Partes: 1, 2

(Algebra de Baldor)

Caso general para factorizar trinomios de la forma

Para factorizar trinomios de estas dos formas utilizaremos un proceso llamado producto cruz.

Ejemplo:

Buscaremos dos factores del primer término y dos del tercero colocándolos en columna de modo que al multiplicarlos de forma cruzada (producto cruzado) la suma de los productos sea igual al segundo término.

Ejemplo: como

Ejemplo:

Buscamos del mismo modo dos factores del primer término y dos del segundo y seguimos el procedimiento anterior, tenemos:

Cubo perfecto de binomios

Para que una expresión sea el cubo perfecto de un binomio debe:

• Tener cuatro términos.

• Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos.

• Que el segundo sea el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer término por la raíz cubica del cuarto termino.

• Que el tercer termino sea el triplo de la raíz cubica del primer termino por el cuadrado de la raíz cubica del ultimo termino.

Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de las raíces cubicas del primer y ultimo termino.

Si los términos son alternativamente negativos y positivos, la expresión dada es la diferencia de las raíces cubicas del primer y ultimo termino.

Ejemplos:

Suma o diferencia de cubos perfectos

Sabemos que:

y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:

En base a lo anterior podemos definir que la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

• 1. La suma de las raíces cubicas de los dos términos.

• 2. El cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más es cuadrado de la segunda. Ejemplo:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

• 1. La diferencia de sus raíces cubicas.

• 2. El cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda. Ejemplo:

Suma o diferencia de dos potencias iguales

Suma.

Ejemplo:

Reducción de Fracciones Algebraicas

Reducir una fracción es cambiar su forma pero no su valor.

Ejemplo

Para reducir o simplificar una fracción algebraica, tome en cuenta lo siguiente:

• Si el numerador y denominador son monomios, efectúe la simplificación utilizando ley de la división de monomios y cancele los factores comunes.

• Si el numerador t denominador son polinomios, factorice ambos tanto como sea posible y luego cancele los factores comunes.

• El resultado esta dado por los factores no comunes del numerador y denominador de la fracción.

Se deben tomar muy en cuenta las reglas de potenciación.

Ejemplo:

Ejemplo:

Como numerador i denominador son polinomios, debemos factorizar ambos tanto como sea posible para encontrar los factores comunes y simplificar:

Ahora cancelaremos los factores que se repiten entre el numerador y denominador:

Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Multiplicación:

• 1. Si las expresiones son monomios, simplifique numerador y denominador de las fracciones tanto como sea posible.

• 2. Si son polinomios, factorice los numeradores y denominadores tanto como sea posible.

• 3. Simplifique los factores comunes.

• 4. Multiplique los numeradores juntos y los denominadores juntos.

Ejemplo:

Ejemplo:

Factorizando los numeradores tenemos:

Factorizando los denominadores tenemos:

Ahora la fracción queda así:

Cancelamos los factores comunes y obtenemos la respuesta.

División:

Para dividir fracciones algebraicas invierta el divisor y luego multiplique las expresiones racionales resultantes, es decir, cambie la división por multiplicación y siga el mismo proceso.

Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Para sumar o restar dos fracciones aritméticas con un denominador común, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador común. Este mismo principio se sigue con las fracciones algebraicas.

Para sumar dos fracciones aritméticas o algebraicas con diferente denominador se debe obtener uno igual.

Para hallar el denominador común se siguen los siguientes pasos:

• 1. Factorizar el denominador de cada fracción.

• 2. Cuando el mismo factor aparece en varios denominadores, se toma el factor que tenga el mayor grado.

• 3. El denominador consta de todos los factores no repetidos y los que se repiten se apuntan solo una vez.

• 4. Para hallar los numeradores, se divide el denominador común entre cada denominador, el cociente se multiplica por el numerador respectivo y se reducen los términos semejantes que queden en el numerador.

• 5. Se simplifica la fracción que resulte. (Matemática 5, Boanerges L. Méndez)

Ejemplo:

Como los denominadores son diferentes los factorizaremos para hallar uno común:

Con lo anterior podemos concluir que el denominador común es

Con los denominadores ya factorizados multiplicamos, el cociente del denominador común entre cada denominador por su respectivo numerador y resulta así:

Multiplicando, reduciendo términos semejantes y cancelando factores comunes queda:

Con lo anterior podemos concluir que el denominador común es

Con los denominadores ya factorizados multiplicamos, el cociente del denominador común entre cada denominador por su respectivo numerador y resulta así:

Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completas por el Método de Factorización

Ahora igualamos a cero los factores:

Por lo tanto las raíces buscadas son

 

 

 

 

 

 

Autor:

Jonatan Aaron Maldonado Figueroa