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Teoría del error

Enviado por Ana Maria Gonzalez



Partes: 1, 2

  1. Propagación de errores
  2. El error en el método de Newton
  3. El error de interpolación en el proceso de interpolación polinómica de Lagrange
  4. Error en la regla de los trapecios
  5. Error en la regla de Simpson
  6. El error en el método de Taylor de orden superior
  7. Bibliografía

El objetivo del presente documento es exponer las bases de la teoría de errores, aplicada en varios temas relacionados con los métodos numéricos existentes, con el fin de entenderlos y tener un manejo claro de estos temas. En el documento además se exponen varios ejemplos y al final del mismo se encuentra una lista de material bibliográfico.

Es muy difícil estimar el error total en el que se incurre al resolver un problema práctico. Por ello se han propuesto varios métodos computacionales para estimar esos errores, entre los cuales se encuentran los siguientes:

  • Uso de la doble precisión.

En este método se resuelve el problema dos veces; una con precisión sencilla y la otra con doble precisión, donde la diferencia de los dos resultados es una estimación del error total de redondeo.Este método supone que todos los otros errores son menos significativos.

Desventajas

  • Es costoso (en extremo) en tiempo de operación de la computadora

  • Aritmética de intervalo.

Este método consiste en representar cada número por dos números en la máquina; el valor máximo y el valor mínimo que puede tener, y cada vez que se realice una operación se calculan sus valores máximo y mínimo obteniéndose dos soluciones en cada etapa y la solución verdadera estará necesariamente entre el máximo y el mínimo.Es frecuente que en este método se suponga la solución verdadera cerca de la mitad del intervalo, lo cual no es válido en todos los casos.

Desventajas

  • Aritmética de dígitos significativos.

Este método intenta no perder de vista los dígitos significativos que se pierden al hacer operaciones en la máquina y al final del cálculo es necesario asegurarse que todos los dígitos retenidos son significativos. Es usual descartar dígitos que se piensa que no son significativos.

Desventajas

  • Se pierde información cuando se descartan dígitos.

  • Los resultados obtenidos tienden a ser muy conservativos

  • Enfoque estadístico

En este método se adopta un modelo estocástico de la propagación del error de redondeo, en el cual los errores locales se tratan como si fueran variables aleatorias y se supone que están distribuidos uniformemente o normalmente entre sus valores extremos. Usando la estadística se puede obtener la desviación estándar, la varianza y estimativos del error de redondeo acumulado.

Este método implica un análisis detallado y tiempo adicional de computador, pero proporciona buenos estimadores del error.

Propagación de errores

En una materia como análisis numérico en que se usa el computador, es muy importante conocer la propagación del error en algún punto del proceso de cálculo. Y dado que los errores están de alguna manera relacionados con las cantidades y las operaciones que se hacen con ellas, es necesario conocer o encontrar las expresiones para las cuatro operaciones fundamentales, tanto para el error absoluto como para el error relativo en función de dos operandos y sus errores.

SUMA Se tienen dos aproximaciones, Monografias.comy Monografias.coma dos valores verdaderos, X y Y, junto con sus errores respectivos, e X y eY.

Tendremos entonces:

Monografias.com

El error en la suma, que indicaremos mediante eX+Y, es por tanto,

RESTA

eX+Y = eX + eY

De una manera semejante obtenemos

eX-Y = eX - eY


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