OBJETIVOS
Es aprender sobre la teoría del los tres
métodos numéricos requeridos
Poder desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los
métodos numéricos, como también saber su
teoría y utilidad.
Poder reconocer la diferencia entre cada método y
su utilidad.
INTRODUCCION
En este proyecto
encontraremos, teoría
respecto a los métodos
numéricos donde se desarrollaran los contenidos,
también encontraremos una variedad de teorías
y teoremas, como también ejemplos de cada caso,
también encontrares las diferencias entre cada uno de
estos casos, como son el método de
Eules y el método Runge Kutta.
También encontraremos las teorías de los tres
métodos
numéricos, también tendremos ejemplos de cada
método numérico.
Es importante leer y entender cada método
numérico, estos métodos numéricos nos sirven
para una gran utilidad y
resolución de problemas.
METODOS
NUMERICOS
Los métodos numéricos son técnicas
mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan
resolverse usando operaciones
aritméticas.
El análisis numérico trata de
diseñar métodos para "aproximar" de una manera
eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente.
El objetivo
principal del análisis numérico es encontrar
soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando
sólo las operaciones más simples de la
aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que producen la aproximación
al problema matemático.
MÉTODO DE EULER
Dado un sistema de
ecuaciones
diferenciales de primer orden, el método de Euler es
la primera aproximación de solución. Consideremos
un sistema de variablesque dependen deLas ecuaciones
diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:
Escogiendo un paso
de pequeño
se puede usar la
aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de
en el tiempo
se necesitan
conocer en el tiempoLa fórmula sería: Entonces para averiguar los
valores de
a cualquier
basta conocer sus
valores iníciales (condiciones iníciales a
y resolviendo
iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de
La idea del método de Euler es muy sencilla y
está basada en el significado geométrico de la
derivada de una función en
un punto dado.
Supongamos que tuviéramos la curva solución de
la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la
curva en el punto dado por la condición inicial.
Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores
cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la
recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado
Así, calculemos la ecuación de la recta tangente
a la curva solución de la ecuación diferencial dada
en el punto De los
cursos de Geometría
Analítica, sabemos que la ecuación de la recta
es:
donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la
pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente
es:
Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a y por lo tanto estará dado como
De esta forma,
tenemos la siguiente aproximación:
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