Consideremos una inclinación cualquiera de la
faceta principal superior y el rayo de luz paralelo al
eje de talla e incidente a la faceta principal. En el punto de
incidencia trazamos una perpendicular a la faceta. Llamamos
i al ángulo formado por el rayo de luz y esta
perpendicular. El rayo de luz penetra en la gema
refractándose y aproximándose, según el
ángulo r, a la perpendicular a la faceta, y
así se define el índice de refracción:
De la definición anterior deducimos
que y que
El ángulo i será siempre
mayor que r, por pasar la luz de un medio menos
denso (aire) a otro
más denso (gema). En consecuencia el sen i
es mayor que sen r. El I.R. será
siempre mayor que 1. Por ejemplo, el I.R. del
diamante es 2,419; el de la esmeralda es 1,583; el de algunos
cuarzos es 1,520; el del agua es 1,33;
todos estos valores son
aproximados, dependiendo de la tecnología de
medición empleada. También se
considera el IR como la relación de las distintas
velocidades de la luz en los medios que
atraviesa.
Conocemos el IR de la piedra a
tallar y un ángulo i, de la faceta
principal superior, que elegimos.
El IR de las gemas es conocido y el
ángulo i será el ángulo de
talla de la faceta principal superior. El cálculo
del ángulo r es sencillo (r =
arcsen (sen i / IR)).Estos son los valores
iniciales: IR y r sale de la
definición de IR.
Nos proponemos encontrar la relación del
ángulo de talla a de la faceta inferior con el
ángulo i que elegimos, para un IR
propuesto.
Necesitamos el valor de
r y el de (i – r) para
seguir nuestro razonamiento. Nuestro razonamiento es de
igualdades geométricas y aplicamos algo de trigonometría.
Establecimos como premisa que el recorrido
de un rayo de luz debe ser paralelo al eje de simetría de
la pieza en su entrada a la gema por la faceta lateral y en su
salida de la gema por la mesa superior. Pasamos a detallar los
diferentes ángulos de este rayo de luz con las facetas
lateral superior, laterales inferiores y con la mesa.
Relación entre ángulo i y ángulo
a
En azul el rayo de luz y su recorrido en el aire y en la
gema. Es una reflexión total, entonces los ángulos
JHA y BHF deben ser iguales, así como los ángulos
HFB y CFK.
El ángulo CFK vale 90-a así como su igual
el HFB. También es cierto que el ángulo FBH vale
180-2a
Por lo tanto el ángulo BHF vale
180-(90-a)-(180-2a)=180-90+a-180+2a=3a-90
KCB = LBC por alternos internos.
El ángulo AJH valdrá
180-a-(3a-90)=270-4a
y el ángulo HJC valdrá 180
–(270-4a)=4a-90
90 – (i – r) = 4a – 90
Llegamos así a igualar estos dos ángulos
opuestos por el vértice en J y así
relacionar el ángulo de incidencia i con el
ángulo a, que es lo que queríamos
hacer.
Para nuestro estudio es fundamental esta
relación: ángulo KJA= ángulo CJH
90–(i-r)= 4a–
90
a es función
del ángulo i para todo IR
Substituyendo r = arcsen (sen i / I.R.),
según vimos al comienzo, llegamos a:
Con esta fórmula calculamos el
ángulo a de la faceta inferior para cualquier
IR y en función de cualquier ángulo i
de la faceta superior, asegurando el paralelismo al eje de
simetría de la pieza en la salida del rayo de luz en la
mesa.
Resumiendo:
Para obtener estos valores comparamos dos ángulos
opuestos por el vértice: uno en la parte superior (zona
del ángulo i) y el otro en la parte inferior (zona del
ángulo a). Siguiendo igualdades y deducciones de
ángulos desde el a de la derecha hacia la izquierda
en la zona del a.
Hemos demostrado entonces que a es función de
i
Ahora demostraremos que
Recordemos que y que así como que . Estas relaciones trigonométricas
las usaremos más tarde.
Anteriormente vimos que
de donde y entonces
Recordemos el seno de la suma de
ángulos
y si aplicamos la relación
señalada anteriormente
Substituimos el "cos i" en magenta por lo
marcado anteriormente
elevamos esta expresión al
cuadrado,
y seguimos operando
sacando factor común del lado izquierdo, llegamos
a
En el paréntesis la suma de
+ = 1
Sustituyendo llegamos a
Y finalmente llegamos a que
luego
Estas relaciones entre y nos aseguran el paralelismo, al eje de
simetría, de la entrada y la salida del rayo de luz
estudiado. Pero, pero nos interesa proporcionar toda la pieza
para que todos los rayos de luz que penetren por la faceta
principal superior salgan por la mesa. Optimizando las
proporciones de la faceta superior, haremos que la
condición "ideal" se generalice.
2ª PARTE
Optimización de las proporciones de la
pieza
Hasta ahora hemos visto ángulos. Necesitamos
entrar en el estudio de las
proporciones de la pieza a tallar.
para que la luz se comporte según la figura.
Imaginemos la faceta lateral más extendida hacia arriba:
la mesa se acorta y los rayos de luz de la extensión de la
faceta inicialmente seguirán el curso marcado pero luego
se desviarán hacia otro lado. Si la faceta lateral
superior es más corta que la marcada, habrá un
número menor de rayos optimizados y el centro de la mesa
estará vacío. La optimización depende de la
medida de la faceta lateral superior. Continuaremos nuestro
estudio con el cálculo de esta faceta. Si la pieza no
tiene las proporciones adecuadas, podremos asegurar que algunos
rayos en paralelo al eje de talla cumplirán con lo
propuesto; pero no tenemos la seguridad de la
total salida por la mesa de la totalidad de rayos de que es capaz
la faceta. La figura nos muestra lo que
hemos llamado TALLA IDEAL GENERALIZADA donde la totalidad
de los rayos que entran por la faceta salen por la mesa y
viceversa. El estudio lo hacemos buscando el valor de la
proyección horizontal (b) de esta faceta.
.En la primera parte de este
trabajo,
trabajamos con los ángulos y sus relaciones para asegurar
una talla "ideal", considerando solamente los ángulos
i y a.
En la figura de la izquierda tenemos una
forma de talla propuesta con los ángulos i y
a necesarios pero con la corona excesivamente alta y si
seguimos el recorrido de los rayos de luz vemos que:
a) los del grupo A, se pierden
dentro de su recorrido por la pieza o finalmente salen por
algún lado cuando encuentren el ángulo de
incidencia interna que se los permita..b) Los del grupo B entran por la
faceta y salen por la mesa según lo previsto en este
estudio. Pero es un grupo pequeño de todos los rayos
que inciden en la faceta principal..c) Los del grupo C se escapan por
la parte baja de la pieza.
En esta figura observamos que todos los
rayos que entran por la faceta salen por la mesa, cumpliendo con
la condición de paralelismo al eje de simetria de la pieza
y de perpendicularidad a la mesa. Pero la zona punteada en rojo,
corresponde al desaprovechamiento de la mesa y, en consecuencia a
la disminución en la posibilidad de brillo de la
pieza.
En esta figura tenemos el recorrido ideal,
generalizado para todos los rayos posibles en la faceta principal
de la corona. Si comparamos las tres figuras vemos que la
condición óptima depende de la longitud de la
faceta lateral. Si es pequeña tenemos la situación
de la corrona baja. Si es excesiva tenemos la situación de
la corona alta.
Nuestro trabajo continúa con el
estudio de esta situación óptima de la figura
última.
Los ángulos i y a ya
los hemos relacionado y definido para cada y cualquier
I.R.
Consideramos el segmento b,
proyección horizontal de la faceta.
Operamos en la figura y llegamos a
relacionar b con los ángulos que dependen del
I.R.
Veremos a continuación esta
relación.
Creamos el ángulo auxiliar
b
Hagamos de donde entonces
pero hacemos
Y entonces y sustituimos
por quedándonos
de donde
por lo tanto
i – r = 2 arcsen b
Hemos relacionado la proyección
horizontal (b) de la faceta principal superior con el
ángulo (i-r)
Ahora haremos que a sea una
función de b
Vimos antes que ,
y substituimos i – r = 2 arcsen
b
llegando a que
En esta figura el esquema de la talla
ideal. Sus partes y segmentos que la forman. Los ángulos
con los que contamos son:
i, a e (i-r )
El ángulo FEB es igual a GBE por
alternos. Y los ángulos DBG y GBE son iguales por
simetría respecto al segmento GB.
El ángulo DCK es el ángulo
i
El ángulo DBG es igual a
(i-r).
h =
q = h – n
q = –
i = esto es i en
función de b
Veamos ahora a r en función
de b
r = r + i – i
r = i – ( i – r )
i – r = 2arcsen b
r = i – 2arcsen b
Substituyendo i por su valor en
función de b
r = ( ) – 2arcsen b
El Índice de Refracción
es
Substituimos r e i por sus
valores en función de b y tendremos IR en
función de b
IR es un valor fijo que depende en
esta formulación del valor de b. Tenemos que
encontrar el valor de b con el que se cumpla la igualdad
anterior. Debemos hacerlo por aproximación con sucesivos
valores de b y con la aproximación infinitesimal
que elijamos. Hemos empleado el Método de Newton
para nuestros cálculos en el programa que he
nombrado antes. Programa en Visual Basic que
está en el sitio http://odrio.tripod.com y se llama "BRILLOGEMAS
1.0"
Las imágenes
que siguen corresponden a este programa, para diferentes
IR.
Los datos que
entramos son IR, el DIÁMETRO o ancho de la pieza (si fuera
una talla, tipo esmeralda, rectangular o cuadrada) y un valor que
hemos llamado épsilon (e).
Este último valor que utilizamos
resuelve el siguiente problema ( ¿? ): para IR menores que
1.583: se alerta sobre la necesidad de "espejar" la culata o los
rayos de luz se escapan por ella hacia abajo. .No hay
reflexión total en la faceta inferior por ser el
ángulo de incidencia interior menor que el ángulo
crítico (ángulo critico = arcsen 1/IR).
Nuestra visión es binocular y los
ojos están separados normalmente entre 6 y 7
centímetros. Una joya es generalmente mirada desde
aproximadamente 35 centímetros de distancia de los ojos.
En la mesa, los rayos emergentes de la derecha, si tuvieran un
ángulo de emergencia hacia la izquierda irán
directamente hacia el ojo izquierdo. Lo mismo para los rayos
emergentes de la izquierda que irán hacia el ojo
derecho.
Esta desviación de emergencia es
la que determinamos con el valor épsilon
(e).
Al hacer los cálculos con un
épsilon, la forma de la de la pieza se vuelve "moderna",
de mesa baja.
Comparemos, para un mismo IR ,un caso de
épsilon = 10, y otro con épsilon = 0
El programa "Brillogemas 1.0" es gratuito.
Esta comprimido y debe bajarse a una carpeta y descomprimirlo en
ella.
En la "Ayuda" podrá encontrarse
información sobre talla de piedras y uso
del programa.
Agradezco la atención a este tema. Esto es lo central de
mi estudio.
Autor:
Prof. José María
Odriozola
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