Resumen
Hasta ahora la única noción
que tenemos de una primitiva de integral en tres dimensiones (3D)
en el espacio R3, es el teorema de Stokes para campos
vectoriales conservativos (gradientes), cuya integral da como
resultado un campo escalar (potencial). De manera que la física adolece de una
herramienta matemática
para hallar primitivas de campos escalares y sus respectivas
aplicaciones en 3D. La inclusión de algunas
simetrías en el planteamiento del proceso de
integración, da como resultado nuevas
fórmulas de integración y la posibilidad de obtener
primitivas de algunas funciones
escalares de tres dimensiones. Además de un nuevo e
insospechable poder de
cálculo. En este ensayo
presentaremos dos ejemplos sencillos asociados a dos diferentes
tipos de expansión de las variables,
ligados también al tipo de simetría, que llamaremos
base triangular y base circular-elíptica.
Integrals in Symmetry on 3D (physical
integration)
Abstract:
Until now the only notion which we have of
a primitive of three dimensions (3D) integral in R3, is
the Stoke"s theorem for conservatives vectorial fields
(gradients), whose integral turn out a scalar field (potential).
So that the physics lack of mathematical tool to find primitive
of scalar fields and its applications in 3D. The inclusion of
some symmetries in the exposition of the integration process,
gives as result new formulas of integration and the possibility
to obtaining primitive from some scalar functions of three
dimensions. In addition to new and a powerful skill to be able to
calculation. In this test we will
display two simple examples associate so two different types of
expansion of variables, related also from the type of symmetry,
that we will call triangular and circular-elliptical
bases.
Introducción
Como es sabido la integral múltiple
por su definición es una integral definida, de modo que
hasta ahora hemos carecido de primitivas para el espacio R3. El
objetivo de
este trabajo es
presentar por vez primera Primitivas para integrales en
tres dimensiones, obtenidas a través de un algoritmo que
denominamos "Integración Simétrica" o
"integral física". Un concepto nuevo
que constituye una conexión entre el concepto
físico de simetría y el cálculo
matemático, y que pone de manifiesto que la ausencia de
primitivas en el espacio R3, es consecuencia de la incapacidad de
visualizar simetrías tridimensionales. Inversamente, la
percepción de simetrías implica
mayor capacidad en el poder de cálculo, como lo
demostraremos en algunos ejemplos que resaltan el inmenso
contraste de este nuevo procedimiento,
con el procedimiento tradicional de la integral
múltiple.
Integrales de Simetría: El
proceso que define la integración matemática, tal
cual lo conocemos hasta ahora, ha estado
subyugado al plano bidimensional (2D), sin embargo la
inclusión del concepto físico de simetría al
proceso de integración permite ampliar la
definición del cálculo integral por encima de la
capacidad y limitaciones inherentes de la visión humana
(Teorema de Valor Medio).
Esto trae como resultado un nuevo enfoque de una teoría
de un Cálculo Integral de varias variables
independientes en R3 (Integrales de Simetría), cuyo
mayor beneficio, que nos otorga, es el acceso a primitivas en
otras dimensiones, a través de un procedimiento por
demás sencillo y natural. Que como veremos, se hace
posible, si escogemos un patrón de expansión
para dichas variables, lo cual constituye una especie de
ligaduras entre ellas, pero que unívocamente define un
valor numérico para la simetría. Así, como
pronto veremos, para la expansión triangular y circular
corresponden valores 3 y 2,
respectivamente, en la simetría.
Algoritmo de Integración
simétrica: Llamaremos así al procedimiento a
priori de hallar una primitiva de una función
"Identidad"
a través del área bajo su curva. Cuyo
cálculo visualizamos por su simetría sobre una
figura que sirve de patrón, y cuya área es conocida
en forma analítica. Por ejemplo en el cálculo
tradicional 2D (ver figura 1.a) definimos la función
identidad I(x): f(x) = x, la figura que sirve de
patrón es el rectángulo cuya área es
b.h. En el mismo orden de ideas la función
identidad tiene simetría 2 dentro de la figura del
rectángulo. La primitiva es entonces la expresión
analítica que resulta del área del
rectángulo (b.h) entre la simetría de la
función que es 2:
Página siguiente |