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El número áureo (página 2)




Enviado por Jhoel Guerra



Partes: 1, 2

Los griegos creían en la existencia de unas
proporciones armoniosas para el cuerpo, que buscaban aplicar en
sus esculturas. Durante el renacimiento,
dichas proporciones quedaron plasmadas en este famoso dibujo de
Leonardo Da Vinci: el "Homo Vitrubio", que ilustra el libro "La
Divina Proporción" de Luca Pacioli, editado en
1509.

Definición

Se dice que dos números positivos a y
b están en razón áurea si y
sólo si:

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Para obtener el valor de
Monografias.coma partir de esta
razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y
que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la
razón áurea deben cumplir que:

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Multiplicando ambos lados por x y
reordenando:

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Mediante la fórmula general de las ecuaciones de
segundo grado se obtiene que las dos soluciones de
la ecuación son

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La solución positiva es el valor del
número áureo, y esto es una prueba formal de que el
número áureo es irracional, ya que incluye la
raíz de un número primo.

Números? – ?(3) – v2 – v3 – v5 – f
a – e – p – d

Binario

1,1001111000110111011…

Decimal

1,6180339887498948482…

Hexadecimal

1,9E3779B97F4A7C15F39…

Fracción continua

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Algebraico

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HISTORIA DEL NÚMERO
ÁUREO

Existen numerosos textos que sugieren que el
número áureo se encuentra como proporción en
ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de
2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique
que el número áureo fue usado conscientemente por
los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También
es importante notar que cuando se mide una estructura
complicada es fácil obtener resultados curiosos si se
tienen muchas medidas disponibles. Además para que se
pueda considerar que el número áureo está
presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente
obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas
que defienden la presencia del número áureo. Por
todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable
que los babilonios hayan descubierto el número
áureo.

La razón
áurea  

El valor numérico de esta razón, que se
simboliza normalmente con la letra griega "fi" (f ),
es:

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La fama que tiene de estético le viene dada por
el rectángulo áureo cuya altura y anchura
están en la proporción 1 a f .

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Rectángulo
áureo

Es decir, si siendo su altura a y su anchura b se cumple
que

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Esto es lo primero que te sugerimos comprobar: que la
mayoría de los rectángulos que nos encontramos en
nuestra vida cotidiana son áureos. Para ello mide tu
D.N.I., un libro, el
carnet del instituto o cualquier otro rectángulo que
lleves contigo y divide la medida más larga entre la
más corta y comprueba si da un número aproximado a
f.

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Las fachadas de muchos edificios como, por
ejemplo, la del Partenón también guardan una
proporción aproximada a la razón
áurea.

La razón áurea también
podemos encontrarla en otras figuras geométricas, por
ejemplo el pentágono regular, en el que la razón
entre la diagonal y el lado cumple la divina
proporción

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Pero lo que quizás nos pueda resultar más
curioso es la presencia de la razón áurea en la
naturaleza.
Hay enigmáticas conexiones de la espiral de los nautilus
(un tipo de caracola) y las espirales de los girasoles con la
razón áurea.

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 También los cuerpos humanos
exhiben proporciones cercanas a la razón áurea,
como puede verse comparando la altura total de una persona con la
que hay hasta su ombligo.

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El número
áureo

En el arte

Durante los últimos siglos, creció el
mito de que
los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción
numérica específica, esencial para sus ideales de
belleza y geometría.
Dicha proporción es conocida con los nombres de. Aunque
recientes investigaciones
revelan que no hay ninguna prueba que conecte esta
proporción con la estética griega, esta sigue manteniendo un
cierto atractivo como modelo de
belleza.

Matemáticamente nace de plantear la
siguiente proporcionalidad entre dos segmentos y que dice
así: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el
segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre
la suma de los dos segmentos y el mayor"

Sean los segmentos:

A: el mayor y B el menor, entonces planteando la
ecuación es:

A/B =(A+B)/A

Cuando se resuelve se llega a una ecuación de
2do. grado que para obtener la solución hay que aplicar la
resolvente cuadrática.

El valor numérico de esta razón, que se
simboliza normalmente con la letra griega "fi" es:

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  Los griegos de la
antigüedad clásica creían que la
proporción conducía a la salud y a la belleza. En su
libro Los Elementos (300 a. C.), Euclides demostró la
proporción que Platón
había denominado «la sección», y que
más tarde se conocería como «sección
áurea». Ésta constituía la base en la
que se fundaba el arte y la arquitectura
griegos; el diseño
del Partenón de Atenas está basado en esta
proporción. En la Edad Media, la
sección áurea era considerada de origen divino: se
creía que encarnaba la perfección de la
creación divina. Los artistas del Renacimiento la
empleaban como encarnación de la lógica
divina. Jan Vermeer (1632-1675) la usó en Holanda; pero,
años después, el interés
por ella decreció hasta que, en 1920, Piet Mondrian
(1872-1944) estructuró sus pinturas abstractas
según las reglas de la sección
áurea.

También conocido como la Divina
Proporción, la Media Áurea o la Proporción
Áurea, este ratio se encuentra con sorprendente frecuencia
en las estructuras
naturales así como en el arte y la arquitectura hechos por
el hombre, en
los que se considera agradable la proporción entre
longitud y anchura de aproximadamente 1,618. Sus extrañas
propiedades son la causa de que la Sección Áurea
haya sido considerada históricamente como divina en sus
composiciones e infinita en sus significados. Los antiguos
griegos, por ejemplo, creyeron que el entendimiento de la
proporción podría ayudar a acercarse a Dios: Dios
«estaba» en el número.

Sin duda alguna. es cierto que la armonía se
puede expresar mediante cifras, tanto en espacios
pictóricos o arquitectónicos, como en el reino de
la música
o, cómo no, en la naturaleza. La armonía de la
Sección Áurea o Divina Proporción se revela
de forma natural en muchos lugares. En el cuerpo humano,
los ventrículos del corazón
recuperan su posición de partida en el punto del ciclo
rítmico cardiaco equivalente a la Sección
Áurea. El rostro humano incorpora este ratio a sus
proporciones. Si se divide el grado de inclinación de una
espiral de ADN o de la
concha de un molusco por sus respectivos diámetros, se
obtiene la Sección Áurea. Y si se mira la
forma en que crecen las hojas de la rama de una planta, se puede
ver que cada una crece en un ángulo diferente respecto a
la de debajo. El ángulo más común entre
hojas sucesivas está directamente relacionado con la
Sección Áurea.

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En arte y la arquitectura también se han
usado con extraordinarios resultados las famosas propiedades
armoniosas de a Sección Áurea. 1 las dimensiones de
la Cámara Real de la Gan Pirámide se basan
en la Sección Áurea; el arquitecto Le Corhusier
diseño su sistema Modulor
basándose
en la utilización de la
proporción áurea, el pintor Mondrian
basó la mayoría de sus obras en la
Sección Áurea: Leonardo la incluyó en
muchas de sus pinturas y Claude Dehussy se sirvió
de sus propiedades en la música. La Sección
Áurea también surge en algunos lugares
inverosímiles: los televisores de pantalla ancha, las
postales, las
tarjetas de
crédito
y las fotografías se ajustan por lo común a sus
proporciones. Y se han llevado a cabo muchos experimentos para
probar que las proporciones de los rostros de las top models se
adecuan más estrechamente a la Sección Áurea
que las del resto de la población. lo cual supuestamente explica
por qué las encontramos bellas.

Propiedades
algebraicas

  • F es el único número real positivo tal
    que:

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    La expresión anterior es fácil de
    comprobar:

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    • F posee además las siguientes
      propiedades:

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      • Las potencias del número áureo
        pueden ser escritas en función de una suma de
        potencias de grados inferiores del mismo
        número, estableciendo una verdadera
        sucesión recurrente de potencias.

      El caso más simple es: Fn = Fn – 1 + Fn –
      2, cualquiera sea n entero positivo. Este caso es una
      sucesión recurrente de orden k = 2, pues se
      recurre a dos potencias anteriores.

      Una ecuación recurrente de orden k tiene
      la forma a1un + k – 1 + a2un + k – 2 + … + akun, donde
      ai es cualquier número real o complejo y k es un
      número natural menor o igual a n y mayor o igual a
      1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1.Pero
      podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y
      escribir:

      Fn = Fn – 2 + 2Fn – 3 + Fn – 4. Aquí k =
      4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1.

      Si anulamos a las dos potencias inmediatamente
      anteriores, también hay una fórmula
      recurrente de orden 6:

      Fn = Fn – 3 + 3Fn – 4 + 3Fn – 5 + Fn –
      6

      En general:

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      ; Monografias.comk un número par, Monografias.comMonografias.com

      En resumen: cualquier potencia del número
      áureo puede ser considerada como el elemento de
      una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6,
      8, …, 2n; donde n es un número natural. En la
      fórmula recurrente es posible que aparezcan
      potencias negativas de F, hecho totalmente correcto.
      Además, una potencia negativa de F corresponde a
      una potencia positiva de su inverso, la sección
      áurea.

      Este curioso conjunto de propiedades y el hecho
      de que los coeficientes significativos sean los del
      binomio, parecieran indicar que entre el número
      áureo y el número e hay un
      parentesco.

      • El número áureo Monografias.comes la unidad
        fundamental «e» del cuerpo Monografias.comy la
        sección áurea Monografias.comes su inversa, «Monografias.com». En esta
        extensión el «emblemático»
        número irracional Monografias.com cumple las siguientes
        igualdades:

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      Representación mediante fracciones
      continuas

      La expresión mediante fracciones
      continuas es:

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      Esta iteración es la única donde
      sumar es multiplicar y restar es dividir. Es
      también la más simple de todas las
      fracciones continuas y la que tiene la convergencia
      más lenta. Esa propiedad hace que además el
      número áureo sea un número mal
      aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el
      peor grado de aproximabilidad mediante racionales
      posible.

      Representación mediante ecuaciones
      algebraicas

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      El número áureo Monografias.com y la sección
      áurea Monografias.com son soluciones de las siguientes
      ecuaciones:

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      Representación
      trigonométrica

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      Estas corresponden al hecho de que el lado de un
      pentágono regular es f veces la longitud de su
      radio
      y de otras relaciones similares en el
      pentágrama.

      En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones
      relacionando al número áureo con el
      número de la Bestia:

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      Lo que puede combinarse en la
      expresión:

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      Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones
      dependen de que se elijan los grados sexagesimales como
      unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen
      para unidades diferentes.

      Representación mediante raíces
      anidadas

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      Esta fórmula como caso particular de una
      identidad general publicada por Nathan
      Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly,
      1917.

      El teorema general dice:

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      La expresión (donde ai =
      a), es igual a la mayor de las raíces de la
      ecuación x² – x – a = 0; o
      sea,

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      Relación con la serie de
      Fibonacci

      Si se denota el enésimo número de
      Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
      Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n
      aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente
      menor y mayor que la razón áurea. Podemos
      también notar que la fracción continua que
      describe al número áureo produce

      siempre números de Fibonacci a medida que
      aumenta el número de unos en la fracción.
      Por ejemplo: Monografias.com=1.5,Monografias.com =1.6, y Monografias.com=1.615384…, lo que se acerca
      considerablemente al número áureo. Entonces
      se tiene que:

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      Esta propiedad fue descubierta por el
      astrónomo italiano Johannes Kepler, sin embargo,
      pasaron más de cien años antes de que fuera
      demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

      A mediados del siglo XIX el matemático
      francés Jacques Phlipe Marie Binet
      redescubrió una fórmula que aparentemente
      ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro
      matemático francés, Abraham de Moivre. La
      fórmula permite encontrar el enésimo
      número de Fibonacci sin la necesidad de producir
      todos los números anteriores. La fórmula de
      Binet depende exclusivamente del número
      áureo:

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      El
      número áureo en la
      geometría

      El número áureo y la
      sección áurea están presentes en
      todos los objetos geométricos regulares o
      semiregulares en los que haya simetría pentagonal,
      pentágonos o aparezca de alguna manera la
      raíz cuadrada de cinco.

      • Relaciones entre las partes del
        pentágono.

      • Relaciones entre las partes del
        pentágono estrellado, pentáculo o
        pentagrama.

      • Relaciones entre las partes del
        decágono.

      • Relaciones entre las partes del dodecaedro y
        del icosaedro.

      EL RECTÁNGULO ÁUREO DE
      EUCLIDES

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      Euclides obtiene el rectángulo
      áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El
      rectángulo BEFC es asimismo
      áureo.

      El rectángulo AEFD es áureo porque
      sus lados AE y AD están en la proporción
      del número áureo. Euclides en su
      proposición 2.11 de Los elementos obtiene su
      construcción.>

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      Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo
      tanto

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      resultando evidente que

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      de donde, finalmente

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      Por otra parte, los rectángulos AEFD y
      BEFC son semejantes, de modo que éste
      último es asimismo un rectángulo
      áureo.

      El pentagrama
      y el número áureo

      El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es
      número y su emblema el pentagrama o
      pentágono regular estrellado. En el
      pentágono estrellado figura el número
      áureo infinidad de veces.

      Veamos qué relación existe entre
      el pentágono regular y el pentágono regular
      estrellado.

      Si consideramos el lado del pentágono la
      unidad, basta aplicar el teorema del coseno al
      triángulo ABC y resulta que AC es igual al
      número áureo.

      El teorema del coseno afirma que en todo
      triágulo un lado al cuadrado es igual a la suma de
      los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
      producto de ellos por el coseno del
      águlo comprendido.

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      En nuestro caso, aplicando dicho teorema al
      triángulo ABC, tendremos:

      AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2 AB. AC. cos
      (108)

      y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta:

      AC 2 = 2 – 2 cos (108)

      Extrayendo la raiz cuadrada:

      AC = 1,6180340…

      Considerando el lado del pentágono
      regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma
      inmediata las siguientes expresiones:

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      ¿ Qué pudo hacer que los
      pitagóricos sintieran tanta admiración por
      el número áureo ?.

      Casi con toda seguridad, para la escuela
      pitagórica la consideración del irracional
      5 1/2, de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2, tuvo que
      causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.

      Si tienes alguna duda de las relaciones del
      número áureo con el pentágono
      estrellado… ¡mira!, y así hasta el
      infinito. Siempre que encuentres un pentágono
      regular podrás hacer lo mismo.

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      Dado un segmento AB, se dice que está
      dividido en media y extrema razón, cuando: "[…]
      si hay de la parte pequeña a la parte grande la
      misma relación que de la grande al todo"
      (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el
      nombre de Divina Proporción.

      La Proporción Áurea fascinó
      como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas
      y perdura en nuestros días. Los pintores y
      escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta…
      y también los impresores. En el gráfico de
      la izquierda se puede apreciar el diseño de la
      caja y los márgenes de un libro según la
      normas
      de la Divina Proporción. En el de la derecha
      aparece la reproducción de un incunable
      impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se
      trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna).
      Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones
      divinas. Una joya.

      Pentagrama que ilustra algunas de las razones
      áureas: los segmentos rojo y azul, azul y verde,
      verde y morado.

      El número áureo tiene un papel muy
      importante en los pentágonos regulares y en los
      pentagramas. Cada intersección de partes de un
      segmento, intersecta a otro segmento en una razón
      áurea.

      El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco
      acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos,
      la razón de lado mayor y el menor es f. Estos
      triángulos se conocen como los triángulos
      áureos.

      Teniendo en cuenta la gran simetría de
      este símbolo se observa que dentro del
      pentágono interior es posible dibujar una nueva
      estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del
      mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el
      exterior, que sería a su vez el pentágono
      interior de una estrella más grande. Al medir la
      longitud total de una de las cinco líneas del
      pentáculo interior, resulta igual a la longitud de
      cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea F.
      Por lo tanto el número de veces en que aparece el
      número áureo en el pentagrama es infinito
      al anidar infinitos pentagramas.

      El Teorema de Ptolomeo y el
      Pentágono

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      Se puede calcular el número áureo usando
      el teorema de Ptolomeo en un pentágono
      regular.

      Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido
      como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un
      pentágono regular mediante regla y compás.
      Aplicando este teorema al cuadrilátero formado al
      remover uno de los vértices del pentágono,
      Si las diagonales y la base mayor miden a, y los lados y
      la base menor miden b, resulta que
      b2 = a2 + ab lo que implica:

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      Relación con los sólidos
      platónicos

      El número áureo esta relacionado
      con los sólidos platónicos, en particular
      con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones
      están dadas en términos del número
      áureo. Los vértices de un icosaedro puden
      darse en coordenadas cartesianas por los siguientes
      puntos: (0,f, 1), (0,f, -1), (0, – f, 1), (0, – f, -1),
      (1, 0,f), (1, 0, – f), (-1, 0,f), (-1, 0, – f), (f, 1,
      0), (f, -1, 0), ( – f, 1, 0), ( – f, -1, 0)

      Los vértices de un dodecaedro
      también se puden dar en términos similares:
      (0, f,f), (0,f, – f), (0, – f,f), (0, – f, – f), (f,
      0,f), (f, 0, – f), ( – f, 0,f), ( – f, 0, – f), (f,f, 0),
      (f, -Phi, 0), (-phi,f, 0), (-phi, -Phi, 0), (1, 1, 1),
      (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1,
      -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

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      Las 12 esquinas de los rectángulos
      coinciden con los centros de las caras de un
      dodeacaedro.

      Para un dodecaedtro con aristas de longitid a,
      su volumen y su área total se puden
      expresar también en términos del
      número áureo:

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      Si tres rectángulos áureos se
      solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de
      los rectángulos áureos coinciden
      exactamente con los vértices de un icosaedro, y
      con los centros de las caras de un dodecaedro:

      El punto que los rectángulos tienen en
      común es el centro tanto del dodeaedro como del
      icosaedro.

      Rectángulo Áureo

      Un rectángulo especial es el llamado
      rectángulo áureo. Se trata de un
      rectángulo armonioso en sus
      dimensiones.

      Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio
      de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los
      vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia
      sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado
      mayor del rectángulo.

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      Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es
      claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo
      que la proporción entre los dos lados
      es:

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      A este número se le llama número
      de oro,
      se representa por el símbolo – y su valor es
      1,61803…, lo obtuvieron los griegos al hallar la
      relación entre la diagonal de un pentágono
      y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a
      Leonardo da Vinci.

      En "el hombre
      ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del
      cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por
      centro el ombligo, es el número de oro.

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      Otra propiedad de este rectángulo es que
      si se colocan dos iguales como en la figura de la
      derecha, se forma otro rectángulo áureo
      más grande.

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      Los egipcios ya conocían esta
      proporción y la usaron en la arquitectura de la
      pirámide de Keops (2600 años
      a.C.).

      Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus
      de Boticelli. Esta razón también la usaron
      en sus producciones artistas del Renacimiento. En
      España, en la Alhambra, en
      edificios renacentistas como El Escorial… y en la
      propia Naturaleza en las espirales de las conchas de
      ciertos moluscos.

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      Los griegos también la usaron en sus
      construcciones, especialmente El Partenón, cuyas
      proporciones están relacionadas entre sí
      por medio de la razón áurea.

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      El símbolo – para la relación
      áurea fue elegido por el matemático
      americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la
      primera del nombre de Phidias que solía usar la
      relación áurea en sus
      esculturas.

      También se ha usado en el diseño
      del DNI, en la construcción de muebles, marcos
      para ventanas, camas, etc.

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      EL NÚMERO ÁUREO EN LA
      NATURALEZA

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      sección está en duda. Por favor,
      véase la página de discusión de este
      artículo

      Concha de nautilus en espiral
      logarítmica

      En la naturaleza, hay muchos elementos
      relacionados con la sección
      áurea:

      • No hay simetría pentagonal ni
        pentágonos en la materia inanimada. El
        pentágono surge únicamente en los seres
        vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene
        forma pentagonal.

      • Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de
        los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la
        sucesión que lleva su nombre para calcular el
        número de pares de conejos n meses
        después de que una primera pareja comienza a
        reproducirse (suponiendo que los conejos están
        aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando
        tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la
        fecundación hasta la parición y cada
        camada es de dos conejos). Este es un problema
        matemático puramente independiente de que sean
        conejos los involucrados. En realidad, el conejo
        común europeo tiene camadas de 4 a 12
        individuos y varias veces al año, aunque no
        cada mes, pese a que la preñez dura 32
        días. El problema se halla en las
        páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que
        fue el que llegó hasta nosotros, y parece que
        el planteo recurrió a conejos como pudiera
        haber sido a otros seres; es un soporte para hacer
        comprensible una incógnita, un acertijo
        matemático. El cociente de dos términos
        sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a
        la sección áurea o al número
        áureo si la fracción resultante es
        propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede
        con toda sucesión recurrente de orden dos,
        según demostraron Barr y Schooling en la
        revista The Field del 14 de diciembre de
        1912.

      • La relación entre la cantidad de
        abejas macho y abejas hembra en un panal.

      • La disposición de los pétalos
        de las flores (el papel del número
        áureo en la botánica recibe el nombre
        de Ley de Ludwig).

      • La distribución de las hojas en un
        tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.

      • La relación entre las nervaduras de
        las hojas de los árboles

      • La relación entre el grosor de las
        ramas principales y el tronco, o entre las ramas
        principales y las secundarias (el grosor de una
        equivale a F tomando como unidad la rama
        superior).

      • La distancia entre las espirales de una
        piña.

      • La relación entre la distancia entre
        las espiras del interior espiralado de cualquier
        caracol
        (no sólo del nautilus) Hay por lo menos tres
        espirales logarítmicas en las que se puede
        encontrar de alguna manera al número
        áureo. La primera de ellas se caracteriza por
        la relación constante igual al número
        áureo entre los radiovectores de puntos
        situados en dos evolutas consecutivas en una misma
        dirección y sentido. Las conchas del Fusus
        antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de
        Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras,
        siguen este tipo de espiral de crecimiento.4
        5 Se debe entender que en toda
        consideración natural, aunque involucre a las
        ciencias consideradas más
        matemáticamente desarrolladas, como la
        Física, ninguna relación o constante
        que tenga un número infinito de decimales
        puede llegar hasta el límite
        matemático, porque en esa escala no
        existiría ningún objeto físico.
        La partícula elemental más diminuta que
        se pueda imaginar es infinitamente más grande
        que un punto en una recta. Las leyes observadas y
        descriptas matemáticamente en los organismos
        las cumplen transgrediéndolas
        orgánicamente.

      El
      número áureo en la
      religión

      Un estudio realizado por la SARU (Science and
      religion united = ciencia y religión unidas) en noviembre del
      año 2005, analizó meticulosamente el
      "Evangelio Prohibido de Judas"
      descubierto a principios del año 2000(aquel que
      afirma que en realidad Jesús le pidio a Judas que
      lo traicione). Entre otros hallazgos, fue notorio el
      hecho de que se detallaran las medidas de la cruz en la
      cual Jesucristo fue crucificado, y más
      sorprendentemente, una de sus características: el
      trozo de madera
      más largo de esta medía 3,23 m
      aproximadamente; mientras que el trozo más corto
      tenía una longitud aproximada de 2m. Lo curioso
      fue que notaron que al dividir la longitud del trozo
      mayor por la del menor se obtiene (usted mismo puede
      comprobarlo) 1,615, que es el valor aproximado de
      F.

      Otro estudio de la SARU, en este caso sobre el
      Santo Sudario (la tela en que se cree que Jesús
      fue envuelto en su sepulcro), en el que se presentan
      marcas
      y traumas físicos propios de la
      crucifixión; demuestra que las marcas alrededor
      del cráneo que, según se cree, fueron
      causadas por la corona de espinas, se presentan en forma
      de espiral logarítmico, y consecuentemente sus
      espinas siguen la sucesión de Fibonacci. Por lo
      que se cree, el sudario fue falsificado por Da
      Vinci.

      El
      número áureo en el ser
      humano

      • La relación entre la altura de un ser
        humano y la altura de su ombligo.

      • La relación entre la distancia del
        hombro a los dedos y la distancia del codo a los
        dedos.

      • La relación entre la altura de la
        cadera y la altura de la rodilla.

      • La relación entre el primer hueso de
        los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o
        entre la primera y la segunda, o entre la segunda y
        la tercera, si dividimos todo es phi.

      • La relación entre el diámetro
        de la boca y el de la nariz

      • Es phi la relación entre el
        diámetro externo de los ojos y la línea
        inter-pupilar

      • Cuando la tráquea se divide en sus
        bronquios, si se mide el diámetro de los
        bronquios por el de la tráquea se obtiene phi,
        o el de la aorta con sus dos ramas terminales
        (ilíacas primitivas).

      El
      número áureo en la
      música

      Es necesario aclarar que cuando se menciona al
      número áureo en una realización
      artística de cualquier naturaleza no se
      está haciendo mención al número
      áureo de los matemáticos, un irracional con
      infinitos decimales, sino a una aproximación
      racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo
      hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud
      indefinida y un compás de abertura fija o
      variable. Generalmente se utilizan cocientes de
      números pertenecientes a la sucesión de
      Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por
      defecto o por exceso, según la necesidad o la
      sensibilidad humana y hasta la capacidad de
      separación tonal de cada instrumento. Un
      violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio
      de tono. El oído humano sano y entrenado
      distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un
      ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala
      atemperada o templada. Esta es una escala
      logarítmica. Se creó muy poco tiempo
      después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada
      está basada en Este número irracional tiene infinitos
      decimales, pero la afinación se hace redondeando
      las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De
      cualquier manera, el error tonal total cometido no es
      superior al doceavo de tono y el oído humano no lo
      nota. La uniformidad de la separación de las notas
      y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite
      comenzar una melodía por cualquier nota sin que se
      produzcan las desagradables disonancias de la escala
      diatónica y la escala física. De la misma manera se
      actúa con la distribución de tiempos o la altura
      de los tonos usando el número áureo; con
      una aproximación racional que resulte
      práctica. Existen numerosos estudios al respecto,
      principalmente de la Universidad de Cambridge.

      • Autores como Bártok, Messiaen y
        Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas
        unidades formales se relacionan (a propósito)
        con la sección áurea.

      • El compositor mexicano Silvestre Revueltas
        (1899-1945) utilizó también el
        número áureo en su obra
        Alcancías, para organizar las partes (unidades
        formales).

      • El grupo de rock progresivo norteamericano
        Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen
        múltiples referencias al número
        áureo y a la sucesión de Fibonacci,
        sobre todo en la canción que da nombre al
        disco, pues los versos de la misma están
        cantados de forma que el número de
        sílabas pronunciadas en cada uno van
        componiendo dicha secuencia. Además la voz
        entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema
        decimal coincide muy aproximadamente con el
        número áureo.

      Zeysing notó la presencia de los
      números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de
      Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes
      a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del
      acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o
      tercia mayor invertida en do mayor), están entre
      sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos
      del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta
      mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la
      razón tres quintos

      Vocabulario

      • Número algebraico

      Un número algebraico es cualquier
      número real o complejo que es solución de
      una ecuación polinómica

      • Segmentos

      Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta
      que está comprendido entre dos puntos

      • Mito

      Un mito (del griego µ????,
      mythos, 'cuento') es un relato de hechos
      maravillosos protagonizado por personajes sobrenaturales
      (dioses, semidioses, monstruos) o extraordinarios
      (héroes).

      • Proporcionalidad

      La proporcionalidad es una
      relación entre magnitudes medibles. Es uno de los
      escasos conceptos matemáticos ampliamente
      difundido en la población. Esto se debe a que es
      en buena medida intuitiva y de uso muy común. La
      proporcionalidad directa es un caso particular de las
      variaciones lineales. El factor constante de
      proporcionalidad puede utilizarse para expresar la
      relación entre cantidades

      • Partenón

      El Partenón es uno de los principales
      templos dóricos que se conservan. Sus dimensiones
      son: 69,5 metros de largo, 31 de anchura y 10,93 de
      altura

      Conclusiones

      El descubrimiento de este número se
      atribuye a la escuela Pitagórica, de hecho los
      pitagóricos utilizaban como símbolo la
      estrella de cinco puntas, en la que aparecen distintas
      razones áureas.

      Es fácil encontrar distintas
      proporciones áureas en diversas figuras. Este
      número aparece repetidamente en el mundo que nos
      rodea, como elemento de diseño en construcciones
      arquitectónicas tan antiguas como la
      pirámide de Keops, o en distintos seres vivos,
      tanto en el reino vegetal (flores, semillas,…) como en
      el reino animal (estrellas de mar, caracolas que crecen
      en función de relaciones
      áureas,…) Leonardo
      da Vinci en su "Esquema de las proporciones del
      cuerpo humano" señala distintas relaciones
      áureas que existen en el ser humano.

      Cuando la razón entre las
      dimensiones de un rectángulo es el número
      de oro, el rectángulo recibe el nombre de
      áureo. Los rectángulos áureos, son
      proporcionados, y por eso se utilizan frecuentemente en
      el arte.

      Bibliografía

      • El número de oro. Matila C. Ghyka.
        Ed. Poseidón

      • Matemáticas e imaginación. E.
        Kasner/J. Newman. Ed. Salvat

      • Instantáneas matemáticas. Hugo
        Steinhaus. Ed. Salvat

      • Miscelánea matemática. Martin
        Gardner. Ed. Salvat

      • Circo matemático. Martin Gardner.
        Alianza Editorial

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