Teoría del error

1. Propagación de
   errores
2. El error
   en el método de Newton
3. El error
   de interpolación en el proceso de interpolación
   polinómica de Lagrange
4. Error en
   la regla de los trapecios
5. Error en
   la regla de Simpson
6. El error
   en el método de Taylor de orden
   superior
8. Bibliografía

El objetivo del
presente documento es exponer las bases de la teoría
de errores, aplicada en varios temas relacionados con los
métodos
numéricos existentes, con el fin de entenderlos y
tener un manejo claro de estos temas. En el documento
además se exponen varios ejemplos y al final del mismo se
encuentra una lista de material bibliográfico.

Es muy difícil estimar el error total en el que
se incurre al resolver un problema práctico. Por ello se
han propuesto varios métodos
computacionales para estimar esos errores, entre los cuales se
encuentran los siguientes:

• Uso de la doble
  precisión.

En este método se
resuelve el problema dos veces; una con precisión sencilla
y la otra con doble precisión, donde la diferencia de los
dos resultados es una estimación del error total de
redondeo.Este método supone que todos los otros errores
son menos significativos.

Desventajas

• Es costoso (en extremo) en tiempo de
  operación de la computadora

• Aritmética de
  intervalo.

Este método consiste en representar
cada número por dos números en la máquina;
el valor máximo y el valor mínimo
que puede tener, y cada vez que se realice una operación
se calculan sus valores
máximo y mínimo obteniéndose dos soluciones en
cada etapa y la solución verdadera estará
necesariamente entre el máximo y el
mínimo.Es frecuente que en este método se
suponga la solución verdadera cerca de la mitad del
intervalo, lo cual no es válido en todos los
casos.

Desventajas

• Requiere más del doble de tiempo
  de operación de la computadora y cerca del doble de
  almacenamiento de una operación normal.

• Aritmética de dígitos
  significativos.

Este método intenta no perder de
vista los dígitos significativos que se pierden al hacer
operaciones en
la máquina y al final del cálculo es
necesario asegurarse que todos los dígitos retenidos son
significativos. Es usual descartar dígitos que se piensa
que no son significativos.

Desventajas

• Se pierde información cuando se
  descartan dígitos.

• Los resultados obtenidos tienden a ser
  muy conservativos

• Enfoque
  estadístico

En este método se adopta un modelo
estocástico de la propagación del error de
redondeo, en el cual los errores locales se tratan como si fueran
variables
aleatorias y se supone que están distribuidos
uniformemente o normalmente entre sus valores extremos. Usando la
estadística se puede obtener la
desviación estándar, la varianza
y estimativos del error de redondeo
acumulado.

Este método implica un análisis detallado y tiempo
adicional de computador,
pero proporciona buenos estimadores del error.

Propagación de
errores

En una materia como
análisis numérico en que se usa el computador, es
muy importante conocer la propagación del error en
algún punto del proceso de
cálculo. Y dado que los errores están de alguna
manera relacionados con las cantidades y las operaciones que se
hacen con ellas, es necesario conocer o encontrar las expresiones
para las cuatro operaciones fundamentales, tanto para el error
absoluto como para el error relativo en función de
dos operandos y sus errores.

SUMA Se tienen dos aproximaciones,
y a dos valores verdaderos,
X y Y, junto con sus errores respectivos, e
X y eY.

Tendremos entonces:

El error en la suma, que indicaremos
mediante eX+Y, es por tanto,

RESTA

eX+Y = eX + eY

De una manera semejante
obtenemos

eX-Y = eX – eY