Partes: 1, 2

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

y es igual al seno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

y es igual al coseno de x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

y es igual al tangente de x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron . La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Notese que el punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.

Por semejanza de triángulos:

Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:

tenemos:

La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.

Primer cuadrante

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo

Para tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá.

Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.

La tangente toma valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno 0.

Segundo cuadrante

Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento el coseno aumenta según el segmento pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.

La tangente conserva la relación:

incluyendo el signo de estos valores.

Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:

Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:

hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:

como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos

tan (p/2) = tan (90°) = +8

tan (-p/2) = tan (-90°) = -8

tan (0) = 0

tan (p/4) = tan (45°) = 1

tan (p/3) = tan 60°=

tan (p/6) = tan 30° =

Una identidad de importancia con la tangente es:

Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

Siendo también puede representarse como j).

 

 

 

 

 

 

 

Autor:

José Miguel Figueroa de Cascajal