Métodos numéricos (página 2)

De aquí, tenemos nuestra fórmula de
aproximación: 

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si
el valor de
h es realmente pequeño, digamos de una
décima ó menos. Pero si el valor de h es
más grande, entonces podemos cometer mucho error al
aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y
obtener de hecho un método
iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que
estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y
obtener entonces la aproximación en n pasos,
aplicando la fórmula anterior n veces de un paso
a otro, con la nueva h igual a

En una gráfica, tenemos lo siguiente: 

Ahora bien, sabemos que: 

Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el
papel de lo toma el
punto y por lo
tanto, si sustituimos los datos
adecuadamente, obtendremos que: 

De aquí se ve claramente que la fórmula
recursiva general, está dada por: 

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para
aproximar el valor de aplicándola sucesivamente desde
hasta en pasos de longitud
h. 

MÉTODO DE EULER MEJORADO

Otro método sencillo es el método de Euler
Mejorado. Este método es reductor corrector. Sus
fórmulas son:

Este método es de orden O(H2).

Este método también puede expresarse como un
método implícito. Si solo consideramos la
ecuación del corrector tenemos:

yi+1 depende de sí mismo. Para aplicar este
método en esta forma se requiere resolver una
ecuación no lineal, ya que se puede escribir en la
forma:

En la práctica se prefiere un procedimiento
más simple. Comenzando con un valor inicial obtenido de la
ecuación del predictor, se sustituye en la
ecuación. Con esto se genera un valor nuevo de. Este se
vuelve a sustituir y se obtiene otro valor de . El procedimiento
se repite hasta que no cambie. Esto lo verificamos con un
criterio de convergencia, el cual puede ser:

En este caso m es el índice de la iteración.
Este procedimiento se conoce como rectificación. El valor
final es el que se tabula. Por supuesto que más laborioso
que si se considera el método como predictor corrector. En
algunos textos, el método se presenta como predictor
corrector. En otros se expresa como un método
implícito.

Este método se basa en la misma idea del método
anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación,
tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso
de la aproximación, con base en la siguiente
gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio
corresponde a la
pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva
en el punto de la condición inicial y la "recta tangente"
a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la
primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz
se traslada paralelamente hasta el punto de la condición
inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto
como la
aproximación de Euler mejorada. 

MÉTODO DE RUNGE –
KUTTA

Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el
método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la
misma línea de los métodos de
Euler. De hecho está basado en una aplicación de
los polinomios de Taylor.

Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si
contiene como casos especiales los de Euler. 

Las fórmulas

Donde 

Se conocen como las reglas o fórmulas de
Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación
diferencial: 

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el
presente valor (yn) mas el producto del
tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La
pendiente es un promedio ponderado de pendientes:

k1 es la pendiente al principio del intervalo;

k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1
para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el
método de Euler

k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando
k2 para determinar el valor de y

k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y
determinado por k3

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a
las pendientes en el punto medio:

El método RK4 es un método de cuarto orden lo
cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras
que el error total acumulado tiene el orden h4.

Es un método de un paso, es decir, para determinar Yn+1
se necesita conocer únicamente los valores de
Xn y Yn del punto anterior, además no requieren evaluar
ninguna derivada, sino únicamente valores de la
función
f(x,y). Todo ello hace que el método de Runge Kutta, sea
más fácil de aplicar que otros sistemas, como
por ejemplo la serie de Taylor. Siendo:

y con las ecuaciones
anteriormente explicadas.

CONCLUSION

Cada método que se presento en este proyecto como
ejercicios resuelto que fueron puestos en este trabajo, fue
colocado con el único objetivo de
que fuera más fácil su compresión de cada
método que fue investigado en este proyecto,
también podemos decir que estos métodos para
poder resolver
un problema es necesario tener una calculadora programable por la
razón de que si hace sin una de ellas resulta demasiado
largo la resolución de cada problema.

Tener en cuenta que para resolver cada problema de los
métodos
numéricos es necesario tener orden porque la cantidad
de datos son demasiados, también se necesita tener los
programas para
resolver cada método.

Estos métodos numéricos nos dan una introducción a los medos numéricos
más complicados que se presenta en nuestro libro.

BIBLOGRAFIA

• Dennis g. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Problemas de
  Valores de Frontera, editorial Iberoamericana, 6ta.
  Edición.

• C. Henry Edwards, David E. Penney; Editorial Prentice
  Hall, 4ta. edicion.

Autor:

Alex Josué Pérez González

Universidad de San Carlos

Facultad de Ingenieria

Matemática intermedia 3

Ing. Benjamín piedra santa

Guatemala

26 de junio del 2009