Agregar a favoritos      Ayuda      Português      Ingles     
 Página anterior Volver al principio del trabajoPágina siguiente 

Antiderivadas (página 2)

Enviado por Camila Silva A.



Partes: 1, 2


Las propiedades de integrales indefinidas de una función se basan en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivada.

La Integral indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:

Monografias.com

 

* f y g son dos funciones definidas en un conjunto R de números reales

* Monografias.comAntiderivada.

* k es un número real.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Absolutos y relativos)

Monografias.com

 

 En la gráfica se pueden observar una serie de puntos donde el ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

También se puede definir de la siguiente manera:

Sea a un punto del dominio de definición de f, diremos que en a se alcanza:

a) Un máximo relativo si Monografias.comb) Un máximo absoluto si Monografias.comc) Un mínimo relativo si Monografias.comd) Un mínimo absoluto si

Monografias.com

 

Monografias.com

TRAZADOS DE CURVAS

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Criterio de la primera derivada:

Se procede de la siguiente forma:

. Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante.

. Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

. Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Criterio de la segunda derivada:

Este procedimiento consiste en:

. calcular la primera y segunda derivadas

. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

. sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

. sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Función Creciente.

MONOTONÍA

* Función Creciente.

Si la función f(x) derivable en (a, b), entonces: f(x) creciente en Monografias.com

Monografias.com

* Función Decreciente

Si la función f(x) derivable en [a, b], entonces: f(x) es decreciente en Monografias.com

Nota: La desigualdad estricta se cumple cuando f(x) es estrictamente creciente o decreciente.

CONCAVIDAD

Determinar el sentido de la curvatura de una función, para ello definamos los siguientes conceptos:

Monografias.com

 

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si Monografias.comes la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia arriba en el punto a si

Monografias.com

  Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos de ese intervalo.

Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir, si Monografias.comes la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene que f es cóncava hacia abajo en el punto a si Monografias.com

Monografias.com

Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo si es cóncava hacia abajo en todos los puntos de ese intervalo.  

 Monografias.com

VALORES EXTREMOS

* Máximo-Mínimo

Una función f(x) tiene un máximo (mínimo) absoluto en el punto x0, si y sólo si

Monografias.com

en tal caso f(x0) se llama máximo (mínimo) absoluto de f.

* Máximo-Mínimo Relativos.

Diremos que f(x) tiene un máximo o mínimo relativo en x0 si f(x) tiene un máx. (min.) Absoluto en x0, en algún entorno de x0.

* Necesidad para la Existencia de Valores Extremos.

Sea f definida en [a, b] y sea f derivable en [a, b], excepto tal vez en un numero finito de puntos de [a, b]. Entonces si f(x) es un máximo relativo, x debe satisfacer una de las siguientes condiciones:

1. f'(x) = 0

2. f'(x) no existe en x

3. x es un punto extremo de [a, b]

Esta afirmación no dice que puntos dan extremos relativos, pero si da todos los candidatos a extremos relativos.

* Suficiencia para la Existencia de Valores Extremos.

A. Criterio de la primera derivada.

Sea f continua en [a, b] al cual pertenece el punto crítico x1, y es derivable en todos los puntos del mismo (a excepción, quizá del mismo punto x1). Si:

Monografias.com

La función tiene un máximo en el punto x1, cuyo valor es f(x1).

Monografias.com

La función tiene un mínimo en el punto x1, cuyo valor es f(x1).

B. Criterio de la Segunda Derivada.

Si f'(x) = 0, entonces en x = x1 la función tiene: un máximo relativo si f''(x1) < 0 y un mínimo relativo si f''(x1) > 0.

* Para determinar los extremos relativos se calcula la segunda derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado tiene signo positivo se tiene un mínimo; si tiene signo negativo un máximo. Si el resultado sale cero no podemos afirmar nada y tendríamos que recurrir a la derivada tercera, si evaluando la derivada sale distinto de cero no es un extremo relativo, si por el contrario sale cero tendríamos que recurrir a la cuarta derivada y realizar el mismo proceso que con la segunda y así sucesivamente hasta que logremos clasificar ese punto.

Ejemplo:

  • Halle el máximo global de f(x) = 1 + 12|x| - 3x2 en [-1, 4]. Grafique.

Solución:

f es derivable sobre R - {0}, porque |x| no es derivable en x = 0. Esto muestra que 0 es punto crítico. También -1; 4 son puntos críticos porque son puntos extremos.

Como f'(x) = 12 - 6x si x > 0 ? f'(x) = -12 - 6x si x < 0, tenemos que x = ±2.

El conjunto de puntos críticos es {0,-1, 4, 2} se descarta -2 porque no pertenece al dominio, además, f es continua en el intervalo [-1, 4].

De f(0) = 1; f(-1) = 10; f(4) = 1 ? f(2) = 13 se tiene máximo de f = 13 y mínimo de f = 1. Obsérvese que el máximo se produjo en un punto estacionario y el mínimo en un punto extremo no derivable.

Monografias.com

INTEGRAL INDEFINIDA DE UN FUNCIÓN

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

Monografias.como Monografias.com

CONCLUSIÓN

Al hablar de antiderivadas estamos frente a una operación contraria que es originalmente una derivada. Para lograr resolver estas operaciones es necesario tomar en cuenta muchos recursos aritméticos, esto debido a que no hay un procedimiento específico por el cual se pueda llegar al resultado sino por medio de diferentes operaciones.

La antiderivada de una función también puede recibir el nombre de integral indefinida o primitiva de una función; cada uno tiene su razón de ser, antiderivada viene dado porque se hace una operación contraria para llegar a la función original; integral indefinida porque existe una constante C que puede dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una operación que busca el génesis de la función. Todas aunque tienen diferentes nombre relativamente significan lo mismo.

Una antiderivada se diferencia de una derivada por la existencia de un símbolo llamado integración Monografias.com

Sus propiedades son muy similares a las de las derivadas, con solo la anexión una propiedad de linealidad.

Al momento de situarse en la operación intervienen dos valores fundamentales que son máximos y mínimos sean estos relativos o absolutos, su importancia deriva de que mediante el calculo de ellas se logra saber cual es la altura máxima, media o minima al momento de trazar la curva de una función, esto da lugar a la monotonía de la representación que busca la manera de determinar si una función es creciente o decreciente; también da lugar a la concavidad, de forma que este permite descubrir hacia que dirección es cóncava la figura, mediante el signo de la función, esta puede ser cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Los valores extremos de una función vienen dados por medio del cálculo de la monotonía, y deja en descubierto la altura máxima y la minima disminución a la horade trazar una curva; dando también a altura medias.

La integral indefinida de una función es permisible solo si esta es continua, y puede ser tan F1 como F2 + C porque a la hora de derivar esta da como resultado cero pero es necesario colocarlo para considerar el signo que posee.

A modo de reflexión, es posible observar que hay instrumentos que calculan las integrales indefinidas (también las definidas). Pero esto no quita valor al esfuerzo, aunque meramente operacional, que supone el aprendizaje del cálculo de integrales. Seguramente la mente se estructura de forma que se pueda afrontar otros retos de más calado.

BIBLIOGRAFÍA

  • http://www.phpwebquest.org

  • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/25-1-u-derivadas.html

  • http://www.luiszegarra.cl/calculoi/cap9a.pdf

  • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva

  • http://www.monografias.com/trabajos52/integrales-indefinidas/integrales-indefinidas.shtml

  • http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/mate2/material/m2_prevt_integracion.pdf

  • 2000. GRAN ENCICLOPEDIA SALVAT. Tomo 16. Salvat Editores.

ANEXOS

Monografias.com

El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente f(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de f(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.

TABLA DE INTEGRALES

Monografias.com

 

 

 

Autor:

Camila Silva A.

Facilitadora: María Lazarde

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

Ingeniería Civil

Matemática I

Ciudad Bolívar, Julio de 2009

Monografias.com


Partes: 1, 2


 Página anterior Volver al principio del trabajoPágina siguiente 

Comentarios


Trabajos relacionados

  • Distribución Normal

    Distribución Normal. Función de densidad. La distribución binomial. Esta distribución es frecuentemente utilizada en l...

  • Estructura y funcionamiento del Programa Raíces

    Carlos alberto PérezEl programa esta compuesto por la función principal raices y 9 subfunciones: Raices (principal; Cuad...

  • El poder del Solver

    Ejemplo de cómo usar "SOLVER". En estos tiempos donde se habla de la tecnología, información, sociedad del conocimient...

Ver mas trabajos de Matematicas

 

Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.


Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.