en las que, en
realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha
suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando,
aún siendo finita la población potencial, su
número de elementos es tan grande que el número de
individuos que ya están solicitando el citado servicio
prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la
población potencial genera nuevas peticiones de
servicio.

Cliente: Es todo individuo de
la población potencial que solicita servicio. Suponiendo
que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0 <
t1< t2<…, será importante conocer el patrón
de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera
clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los
tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos:
T{k} = tk – tk-1, fijando su
distribución de probabilidad.
Normalmente, cuando la población potencial es infinita se
supone que la distribución de probabilidad de
los Tk (que será la llamada distribución
de los tiempos entre llegadas) no depende del número de
clientes que estén en espera de completar su servicio,
mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita,
la distribución de los Tk variará
según el número de clientes en proceso de ser
atendidos.

Capacidad de la Cola: Es el máximo
número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes
de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o
infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los
cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la
mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es
finita, no es una gran restricción el suponerla infinita
si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a
la cola por haberse llegado a ese número límite en
la misma.

Disciplina de la Cola: Es el modo en el que los
clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas
más habituales son:

– La disciplina FIFO (first in first out),
también llamada FCFS (first come first served):
según la cual se atiende primero al cliente que antes haya
llegado.

– La disciplina LIFO (last in first out), también
conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste
en atender primero al cliente que ha llegado el
último.  

– La RSS (random selection of service), o SIRO (service
in random order), que selecciona a los clientes de forma
aleatoria.

Mecanismo de Servicio: Es el procedimiento por
el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para
determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el
número de servidores de
dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la
distribución de probabilidad del mismo) y la
distribución de probabilidad del tiempo que le
lleva a cada servidor dar un
servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza
para dar el servicio, se debe especificar la distribución
del tiempo de servicio para cada uno.

La Cola: Propiamente dicha, es el conjunto de
clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han
solicitado el servicio pero que aún no han pasado al
mecanismo de servicio.

El Sistema de la Cola: Es el conjunto formado por
la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la
cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente
de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos
elementos pueden verse más claramente en la siguiente
figura:

Un modelo de
sistema de colas debe especificar la distribución de
probabilidad de los tiempos de servicio para cada
servidor.

Distribución de los tiempos de
servicio y llegada en un sistema de cola

Aunque a veces se sabe exactamente cuándo se van
a producir las llegadas al sistema, en general el tiempo que
transcurre entre dos llegadas consecutivas se modela mediante una
variable aleatoria. En particular, cuando la fuente es infinita
se supone que las unidades que van llegando al sistema dan lugar
a un proceso estocástico llamado de conteo; si todos los
tiempos entre llegadas son variables
aleatorias independientes idénticamente distribuidas, se
dice que es un proceso de renovación. Usualmente, el
proceso que se utiliza es un proceso de Poisson.

Cuando la fuente es finita se suele asumir que la
probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de
tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese
instante.

Se llama capacidad del servicio al número de
clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la
capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el
sistema es monocanal) y si hay más de un servidor,
multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la
demanda de un
cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o
aleatorio.

Parámetros
de la teoría de cola

– ?n = Tasa media de llegadas de nuevos clientes
cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de
llegadas por unidad de tiempo).

– 1/? = Tiempo promedio entre
llegadas.

– µn = Tasa media de servicio de nuevos
clientes cuando hay n clientes en el sistema (número
promedio de clientes al cual puede dar servicio la
instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay
escasez de
clientes).

– 1/µ = Tiempo promedio
servicio.

– Lq = Número esperado de clientes en la
cola (excluye los clientes que están en
servicio).

– L = Número esperado de clientes que se
atienden y/o esperan en el sistema.

– Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola.

– W = Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando más el que emplea siendo atendido (tiempo
esperado en el sistema).

– Po = Probabilidad de encontrar el sistema
vacío u ocioso.

– Pn = Probabilidad de encontrar exactamente n
clientes en el sistema.

– ? = Fracción esperada de tiempo que los
servidores individuales están ocupados.

La
Distribución de Poisson

Esta distribución es muy frecuente en los
problemas
relacionados con la
investigación operativa, sobre todo en el área
de la gestión
de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a
un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la
llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos
casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta
que tiene valores
no-negativos enteros.

La
Distribución Exponencial

La distribución de Poisson describe las llegadas
por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia
el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son
de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La
distribución de Poisson es discreta, mientras que la
distribución exponencial es continua, porque el tiempo
entre llegadas no tiene por qué ser un número
entero.

Esta distribución se usa mucho para describir el
tiempo entre eventos,
específicamente, la variable aleatoria que representa el
tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo
típico puede ser el tiempo que un médico dedica a
un paciente.

Modelos de la
teoría de cola

– Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una
Unidad de Servicio.

Para este modelo se considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independientes del proceso de
llegada.

3.- Sólo hay una unidad de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en
operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos
de las condiciones iniciales.

para n =
0,1,2,3,–.

para n =
1,2,3, –..

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Factor de utilización:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

– Probabilidad de que el tiempo empleado
(T) exceda a un valor
particular t:

a) Incluyendo el tiempo de
servicio.

b) Excluyendo el tiempo de
servicio.

– Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una
Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independiente del proceso de
llegada.

3.- Hay varias unidades de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo
suficiente para eliminar los efectos de las condiciones
iniciales.

para n =
0,1,2,3,–.

S : número de unidades de servicio.

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Factor de utilización:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

– Probabilidad de que el tiempo empleado
(T) exceda a un valor particular t:

Incluyendo el tiempo de
servicio.

Cuando debe sustituirse por &µ t.

– Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una
Unidad de Servicio.

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independiente del proceso de
llegada.

3.- Hay una unidad de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo
suficiente para eliminar los efectos de las condiciones
iniciales.

6.- No se permite que el número de clientes
exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que
llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al
sistema y este cliente lo deja para siempre.

para n =
1,2,3,–.

M : número máximo de clientes en el
sistema.

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Factor de utilización:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperando en la cola y/o atendidos:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

– Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una
Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independiente del proceso de
llegada.

3.- Hay varias unidades de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo
suficiente para eliminar los efectos de las condiciones
iniciales.

6.- No se permite que el número de clientes
exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que
llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al
sistema y este cliente lo deja para siempre.

para n =
0,1,2,3,–.

M: número máximo de clientes en el
sistema.

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Factor de utilización:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperando en la cola y/o atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

– Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una
Unidad de Servicio.

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independiente del proceso de
llegada.

3.- Hay una unidad de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo
suficiente para eliminar los efectos de las condiciones
iniciales.

6.- No se permite que el número de clientes
exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que
llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al
sistema y este cliente lo deja para siempre.

para n =
1,2,3,–.

M: número máximo de clientes en el
sistema.

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

– Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una
Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente:

1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una
distribución de probabilidad de Poisson o de
Markov.

2.- Se supone que el tiempo de servicio es
también una variable aleatoria que sigue una
distribución exponencial o de Markov. Se supone
además que los tiempos de servicios son independientes
entre sí e independiente del proceso de
llegada.

3.- Hay varias unidades de servicio.

4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO
(primero en llegar primero en salir) y no hay un límite
para el tamaño de la cola.

5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con
el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo
suficiente para eliminar los efectos de las condiciones
iniciales.

6.- No se permite que el número de clientes
exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que
llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al
sistema y este cliente lo deja para siempre.

M: número máximo de clientes en el
sistema.

– Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el
sistema:

– Probabilidad de encontrar el sistema vacio:

– Número estimado de clientes que esperan ser
atendidos:

– Número estimado de clientes en el sistema, ya
sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:

– Tiempo estimado que emplea un cliente
esperando en la cola:

– Tiempo estimado que emplea un cliente en
el sistema:

EJERCICIOS:

El modelo simple de teoría de
colas que se ha definido, se basa en las siguientes
suposiciones: 

a) Un solo prestador del servicio y una sola
fase.

b) Distribución de llegadas de poisson donde ? =
tasa de promedio de llegadas.

c) Tiempo de servicio exponencial en donde ? = tasa de
promedio del servicio.

d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega
primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se
les da servicio  y existe la posibilidad de una longitud
infinita en la cola.

A partir de estas suposiciones se pueden derivar las
siguientes estadísticas de desempeño: 

? = ? / ?

P0 = 1- ? / ?

Pn = P0(? / ?)n

Lq 
=                   
? 2

                       
 ? ( ? – ? )

Ls = ?  / ( ? – ? )

 
           
Wq =        ?

                   
? ( ? – ? )

           
Ws =  1 / ( ? – ? ) 

Ejemplo:

           
Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una
velocidad
promedio de diez clientes por hora (? = 10). Además,
suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una
tasa promedio de 7 por hora (? = 7). Se considera que las
llegadas siguen la distribución exponencial. En la
condición uniforme el sistema de colas tendrá las
siguientes características de
desempeño. 

? = 7 / 10, el prestador del servicio trabajara el 70%
del tiempo. 

P0  = 1- 7 / 10 = 0.3; 30% del tiempo no
habrá clientes en el sistema (ni en la cola,
ni recibiendo
servicio).           

Pn =  0.3 (7 / 10)n, una fórmula para
descubrir la posibilidad de que n se encuentre en el
sistema en cualquier momento dado: n = 1, 2, 3,…….;
P1 = 0.21, P2 = 0.147; P3 = 0.1029; etc.

Lq  =    72
     = 1.63; en promedio  1.63
clientes estarán en la cola.

           
        10 (10 – 7)

Ls = 7  / (10 – 7)  =  2.33; en promedio
2.33 clientes estarán en el sistema (en la cola  y en
servicio).

           
Wq =  7   =  0.233; el cliente pasa un
promedio de 0.233 horas esperando en la   10 (10 –
7)   cola.

           
Ws =  1 / (10 – 7) =  0.333; el cliente pasa un
promedio de 0.333 horas en el sistema (en la cola en
servicio). 

           
Si los clientes se alejan del cajero siempre que existan 3 o
más clientes antes que ellos en el sistema, la
proporción de clientes perdida es: 

1- (P0 – P1 – P2 –  P3).

           
= 1- (0.3 – 0.21 – 0.147 – 0.1029) = 
0.2401 

           
En este caso se perderá el 24% de los clientes debido a
que la espera es demasiado
larga.     

Ahora es posible evaluar el desempeño del sistema
de colas. El administrador
tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido
del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el
cliente ( 0.233 horas )  y la longitud de la línea
que se forma  ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es
inaceptable se puede colocar un segundo prestador del servicio o
hacer otros cambios en las características de las
llegadas, de la cola o del portador de los servicios.
 

Ejemplo:

Frente a una ventanilla del Banco Estatal se presentan
560 personas diarias (jornada de 8 horas); el cajero puede dar
servicio a 100 personas como promedio por hora. Con la hipótesis de llegadas Poissonianas y
servicios exponenciales, encontrar el factor promedio de
utilización del sistema, el tiempo ocioso promedio en el
sistema, la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el
número promedio de personas en el sistema, la cantidad
promedio de clientes en la cola, el tiempo promedio que permanece
una persona en el
sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempo
promedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4
personas.

Ws = W – Wq ; Ws = 2 min – 1,4 min; Ws = 0,6
min En promedio el tiempo que tarda un servicio corresponde a ,6
minutos.

Ejemplo:

En una empresa la
reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el
mercado se
realiza en 5 operaciones
básicas que se efectúan de una manera secuencial;
si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos
tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos.
Estas máquinas
se descomponen según una distribución Poisson con
una razón media de 2 máquinas / hora y en la
fábrica solo hay un mecánico que las repara.
Calcular las características de operación de
la
empresa.

Ws = W – Wq; Ws = 1.66 – 1.249; Ws = 0.411
hor = 25 min En promedio el tiempo de un servicio es de 25
minutos

Conclusión

El origen de la Teoría
de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang
(Dinamarca, 1878 – 1929) en 1909 para analizar la
congestión de tráfico telefónico con el
objetivo de
cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema
telefónico de Copenhague. Sus investigaciones
acabaron en una nueva teoría denominada teoría de
colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora
una herramienta de valor en negocios
debido a que un gran número de problemas pueden
caracterizarse, como problemas de congestión
llegada-salida.

La teoría de las colas es el estudio
matemático de las colas o líneas de espera. La
formación de colas es, por supuesto, un fenómeno
común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un
servicio excede a la oferta
efectiva.  

Los sistemas de colas
son muy comunes en la sociedad. La
adecuación de estos sistemas puede tener un efecto
importante sobre la calidad de
vida y la productividad.

Para estudiar estos sistemas, la teoría de colas
formula modelos
matemáticos que representan su
operación y después usa estos modelos para obtener
medidas de desempeño. Este análisis proporciona información vital para diseñar de
manera efectiva sistemas de colas que logren un balance apropiado
entre el costo de
proporcionar el servicio y el costo asociado con la espera por
ese servicio.

Bibliografía

– http://www.wikilearning.com/monografia/la_teoria
_teoria_de_colas/15124-2

–
http://www.mitecnologico.com/TeoriaDeColasProceso_ModelosPoisson

–
http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/estadistica/analisis/teoriacolas.html

–
http://www.utpl.edu.ec/blog/simulacionsistemas/category/teorias/

–
http://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeEsperaIntroduccion

– Prof. Julia Marcano de R. Guía Electiva II.
Teoría de Cola.

Autor:

María Belda