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Elementos y tipos de razonamiento (página 2)

Enviado por Luis Seijas



Partes: 1, 2, 3


Hay diferentes tipos de razonamientos, tales como: deductivo, inductivo y analógico (por analogía). Aunque este último se considera como un caso particular del individuo.

Razonamiento Deductivo

Según Napolitano Antonio es un razonamiento cuya conclusión es de consecuencia necesaria; es decir, dadas unas determinadas premisas, se dice necesariamente una conclusión.

Según Contreras Bernardo un razonamiento es deductivo, cuando en él se exige que la conclusión se derive necesariamente, forzosamente de las premisas. Por ello, se le considera rigurosamente.

Tradicionalmente, se distinguía el argumento deductivo como el paso de la observación universal, más aún, de la observación general a la observación particular, específicamente a la observación individual, es decir, de la ley al hecho; o también es el paso de un grado mayor de generalización a un grado de generalización menor expresado en la conclusión. La forma de un razonamiento deductivo es todo S es P. Por lo tanto, alguna S es P, es decir, de una proposición universal, se infiere una proposición particular.

La conclusión en un razonamiento deductivo se obtiene de las premisas dadas, es decir, no necesita recurrir de manera directa a la práctica o a la experiencia. Por esta razón, se expresa que la conclusión en este tipo de argumento se da una seguridad matemática.

Ejemplos:

3.

  • Todas las frutas cítricas contienen vitamina C.

  • La piña es una fruta cítrica;

Por tanto la piña contiene vitamina C.

Para sacar la conclusión de esta proposición por deducción no es necesario ir a un libro de biología, ya que la conclusión deriva de las premisas; la conclusión es necesariamente inferida de las premisas.

4.

  • Toda figura de cuatro lados es un cuadrilátero.

  • El rectángulo es figura de cuatro lados.

Por tanto, el rectángulo es cuadrilátero.

5.

  • Ningún número racional es número irracional.

Por tanto ningún número irracional es número racional.

Razonamiento Inductivo

Según Napolitano Antonio es un razonamiento inductivo es aquel de conclusión probable. Es decir, dadas las determinadas premisas, la conclusión que de ellas infiere es únicamente probable.

Ejemplo:

6.

  • El 99% de los venezolanos son católicos,

  • Pedro es venezolano,

Es probable que Pedro sea católico.

El hecho de que el 90% de los venezolanos sean católicos es verdad, y Pedro que es venezolano es también verdad, no se sigue que necesariamente Pedro tiene que ser católico: puede ser que esté dentro de ese 10% que no lo es. Luego la conclusión puede ser únicamente probable y nunca necesaria. Por probabilidad estadística, es más probable que Pedro esté dentro del 90% que dentro del 10%.

7.

  • Antonio salió un día lluvioso y le dio gripe.

  • Julio salió un día lluvioso y le dio gripe.

  • Francisco salió un día lluvioso y le dio gripe.

  • Carlos salió un día lluvioso y le dio gripe.

  • Juan salió un día lluvioso y le dio gripe.

Luego...es probable que si yo salgo en un día lluvioso me dará gripe.

Este razonamiento se fundamenta en el hecho de que, si varios acontecimientos en una misma situación, han tenido la misma consecuencia, hace probable que a otro cualquiera, en las mismas condiciones, le ocurra lo mismo, es por ello que se sigue que necesariamente yo salgo en u día lluvioso me dará gripe. Esta clase de razonamiento es comúnmente usado en la ciencia contemporánea, en cuanto permite pasar de conocimientos particulares a conocimientos universales.

Según Contreras Bernardo un razonamiento es inductivo cuando la conclusión no se desprende necesariamente de las premisas, de modo que supuesta la verdad de las premisas no existe una seguridad matemática de la verdad de la conclusión, sino que ésta es probable, es posible.

Tradicionalmente, se precisaba que el argumento inductivo como el paso de las observaciones particulares, más aún de las observaciones individuales a la observación universal, específicamente a la observación general, es decir, de lo concreto a lo abstracto, del hecho a la ley que lo rige.

En el raciocinio inductivo, el punto de partida se refiere a hechos de experiencia, a objetos sensibles, reales para llegar a objetos de la inteligencia, o sea, se parte de datos individuales suficientemente enumerados para llegar a inferir una verdad universal.

La conclusión de este tipo de razonamiento es una generalización obtenida de la observación directa de algunos casos particulares. Las generalizaciones a que se llega mediante este raciocinio no presentan necesidad lógica, esto es, la verdad de la conclusión no se obtiene forzosamente de las premisas, por ello se dice que la conclusión de este argumento solo es probable, y por lo tanto, este razonamiento es probabilístico. En las conclusiones de un raciocinio inductivo hay grados de probabilidad, es decir, hay conclusiones que son más probables que otras. En efecto, a mayor grado de probabilidad de casos observados, mayor será el grado de probabilidad para que la conclusión sea verdadera.

Otro ejemplo (8):

  • El cuerpo A cae en el vacío con la velocidad V.

  • El cuerpo B cae en el vacío con la velocidad V

  • El cuerpo C cae en el vacío con la velocidad V

  • El cuerpo D cae en el vacío con la velocidad V

Luego, todos los cuerpos caen al vacío con la misma velocidad.

Tipos de razonamiento inductivo:

Razonamiento Inductivo Completo (o Perfecto): Un raciocinio inductivo es completo cuando en las premisas se incluyen todos los casos particulares, específicamente todos los casos individuales de la generalización correspondiente.

Ejemplo 9:

Ana tiene cinco hijos: Pedro, Pablo, Paula, Patricia y Patricio

  • Pedro es universitario.

  • Pablo es universitario.

  • Paula es universitario.

  • Patricia es universitario.

  • Patricio es universitario

Por lo tanto, todos los hijos de Ana son universitarios.

Razonamiento Inductivo incompleto (o Imperfecto): Un argumento inductivo es incompleto cuando en las premisas sólo se incluyen algunos de los casos particulares, más aún, casos individuales de la generalización correspondiente.

Ejemplos:

10.

  • El oxígeno se dilata con el calor

  • El hidrógeno se dilata con el calor.

  • El nitrógeno se dilata con el calor.

Luego, todos los gases se dilatan con el calor.

11.

  • El hierro se dilata con el calor

  • El plomo se dilata con el calor.

  • El cobre se dilata con el calor.

Luego, todos los metales se dilatan con el calor

Razonamiento Analógico

Es cuando presenta las siguientes características sobre la base del conocimiento que de dos o más objetos son semejantes con respecto a una serie de cualidades que uno o más de ellos posee, además alguna otra propiedad o atributo se afirma en la conclusión que el o los objetos restantes también poseen esa nueva propiedad.

Tradicionalmente se señalaba el raciocinio por analogía como el paso de una observación a otra observación particular.

El argumento analógico es el fundamental de la mayoría de los raciocinios ordinarios en los que, a partir de experiencias, se trata de decir lo que puede reservar el futuro. No pretende ser matemáticamente seguro, sino probable. Por ello se dice que es una forma de razonamiento inductivo.

Ejemplos.

  • 12. José hace tres meses compró un libro del autor A, y le resultó bastante bueno en cuanto a contenido. Hoy, José comprará un libro del mismo autor, porque es posible que también sea bueno en contenido.

  • 13. Antonio compró cuatro pares de medias de la misma marca. Ha usado tres pares de ellos, todos han dado mal resultado. Es probable que el cuarto par dé mal resultado.

Razonamientos válidos y razonamientos no válidos

Contreras Bernardo dice que se hace necesario la observación para no caer en ambigüedades: se dice que los razonamientos pueden ser: ó válidos (correctos) o no válidos (inválidos, incorrectos, no correctos); mientras las proposiciones pueden ser: o verdaderos o falsas.

Un razonamiento es válido cuando su forma lógica es válida, independientemente del contenido informativo de las premisas y de la conclusión. Una forma lógica es válida cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas.

Resumiendo, se puede decir que la validez de un argumento depende únicamente de su forma lógica: ya que hay razonamientos válidos que tienen conclusiones falsas y razonamientos no correctos que tienen conclusiones verdaderas. Lo mismo se puede afirmar de las premisas. En general, se puede afirmar que la validez de un argumento es independientemente de la verdad o falsedad tanto de las premisas como de la conclusión.

Ejemplo 14:

  • Todos los hombres son venezolanos.

  • Todos los venezolanos son honestos;

Luego, todos los hombres son honestos.

Este razonamiento es válido porque su forma lógica es válida, aunque tanto las premisas como la conclusión son falsas.

Arnaz José dice: que la validez de un razonamiento consiste en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que partimos, sea falsa la conclusión a la que llegamos; es decir, un argumento es no válido sí: siendo verdaderas las premisas, es falsa la conclusión, y en todos los demás casos es válida el razonamiento, o sea, cuando tanto las premisas como la conclusión son verdaderas, cuando las premisas son falsas y la conclusión verdadera y cuando tanto las premisas como la conclusión son falsas.

Resumiendo:

Monografias.com

Luego se dice que todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional cuyo antecedente son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión.

Monografias.com

Otros Ejemplos:

15.

  • Si Venus es una planeta, entonces Venus brilla con luz refleja.

  • Venus es un planeta

Luego...

  • Venus brilla con luz refleja.

Que se simboliza así:

Monografias.com

Lo que se indica en este argumento es que si se tienen las premisas (P) de las dos primeras líneas, entonces puede obtenerse la conclusión (C) de la última línea ( o que si las premisas son verdaderas, también lo es la conclusión).

16.

  • Todo pájaro tiene alas.

  • Ningún pájaro es gato.

Por tanto, ningún gato tiene alas.

Este razonamiento es no válido, aunque tiene premisas verdaderas y conclusión verdadera.

17.

Luego, ningún caballo tiene sangre.

Este razonamiento es inválido, ya que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa.

Falacias

Es un error en el razonamiento, o con mayor precisión, un fallo cometido en el proceso que arranca desde las premisas de un argumento a su conclusión. Como consecuencia de esta falacia, las premisas dejan de justificar la conclusión.

Cabe señalar en lógica una distinción entre falacias formales e informales. Una falacia formal es aquella en que el argumento viola una norma del sistema lógico del que el argumento es parte. Las falacias formales pueden producirse por distintos motivos. En argumentos donde la primera premisa es una proposición hipotética puede darse la falacia de afirmar el consecuente. Por ejemplo, puede decirse que si una persona es astronauta es que esa persona está entonces muy bien entrenada. No obstante, si se dijera que porque Fernando entrena muy a conciencia ha de seguirse de ello que es un astronauta, entonces se incurriría en la falacia de afirmar el argumento consecuente.

En aquellos juicios en los que la primera premisa es una disyuntiva (del tipo o esto o aquello), se puede cometer la falacia de afirmar la disyunción. Por ejemplo, supongamos que se dice que o bien Carla o bien Berta acudirán a la cita. Carla irá (con lo que afirmamos una de las partes de la disyunción de la premisa inicial). Por tanto, Berta no irá. (Si se procediera de este modo y para que fuera válido el argumento, la premisa mayor debería haber dicho: "o una o la otra; pero no ambas", eliminando así la ambigüedad de la proposición disyuntiva al sustituirla con otra proposición más contundente que denominamos disyunción exclusiva.

La lógica tradicional aristotélica se centra en los razonamientos silogísticos. Son éstos una forma de argumentos deductivos que constan de una premisa mayor, otra premisa menor y una conclusión. Un ejemplo de silogismo es el siguiente: todas las virtudes son dignas de elogio; la generosidad es una virtud, luego la generosidad es digna de elogio. Son varias las reglas que rigen las inferencias del silogismo correcto; si se viola se comete una falacia formal.

Las falacias informales no son en la práctica errores en la estructura formal de un argumento. Con todo, se basan o bien en un fallo evidente que resulta relevante en la conclusión o bien en alguna ambigüedad lingüística. Entre las falacias informales cabe mencionar las que defienden la validez de una conclusión apelando a la fuerza, a la piedad, a la autoridad o a las creencias populares. Inquirir por lo que se pregunta o asumir en las premisas lo que ha de ser demostrado es también una de las falacias informales que deben destacarse. Las falacias de ambigüedad incluyen conclusiones erróneas basadas en un uso equívoco del lenguaje. Considérese el siguiente argumento: todas las leyes son el resultado de una actividad legislativa; Newton descubrió algunas leyes; por tanto, Newton descubrió algunos resultados de la actividad legislativa. Esta conclusión errónea está basada en el uso equívoco de la palabra ley que aparece en las dos premisas.

Smith Karl divide las falacias en otros tipos en donde no incorpora los términos formales e informales sino que dice que existen la falacia de afirmación del consecuente, la falacia negación del antecedente y el esquema de cadena falso.

Falacia de Afirmación del Consecuente

Ejemplo: Analizar la validez de los argumentos siguiente:

18.

  • Si una persona lee periódico Times, entonces está bien informada.

  • Esta persona está bien informada.

Por lo tanto esta persona lee el Times.

Forma simbólica:

  • p ( q

  • q

  • p

Considerando la tabla de la verdad asociada, se puede analizar la validez del argumento:

p

q

{[(p ( q) ( q] ( p}

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Como puede observarse el resultado no siempre es verdadero; así que el argumento es no válido (o bien, no es válido): si p ( q se reemplaza por q ( p, el argumento del ejemplo anterior sería válido. Esto es, el argumento sería válido si la proposición directa y la recíproca tuvieran iguales valores de verdad, lo cual no sucede en general. Por esta razón el argumento se llama a veces falacia de la recíproca. A menudo se puede demostrar que un argumento dado es no válido hallando un contraejemplo. En el ejemplo anterior se obtuvo o se encontró un contraejemplo examinando la tabla de verdad. El valor presente en el tercer renglón es falso, así que puede demostrarse que el argumento es falso en el caso en el que p sea falsa y q verdadera. En términos de éste ejemplo, podría ser que una persona nunca leyera el periódico times (p falsa) y todavía estar bien informada leyendo el periódico Tribune (q verdadera).

19.

  • Si una persona es drogadicta, entonces fuma marihuana.

  • Esta persona fuma marihuana.

Por lo tanto esta persona es drogadicta.

Puesto que este argumento es de la misma forma que el primer ejemplo, vemos que corresponde a un caso de razonamiento no válido.

Falacia de Negación del Antecedente

Se considerará el siguiente ejemplo (20):

  • Si una persona lee periódico Times, entonces está bien informada.

  • Esta persona no lee Times.

Por lo tanto ésta persona no está bien informada.

Como hemos visto, una persona que lea el Tribune podría estar bien informada también. Esta línea de razonamiento se llama falacia de negación del antecedente (a veces denominada también falacia de la inversa). La tabla de la verdad de {[(p ( q) ( ?((p)] (((q)} muestra que la falacia de negación del antecedente no es válida.

p

q

[(p ( q) ( ( ( p)] ( ( ( q)

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Ejemplo 21:

  • Si una persona va a la universidad, llagará a ganar mucho dinero.

  • Tu no vas a la universidad.

Por lo tanto, tu no llegarás a ganar mucho dinero.

Su forma simbólica es la siguiente:

  • p ( q

  • ( p

  • ( q

Esquema de Cadena Falso

Ejemplo 22:

En ciertas regiones, se tiene la creencia de que las tormentas ocasionan que la leche se agrie o se corte. Tal creencia es un ejemplo de la falacia que llamada esquema de cadena falso. Se puede ilustrar como sigue:

  • El clima cálido y húmedo favorece las tormentas.

  • El clima cálido y húmedo favorece el crecimiento de las bacterias, lo que ocasiona que la leche se agrie o corte.

Por lo tanto las tormentas ocasionan que la leche se corte.

El esquema de cadena falsa se ilustra mediante:

  • p ( q

  • p ( r

  • q ( r

p

q

r

{[(p ( q) ( (p ( r)] ( (q ( r)}

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RESUMIENDO los tres Tipos De Falacias se dice que:

Falacia de Afirmación del consecuente

Falacia de Negación del antecedente

Esquema de Cadena Falso

p ( q

p ( q

p ( q

q

( p

p ( r

  • p

( ( q

  • q ( r

Paradojas

En el campo de la lógica y en el de las matemáticas, designa una conclusión contradictoria en apariencia que se deriva de lo que se plantea como premisas válidas. Las paradojas se conocen desde la época del filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C. Muchas paradojas, tras ser sometidas a examen, resultan estar basadas sobre premisas o argumentos falsos, o sobre presuposiciones incompletas que subyacen en los sistemas lógicos o matemáticos implicados. Otras paradojas, de cualquier modo, han sido más difíciles de resolver y su estudio ha contribuido a la evolución de las matemáticas modernas.

Las paradojas semánticas dependen de la estructura del lenguaje, y asimismo la paradoja se utiliza a menudo como un recurso retórico en epigramas, poesía y otras formas de la escritura literaria.

Etimológicamente paradoja significa contrario a la opinión, esto es contrario a la opinión recibida y común. A veces s usa paradoja como equivalente a antinomia que son las que engendran contradicciones, no obstante haberse usado para defender las formas de razonamiento aceptadas como válidas.

Paradojas Lógicas: entre la más conocida está la de Bertrand Russell llamada:

Paradojas de las clases: según ellas, la clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas, pertenece a sí misma si y solo sí no pertenece a sí misma.

Paradoja de las propiedades: según ellas, la propiedad de ser impredicable (o propiedad que no se aplica a sí misma) es predicable (o se aplica a sí misma) si y solo sí no es predicable.

Paradojas de las relaciones: según ellas, las relaciones de todas las relaciones relaciona a todas las relaciones si y solo sí la relación de todas las relaciones no relaciona a todas las relaciones.

Paradojas Semánticas: se mencionarán dos de las más conocidas:

El cretense: según ella, epiménides afirma que todos los cretenses mienten. Pero epiménides es cretense. Por lo tanto epiménides miente si y solo sí dice la verdad, y dice la verdad si y solo sí miente. Esta paradoja suele simplificarse mediante la postulación de que alguien diga miento.

La paradoja de P.E.B. Jourdain: según ella se presenta una tarjeta en uno de cuyos lados figura el enunciado al dorso de esta tarjeta hay un enunciado verdadero. Al dar vuelta a la tarjeta se encuentra al dorso de esta tarjeta hay un enunciado falso. Si llamamos respectivamente I y II a dichos enunciados se verá que I es verdadero, II debe ser verdadero y por ende, I debe ser falso, y que si I es falso, II debe ser falso y por ende, I debe ser verdadero.

Forma lógica válida de un razonamiento

Todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y cuyo consecuente en la conclusión, es decir, (P1 ( P2 ( P3 ( P4 . . . Pn) C.

En Realidad, este autor (Contreras Bernardo), solo analiza la validez de los razonamientos deductivos, caracterizados porque la conclusión se obtiene forzosamente necesaria de las premisas.

Para ello debe recordarse la tabla dada anteriormente donde se dan las posibilidades de que un razonamiento sea válido o inválido conjuntamente con la tabla de verdad de una proposición condicional.

Los argumentos permiten ampliar el conocimiento de la realidad, pues se pueden obtener nuevas proposiciones a partir de las que ya se han aceptado como verdaderas. Precisamente en esto consiste la validez de un razonamiento: en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que se parte, sea falsa la conclusión a la que se llega, es decir, el raciocinio es no válido (como se dijo anteriormente) sí: siendo verdaderas las premisas, es falsa la conclusión.

Para la demostración de la validez o no validez de un razonamiento se puede aplicar el método de las tablas de verdad siempre y cuando el número de premisas sea pequeño.

Un argumento lo podemos representar utilizando los símbolos que se emplean para representar las proposiciones compuestas.

Ejemplo 2: Si el mercurio es un metal, entonces el mercurio es buen conductor de la electricidad. El mercurio es un metal. Por lo tanto, El mercurio es un buen conductor de la electricidad.

Forma lógica

Monografias.com

Prueba de la validez de un razonamiento aplicando las tablas de verdad

Aunque los argumentos están constituidos por proposiciones, no son verdaderos o falsos, sino correcta o incorrectamente construidos, válidos o no válidos. En realidad, la mayoría de los autores se ocupa de analizar la validez de los argumentos deductivos, caracterizados porque en ellas la conclusión se obtiene necesariamente de las premisas.

En un razonamiento se tiene la posibilidad de obtener una proposición nueva (la conclusión), a partir de proposiciones previamente establecidas (las premisas). Los argumentos nos permiten así ampliar los conocimientos de la realidad, pues, se puede obtener nuevas proposiciones verdaderas o a partir de las que ya se han aceptado como verdaderas.

Para demostrar la validez de un razonamiento aplicando la tabla de verdad es necesario utilizar o dar uso nuevamente a las tablas dadas anteriormente donde explica las posibilidades que existen para que un argumento sea válido o no válido (tabla de la Validez o no Validez de un Razonamiento), también para ello es necesario conocer y dar uso a la tabla de verdad del condicional, es necesario resaltar nuevamente que ambas tablas guardan íntima relación. Se tiene que recordar que todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional cuyo antecedente es la unión de las premisas por medio de conjunciones (Pa ( Pb ( .... Pn) y cuyo consecuente es la conclusión.

Después de haber unido las premisas con la conclusión en una proposición condicional se procederá a hacer una tabla de verdad que muestre si algún caso en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si ello no ocurre, entonces el razonamiento es válido, en general, todo razonamiento o argumento es válido si al ser transformado es una proposición condicional, ésta resulta ser una tautología.

Aunque el procedimiento es eficaz, resulta lento, sobre todo cuando en el argumento hay más de dos premisas con varias proposiciones simples componentes, existen otros métodos que resultan un poco más rápidos como por ejemplo cuando se utilizan las tablas parciales de verdad.

Continuación del Ejemplo 15: [(r ( s) ( r ]( s

r

s

[(r ( s) ( r ] ( s

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( El razonamiento es válido

Ejemplo 23:

  • Si en la luna hay vida, entonces en la luna hay agua. (r ( s)

  • No ocurre que en la luna hay vida. ( ( r)

Luego...no es cierto que en la luna hay agua. ( ( s)

r

s

[(r ( s) ( r ] ( ( s

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( El razonamiento es no válido ya que dio como resultado una contingencia.

Leyes de equivalencia

Las leyes de equivalencia se utilizan también en la forma lógica válida de un razonamiento. En realidad, estas leyes son las propiedades de cada uno de los conectivos lógicos. Una proposición se puede sustituir por su equivalente, ya que tienen el mismo valor.

Una proposición compuesta es una equivalencia cuando su conectivo principal es la bicondicional y a la vez es tautología. Su notación es:

Ejemplo 24:

( p ( q) ( (p ( (?q), porque (p ( q)(( ( (p ( ( q), es una tautología y el conectivo principal es la bicondicional.

Para hacer la demostración por tablas de verdad, resulta que la tabla de verdad de la proposición que está a la izquierda del conectivo (( ha de ser igual a la tautología de verdad de la proposición que está a la derecha del conectivo antes mencionado.

A continuación se presentarán algunas leyes de equivalencia con su respectiva tabla de verdad para demostrar la validez de cada una de ellas.

  • 1. Leyes de Conmutatividad (L. C.)

En una proposición de conjunción, disyunción inclusiva o bicondicional, resulta lo mismo colocar la primera premisa y la segunda luego, o viceversa, es decir, el orden de las premisas no altera el resultado.

  • a. (p (q) ( (q ( p)

p

q

(p ( q) (( (q ( p)

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  • b. (p (q) ( (q ( p)

p

q

(p ( q) (( (q ( p)

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  • c. (p (( q) ( (q (( p)

p

q

(p (( q) (( (q (( p)

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  • 2.  Leyes de Asociatividad (L. A.)

En una proposición bicondicional, de conjunción o disyunción inclusiva, se obtiene el mismo resultado al unir las dos primeras premisas y ese resultado unirlo por la tercera, que si la primera premisa la unimos con el resultado de la unión de la segunda y tercera premisa.

  • a. [p ( (q ( r)] ( [(p ( q) ( r]

p

q

r

[p ( (q ( r)] (( [(p ( q) ( r]

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  • b. [p ( (q ( r)] ( [(p ( q) ( r]

p

q

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[p ( (q ( r)] (( [(p ( q) ( r]

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  • c. [p (( (q (( r) ( [(p (( q ) (( r]

p

q

r

[p (( (q (( r)] (( [(p (( q) ((r]

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0

  • 3. Leyes de Distributividad (L. D.)

  • a. [p ((q ( r)] ( [(p ( q) ( (p ( r)]

p

q

r

[p ( (q ( r)] (([(p ( q) ( (p ( r)]

1

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  • b. [p ((q ( r)] ( [(p ( q) ( (p ( r)]

p

q

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[p ( (q ( r)] (([(p ( q) ( (p ( r)]

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