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Métodos numéricos - Método de Euler Mejorado

Enviado por Paula Fernigrini



Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Descripción de los métodos
  3. Ayuda del programa (sintaxis)
  4. Conclusión
  5. Bibliografía

Monografias.com

Objetivos

Objetivo General:

Objetivos Específicos:

Introducción

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler y Euler mejorado.

Descripción de los métodos

Método de Euler

Se llama método de Euler al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada.

La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en Xi (ver Gráfico Nº01). Monografias.com[1]

Donde f (Xi, Yi) es la ecuación diferencial evaluada en Xi y Yi, Tal estimación podrá substituirse en la ecuación [2] nos queda que:

Monografias.com[2]

Esta fórmula es conocida como el método de Euler (punto medio). Se predice un nuevo valor de Y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de X).

Monografias.com

Error para el método de Euler

La solución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) involucra dos tipos de error.

1) Errores de Truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2) Errores de Redondeo, que son el resultado del número limite de cifras significativas que pueden retener una computadora.  

Método de Euler Mejorado

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

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Donde

Monografias.com

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

Monografias.com

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio  Monografias.comcorresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto  Monografias.comdonde  Monografias.comes la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en  el punto  Monografias.comcomo la aproximación de Euler mejorada. 

Ayuda del programa (sintaxis)


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