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Integrales de Simetría (Integral Física) en 3D




Enviado por Adolfo Acosta



Partes: 1, 2

    1. Resumen
    2. Base
      circular elíptica
    3. Conclusiones
    4. Glosario
    5. Apéndice

    Resumen

    Hasta ahora la única noción
    que tenemos de una primitiva de integral en tres dimensiones (3D)
    en el espacio R3, es el teorema de Stokes para campos
    vectoriales conservativos (gradientes), cuya integral da como
    resultado un campo escalar (potencial). De manera que la física adolece de una
    herramienta matemática
    para hallar primitivas de campos escalares y sus respectivas
    aplicaciones en 3D. La inclusión de algunas
    simetrías en el planteamiento del proceso de
    integración, da como resultado nuevas
    fórmulas de integración y la posibilidad de obtener
    primitivas de algunas funciones
    escalares de tres dimensiones. Además de un nuevo e
    insospechable poder de
    cálculo. En este ensayo
    presentaremos dos ejemplos sencillos asociados a dos diferentes
    tipos de expansión de las variables,
    ligados también al tipo de simetría, que llamaremos
    base triangular y base circular-elíptica.

    Integrals in Symmetry on 3D (physical
    integration)

    Abstract:

    Until now the only notion which we have of
    a primitive of three dimensions (3D) integral in R3, is
    the Stoke"s theorem for conservatives vectorial fields
    (gradients), whose integral turn out a scalar field (potential).
    So that the physics lack of mathematical tool to find primitive
    of scalar fields and its applications in 3D. The inclusion of
    some symmetries in the exposition of the integration process,
    gives as result new formulas of integration and the possibility
    to obtaining primitive from some scalar functions of three
    dimensions. In addition to new and a powerful skill to be able to
    calculation. In this test we will
    display two simple examples associate so two different types of
    expansion of variables, related also from the type of symmetry,
    that we will call triangular and circular-elliptical
    bases.

    Introducción

    Como es sabido la integral múltiple
    por su definición es una integral definida, de modo que
    hasta ahora hemos carecido de primitivas para el espacio R3. El
    objetivo de
    este trabajo es
    presentar por vez primera Primitivas para integrales en
    tres dimensiones, obtenidas a través de un algoritmo que
    denominamos "Integración Simétrica" o
    "integral física". Un concepto nuevo
    que constituye una conexión entre el concepto
    físico de simetría y el cálculo
    matemático, y que pone de manifiesto que la ausencia de
    primitivas en el espacio R3, es consecuencia de la incapacidad de
    visualizar simetrías tridimensionales. Inversamente, la
    percepción de simetrías implica
    mayor capacidad en el poder de cálculo, como lo
    demostraremos en algunos ejemplos que resaltan el inmenso
    contraste de este nuevo procedimiento,
    con el procedimiento tradicional de la integral
    múltiple.

    Integrales de Simetría: El
    proceso que define la integración matemática, tal
    cual lo conocemos hasta ahora, ha estado
    subyugado al plano bidimensional (2D), sin embargo la
    inclusión del concepto físico de simetría al
    proceso de integración permite ampliar la
    definición del cálculo integral por encima de la
    capacidad y limitaciones inherentes de la visión humana
    (Teorema de Valor Medio).
    Esto trae como resultado un nuevo enfoque de una teoría
    de un Cálculo Integral de varias variables
    independientes en R3
    (Integrales de Simetría), cuyo
    mayor beneficio, que nos otorga, es el acceso a primitivas en
    otras dimensiones, a través de un procedimiento por
    demás sencillo y natural. Que como veremos, se hace
    posible, si escogemos un patrón de expansión
    para dichas variables, lo cual constituye una especie de
    ligaduras entre ellas, pero que unívocamente define un
    valor numérico para la simetría. Así, como
    pronto veremos, para la expansión triangular y circular
    corresponden valores 3 y 2,
    respectivamente, en la simetría.

    Algoritmo de Integración
    simétrica:
    Llamaremos así al procedimiento a
    priori de hallar una primitiva de una función
    "Identidad"
    a través del área bajo su curva. Cuyo
    cálculo visualizamos por su simetría sobre una
    figura que sirve de patrón, y cuya área es conocida
    en forma analítica. Por ejemplo en el cálculo
    tradicional 2D (ver figura 1.a) definimos la función
    identidad I(x): f(x) = x, la figura que sirve de
    patrón es el rectángulo cuya área es
    b.h. En el mismo orden de ideas la función
    identidad tiene simetría 2 dentro de la figura del
    rectángulo. La primitiva es entonces la expresión
    analítica que resulta del área del
    rectángulo (b.h) entre la simetría de la
    función que es 2:

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