Cálculo integral

Partes: 1, 2

1. La integral indefinida
2. Integrales inmediatas
3. Integrales de funciones racionales
5. La integral definida: significado geométrico
6. Propiedades de la integral definida
7. Teorema del valor medio para el cálculo integral
8. Teorema fundamental del cálculo
9. Regla de Barrow
10. Áreas negativas
11. Áreas pluriintegrales
12. Área comprendida entre dos curvas
13. Volumen de un cuerpo de revolución

La integral indefinida

Sea una función; se dice que función derivable, es una primitiva de si se verifica

Ejemplo: hallar dos primitivas de Hallar también la expresión general

Por tanto, dado que la derivada de es

De esta manera, dado que la obtención de la primitiva es una operación inversa a la derivación: se trata de la integración. En consecuencia,

En efecto, si es una primitiva de entonces también lo es, ya que

Asimismo, si una función tiene derivada nula en un intervalo, entonces es constante (se admite sin demostración).

Por ello, si y son primitivas de entonces se diferencian en una constante, es decir:

Concepto de diferencial de una función en un punto

Como ya se estudió, la recta tangente en P es la recta que mejor se aproxima a la curva en las cercanías del punto, lo cual quiere decir, por tanto, que

El incremento de la función es el punto es:

 

Al valor de BA, que es el incremento correspondiente a la recta tangente en se le llama diferencial de la función en el punto esto es,

Teniendo en cuenta que la pendiente de la recta tangente es

Se tiene que

Para la función se tiene que

Por lo que es posible escribir, para toda función real de variable real,

Por lo que

, que es la expresión de la derivada de una función como un verdadero cociente de diferenciales. Obsérvese que si es una primitiva de entonces tiene que ser y por tanto,

Propiedades de la integral indefinida

• a) Linealidad: la integral de la suma es al suma de las integrales:

• b) Dado que la derivada de la suma es la suma de las derivadas, se tiene que