Factorización de Polinomios (página 2)

(Algebra de Baldor)

Caso general para factorizar trinomios
de la forma

Para factorizar trinomios de estas dos
formas utilizaremos un proceso
llamado producto
cruz.

Ejemplo:

Buscaremos dos factores del primer
término y dos del tercero colocándolos en columna
de modo que al multiplicarlos de forma cruzada (producto cruzado)
la suma de los productos sea
igual al segundo término.

Ejemplo: como

Ejemplo:

Buscamos del mismo modo dos factores del
primer término y dos del segundo y seguimos el procedimiento
anterior, tenemos:

Cubo perfecto de
binomios

Para que una expresión sea el cubo
perfecto de un binomio debe:

• Tener cuatro
  términos.

• Que el primer y cuarto término
  sean cubos perfectos.

• Que el segundo sea el triplo del
  cuadrado de la raíz cubica del primer término
  por la raíz cubica del cuarto termino.

• Que el tercer termino sea el triplo de
  la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de
  la raíz cubica del ultimo termino.

Si todos los términos son positivos,
la expresión dada es el cubo de las raíces cubicas
del primer y ultimo termino.

Si los términos son alternativamente
negativos y positivos, la expresión dada es la diferencia
de las raíces cubicas del primer y ultimo
termino.

Ejemplos:

Suma o diferencia
de cubos perfectos

Sabemos que:

y como en toda división exacta el
dividendo es igual al producto del divisor por el cociente,
tendremos:

En base a lo anterior podemos definir que
la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos
factores:

• 1. La suma de las raíces
  cubicas de los dos términos.

• 2. El cuadrado de la primera
  raíz menos el producto de ambas raíces
  más es cuadrado de la segunda. Ejemplo:

La diferencia de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:

• 1. La diferencia de sus
  raíces cubicas.

• 2. El cuadrado de la primera
  raíz más el producto de ambas raíces
  más el cuadrado de la segunda. Ejemplo:

Suma o diferencia
de dos potencias iguales

Suma.

Ejemplo:

Reducción
de Fracciones Algebraicas

Reducir una fracción es cambiar su
forma pero no su valor.

Ejemplo

Para reducir o simplificar una
fracción algebraica, tome en cuenta lo
siguiente:

• Si el numerador y denominador son
  monomios, efectúe la simplificación utilizando
  ley de la división de monomios y cancele los factores
  comunes.

• Si el numerador t denominador son
  polinomios, factorice ambos tanto como sea posible y luego
  cancele los factores comunes.

• El resultado esta dado por los factores
  no comunes del numerador y denominador de la
  fracción.

Se deben tomar muy en cuenta las reglas de
potenciación.

Ejemplo:

Ejemplo:

Como numerador i denominador son
polinomios, debemos factorizar ambos tanto como sea posible para
encontrar los factores comunes y simplificar:

Ahora cancelaremos los factores que se
repiten entre el numerador y denominador:

Multiplicación y división de
fracciones algebraicas

Multiplicación:

• 1. Si las expresiones son
  monomios, simplifique numerador y denominador de las
  fracciones tanto como sea posible.

• 2. Si son polinomios, factorice
  los numeradores y denominadores tanto como sea
  posible.

• 3. Simplifique los factores
  comunes.

• 4. Multiplique los numeradores
  juntos y los denominadores juntos.

Ejemplo:

Ejemplo:

Factorizando los numeradores
tenemos:

Factorizando los denominadores
tenemos:

Ahora la fracción queda
así:

Cancelamos los factores comunes y obtenemos
la respuesta.

División:

Para dividir fracciones algebraicas
invierta el divisor y luego multiplique las expresiones
racionales resultantes, es decir, cambie la división por
multiplicación y siga el mismo proceso.

Adición y
sustracción de fracciones algebraicas

Para sumar o restar dos fracciones
aritméticas con un denominador común, se suman o
restan los numeradores y se conserva el denominador común.
Este mismo principio se sigue con las fracciones
algebraicas.

Para sumar dos fracciones
aritméticas o algebraicas con diferente denominador se
debe obtener uno igual.

Para hallar el denominador común se
siguen los siguientes pasos:

• 1. Factorizar el denominador de
  cada fracción.

• 2. Cuando el mismo factor aparece
  en varios denominadores, se toma el factor que tenga el mayor
  grado.

• 3. El denominador consta de todos
  los factores no repetidos y los que se repiten se apuntan
  solo una vez.

• 4. Para hallar los numeradores, se
  divide el denominador común entre cada denominador, el
  cociente se multiplica por el numerador respectivo y se
  reducen los términos semejantes que queden en el
  numerador.

• 5. Se simplifica la
  fracción que resulte. (Matemática 5, Boanerges
  L. Méndez)

Ejemplo:

Como los denominadores son diferentes los
factorizaremos para hallar uno común:

Con lo anterior podemos concluir que el
denominador común es

Con los denominadores ya factorizados
multiplicamos, el cociente del denominador común entre
cada denominador por su respectivo numerador y resulta
así:

Multiplicando, reduciendo términos
semejantes y cancelando factores comunes queda:

Con lo anterior podemos concluir que el
denominador común es

Con los denominadores ya factorizados
multiplicamos, el cociente del denominador común entre
cada denominador por su respectivo numerador y resulta
así:

Resolución
de Ecuaciones Cuadráticas Completas por el Método
de Factorización

Ahora igualamos a cero los
factores:

Por lo tanto las raíces buscadas
son

Autor:

Jonatan Aaron Maldonado
Figueroa