Partes: 1, 2

Lo anterior quiere decir que en muchos casos, los estudiantes incorporan en la evaluación de la función las características particulares de la función que evalúan, esto es la fórmula particular que la define, por lo que el estudiante no aprende a evaluar funciones sino a evaluar casos particulares de funciones, con lo cual transforman un problema específico en una variedad de problemas, que según su modo de ver cada uno de ellos tiene sus particularidades que se deben tener en cuenta para poder resolverlos, lo cual hace que quede desconcertado o al menos trabaje incorrectamente cuando se le pide evaluar una función con la que no acostumbra a trabajar.

La solución de la dificultad didáctica descrita sólo se puede lograr, si se contribuye a desarrollar la generalización teórica de los estudiantes, y siendo la generalización teórica un proceso del pensamiento lógico, no se logra desarrollar con un pequeño entrenamiento, se requiere un trabajo didáctico perseverante, que debe comenzar por lograr que el estudiante ejecute las orientaciones y tareas asignadas. Resultados de este tipo solo se pueden apreciar a lo largo de un semestre en algunos casos, pero más usualmente a lo largo de un curso escolar y los resultados son más seguros si en otras asignaturas, como por ejemplo Física, se trabaja en la misma dirección.

Para entrenar a los estudiantes en la generalización teórica es necesario tener en cuenta los diferentes niveles en que se manifiesta este tipo de generalización, según la clasificación de Blanco R.(1998), estos son:

• La representación singular de lo general.

• La generalización producto de una deducción.

• La generalización por ampliación de un concepto.

• La generalización mediante un cambio del problema.

• La generalización con desarrollo de un nuevo modelo.

El primero de estos niveles o etapas de la generalización identificado como: "La representación singular de lo general" se refiere a la representación de los componentes de un conjunto de muchos o infinitos elementos mediante una determinada semiótica, por ejemplo, cuando al hablar de los números pares, se dice que un número par es un número de la forma 2n, o cuando se representa una sucesión por su n-simo término, o cuando al hablar de una cantidad finita pero no determinada de elementos o sucesos, estos se representan como los hechos ai con i = 1 .. n, etc.

Esta forma de generalización tan cotidiana para el matemático y tan imprescindible para la Matemática en sí misma, (aunque debemos destacar que no es privativa de la Matemática, pues con el desarrollo científico técnico cosas así aparecen hasta en las ciencias sociales), no es tan inmediata para el alumno, requiere cierto desarrollo de sus capacidades cognoscitivas para interiorizarlo, y no simplemente repetirlo mecánicamente cuando se le requiera. Se puede asegurar que el estudiante ha alcanzado este nivel de generalización cuando él es capaz de usarla por su propia iniciativa, para expresar sus ideas, cuando lo usa como componente de su propio lenguaje.

El segundo nivel considerado, la generalización producto de una deducción (propia de las ciencias deductivas), se manifiesta por ejemplo, cuando se prueba que todo número tal que la suma de sus dígitos es divisible por tres, es también divisible por tres él mismo; y se tiene así un resultado que sirve de criterio general para determinar si un número dado es o no divisible por tres. Aparentemente el alumno hace esta generalización de forma natural, pero lo que sucede comúnmente es que el alumno usa el resultado deducido en forma general porque el profesor le dice que se ha obtenido una regla que se va a aplicar siempre para determinar tal o cual cosa, pero no hace suyo el resultado obtenido si sus capacidades cognoscitivas no han alcanzado el nivel requerido; aquí influye el nivel anterior, pues precisamente en la deducción casi siempre es necesario representar lo general en forma singular. No es fácil determinar cuando el alumno ha interiorizado el carácter general de la deducción, ya que el mismo puede usar el resultado alcanzado por iniciativa propia o porque así se lo dice su profesor, aquí se requiere de cierta maestría pedagógica para determinar en que nivel está realmente el alumno.

El tercer nivel referido, esto es, la generalización por ampliación de un concepto, se manifiesta cuando se pasa de un concepto a otro más general, pero que mantiene los rasgos esenciales del primero, un ejemplo se tiene cuando se extienden los principios de la mecánica de dos tiempos a la de cuatro tiempos, pues sobre los mismos principios esenciales se estudia el fenómeno de una forma más amplia; otro ejemplo se puede ver cuando se pasa de las derivadas de funciones de una variable a las de funciones de varias variables.

Es muy importante ejercitar al alumno en este tipo de generalización, esto es, en las diferentes ocasiones en que el contenido que se imparte implica esta generalización, se debe asignar al alumno como tarea que haga las consideraciones necesarias para pasar a la nueva situación más general. Evidentemente en las primeras tareas de este tipo el estudiante sólo tendrá un éxito parcial, pues le resultará muy difícil poder prever todos los elementos necesarios. Pero esta actividad está entre las que el futuro profesional tendrá que hacer para mantenerse a la par del desarrollo científico técnico, por lo que es menester que sea entrenado en la misma.

El cuarto nivel, es en el que se está, cuando la generalización se logra mediante un cambio del problema con que se trabaja, aunque manteniéndose en el mismo modelo. Este cambio del problema puede ser, inmediato, cuando las variaciones no son esenciales, como cuando se trabaja con una fórmula cuyos coeficientes se caracterizan por determinada forma, y se introduce una variación al problema que determina un cambio en la forma de los coeficientes de la fórmula a través de la cual se resuelve el problema. Aunque esta es una generalización que no requiere de mucho desarrollo de las capacidades cognoscitivas, sí es necesario ejercitarla con el fin de que el alumno esté en condiciones de trabajar en las siguientes etapas.

También hay que tener en cuenta, que el cambio del problema puede ser mediato, esto es, cuando las variaciones al problema aunque manteniéndose dentro del mismo modelo determinan cambios esenciales en el mismo, este cambio se manifiesta por ejemplo si los cambios llegan a tal punto que aparentemente se ha producido un cambio en el modelo del problema, y para identificar el modelo original se requiere de cambios de variables, o algunas transformaciones especiales que permitan identificar el modelo original; un ejemplo al respecto es la ecuación:

cos2(x) + 5cos(x) + 6 = 0,

donde el estudiante no se percata que puede usar el modelo de la ecuación de segundo grado para resolver el problema planteado. Por lo tanto tenemos que ser cuidadosos de contemplar en nuestra actividad docente ambas situaciones, pues si empezamos por el segundo aspecto de este nivel, el estudiante lógicamente confrontará dificultades para realizar las tareas que le encomendemos y si nos quedamos en la primera etapa al estudiante le faltará preparación para enfrentar el quinto nivel de generalización, que trataremos a continuación y el cual debe alcanzar todo estudiante de ingeniería.

Después de todas las consideraciones anteriores, se puede enfocar el quinto y más complejo nivel de generalización, que consiste en la generalización con desarrollo de un nuevo modelo. Según S.L. Rubinstein: "La generalización descubre las conexiones necesarias sujetas a la ley de los fenómenos y faculta explicar las diversas manifestaciones de sus relaciones internas." Rubinstein S. L. (1959)

Realmente es así, pero este proceso pasa a través de la modelación del fenómeno, de forma que este (el fenómeno) pueda ser desbrozado de sus atributos no esenciales, y se pongan de manifiesto aquellas relaciones internas fundamentales para su estudio. La capacidad de orientación hacia lo esencial del material, es uno de los elementos que determina la capacidad de aprendizaje; por lo cual debe ser desarrollada tanto como sea posible, y como planteamos está asociada a la capacidad de desarrollar nuevos modelos para estudiar nuevos fenómenos. Aunque es por todos conocido que la habilidad de modelar es difícil de desarrollar en los estudiantes, pero también se tiene consenso de que es una habilidad que debe alcanzar todo estudiante de ingeniería; aunque por su complejidad está claro que le resulta muy difícil al estudiante lograrla directamente, por lo que es necesario el desarrollo de los niveles precedentes de generalización, para que el estudiante se encuentre en condiciones de arribar a esta meta.

Se puede decir que el estudiante está en este último nivel de generalización, cuando es capaz de obtener por sí mismo el nuevo modelo que le permite estudiar la nueva situación. Evidentemente este cambio de modelo tiene sus graduaciones propias, la nueva situación puede estar más o menos cerca de las situaciones y modelos conocidos por el estudiante, y este distanciamiento entre lo conocido y lo nuevo se logra vencer de forma efectiva si se desarrolla gradualmente la capacidad de generalización.

En el presente trabajo se demuestra que los estudiantes presentan dificultades en la evaluación de funciones, y se relaciona esta dificultad con pobres niveles del pensamiento teórico de los estudiantes, esta relación no se hace de manera empírica, la misma es resultado de investigaciones precedentes de los autores y de consideraciones teóricas derivadas de la bibliografía existente, en particular se pueden citar los trabajos de D. Tall.

Este autor, por su parte hace otro tipo de clasificación compatible con la de Blanco R., ya que tiene un sentido diferente, la clasificación de Tall (2002) plantea:

• La generalización extensiva.

• La generalización reconstructiva.

• La generalización disyuntiva.

En el primer tipo los diferentes casos se incorporan en el esquema establecido sin necesidad de transformar el esquema original. Este tipo de generalización es el que posibilita la apropiación de un concepto.

En el segundo, el sujeto tiene que reconstruir el esquema que posee del concepto, para poder identificar nuevos objetos que pertenecen al mismo. En el caso del concepto de función el sujeto tiene que reconstruir el esquema que tiene, para incluir el caso de la función definida por dos fórmulas.

En el último caso, el sujeto reconstruye el esquema, pero no logra incorporar esta reconstrucción al esquema original y conserva al esquema original y su reconstrucción, como dos esquemas con relativa independencia entre ellos. El sujeto ve como diferentes la función definida por una fórmula y la definida por más de una.

Por otra parte no se plantea que el desarrollo de la generalización teórica sea la solución radical para que los estudiantes evalúen correctamente las funciones, los problemas que se presentan en el proceso enseñanza aprendizaje, no se derivan de causas únicas. Pero los estudios realizados hasta la fecha nos permiten asegurar que la generalización teórica tiene un peso considerable en la habilidad de los estudiantes para evaluar funciones.

Conclusiones

El presente trabajo señala una dirección en la que se debe trabajar para lograr que los estudiantes mejoren sus posibilidades de usar el lenguaje matemático, lo cual es indudablemente un componente importante en el aprendizaje de esta ciencia.

Un manejo adecuado del concepto de función propicia tanto que el estudiante comprenda las ideas matemáticas, sino también que pueda expresar sus propias conclusiones y lo que es más importante aún materializar su pensamiento, para poder profundizar en el estudio del fenómeno.

Por último debemos agregar que el desarrollo de la generalización teórica es un elemento fundamental, no solo para el aprendizaje de la Matemática, también es básico para el desarrollo intelectual del estudiante, resulta imprescindible para su formación como profesional en la era del conocimiento.

Bibliografía

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• 8. Rubinstein S.L. (1959). El pensamiento y los caminos de su investigación. Edit. Pueblos Unidos S. A. Uruguay.

• 9. Tall D., Akkoc H. (2002) The Simplicity, Complexity And Complication Of The Function Concept. Mathematics Education Research Centre. University of Warwick, CV4 7AL, U.K.

h.akkoc[arroba]warwick.ac.uk , david.tall[arroba]warwick.ac.uk

 

 

 

 

Autor:

Dr. Ramón Blanco Sánchez

Lic. Yosbel Morales Olivera

Universidad de Camagüey, Cuba.