Teoría del error (página 2)

MULTIPLICACIÓN

En este caso se tiene

Suponemos que los errores son mucho mas pequeños
que las aproximaciones, e ignoramos el producto de
los errores. Entonces:

y

DIVISIÓN

Tenemos

Multiplicando el denominador por y reacomodando términos
obtenemos

El factor en paréntesis puede desarrollarse en
serie mediante una división:

Efectuando la multiplicación y despreciando todos
los términos que contienen productos o
potencias de orden superior al primero de eX y
eY tenemos

por lo tanto

Debe observarse que rara vez conocemos el signo de un
error. Por ejemplo, no se debe inferir que la suma incrementa
siempre el error y que la resta siempre lo disminuye simplemente
porque los errores se suman en la adición y se restan en
la substracción. Si los errores tienen signos
diferentes ocurrirá precisamente lo contrario.

Como tenemos ahora fórmulas para la
propagación de los errores absolutos en las cuatro
operaciones
aritméticas básicas, podemos fácilmente
dividir y obtener los errores relativos. Para la suma y la resta
los resultados han sido reacomodados para mostrar
explícitamente el efecto de los errores en los
operandos:

Suma

Resta

Multiplicación

División

El Error Absoluto en una cantidad es la
diferencia entre el valor
verdadero, suponiendo que se conoce, y una aproximación al
valor verdadero.

Así, si:

X = cantidad verdadera.una aproximación a la
cantidad verdadera.eX = error absoluto.

Tenemos que:

X = eX

De acuerdo a nuestra
definición:

eX = X –

El Error Relativo se define como el cociente del
error absoluto entre la aproximación

Parecería más razonable definirlo como el
error absoluto dividido entre el valor verdadero, pero
generalmente no conocemos éste. Todo lo que tenemos,
generalmente, es un valor aproximado y una estimación del
error o un límite al tamaño máximo del
error.

El error absoluto y el error relativo
son aproximadamente iguales para números cercanos a uno.
Para números no cercanos a uno puede haber una gran
diferencia.

Existen tipos básicos de errores en
una computación numérica:
inherentes, por truncamiento, y por redondeo,
entre otros. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en
forma relativa.

• Errores inherentes

Son errores que existen en los valores de
los datos, causados
por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas
equivocaciones, o por la naturaleza
necesariamente aproximada de la representación, mediante
un número finito de dígitos, de cantidades que no
pueden representarse exactamente con el número de
dígitos permisible.

Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo,
podemos escribirlo como 3.14, 3.1416,
3.1415926535589793…, etc. En muchos casos aún
una fracción simple no tiene representación decimal
exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente
como una sucesión finita de números 3.
Muchas fracciones que tienen representación finita en un
sistema no la
tienen en otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y
en binario es 0.000110011001100…

• Errores por
  truncamiento

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que
requiere un número infinito de pasos. Note que el error de
truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende
directamente del sistema numérico que se emplee

Por ejemplo podemos utilizar la serie
infinita de Taylor para
calcular el seno de cualquier ángulo X,
expresado en radianes:

Por supuesto que no podemos usar todos los
términos de la serie en un cálculo, porque la serie
es infinita; entonces, los términos omitidos introducen un
error por truncamiento.

• Errores por redondeo

El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta
del sistema numérico de máquina de punto flotante,
el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada
número (real) se reemplaza por el número de
máquina más cercano. Esto significa que todos los
números en un intervalo local están representados
por un solo número en el sistema numérico de punto
flotante.

En otras palabras, estos errores se introducen en los
procesos de
computación por el hecho de que los computadores trabajan
con un número finito de dígitos después del
punto decimal y tienen que redondear.

Como nos interesa el redondeo de punto flotante,
revisaremos la forma de representación de un número
de punto flotante.

Recordando que cada número lo podemos representar
por una fracción generalmente llamada Mantisa, la
cual está multiplicada por una potencia del
número base, llamada generalmente el Exponente.
Entonces tenemos números como los siguientes:

• Error significativo

Tener presente este tipo de error significa que el
número de cifras significativas (es decir, que tengan
sentido y sean válidas) es algunas veces menor de lo
esperado. Ocurre con mayor frecuencia cuando se restan
números casi iguales, pero también puede ocurrir
cuando varios números de magnitud y signo diferentes se
suman o cuando se emplea un divisor relativamente
pequeño. 

• Error propagado

Puede definirse como el error de salida provocado por un
error en la entrada, suponiendo que todos los cálculos
intermedios se efectúan exactamente (en particular, sin
error de redondeo). Incluye la evaluación
de funciones
cuando el valor del dominio es
aproximado, raíces de polinomios cuyos coeficientes se han
redondeado o aproximado, etc. Por supuesto, en una
situación realista todos los tipos de error pueden
intervenir, de modo que la salida de un proceso contendrá
el error propagado más los errores generados en el
proceso.

Se puede determinar un límite al error relativo
máximo que puede ocurrir en un resultado aritmético
obtenido con redondeo truncado. El error relativo máximo
ocurre cuando gY es grande y fY es
pequeño. El valor máximo posible de gY es
menor que 1.0; el valor mínimo de fY es
0.1, por lo que el valor absoluto del error relativo
es:

Entonces se observa que el máximo error relativo
por redondeo en el resultado de una operación
aritmética de punto flotante no depende del tamaño
de las cantidades, sino del valor numérico de
dígitos que se manejen.

El tipo mas conocido de redondeo, que se
denomina generalmente redondeo simétrico, puede
describirse como sigue.

Dadas las dos partes de un resultado como
en el caso anterior, la aproximación redondeada a
Y está dada por:

en que Y tiene el mismo signo que fY.
La adición en el segundo renglón de la
ecuación corresponde a sumar 1 al último
dígito retenido si el primer dígito que se pierde
es igual o mayor que 5. Se describen los símbolos de valor absoluto para indicar que
las mismas fórmulas se aplican a cantidades positivas y
negativas.

Si gY < 1/2, el error absoluto
es

Si el error absoluto es

De cualquier manera, tenemos la siguiente
ecuación multiplicado por un factor cuyo valor absoluto no
es mayor que 1/2. El valor absoluto del error absoluto
es, por lo tanto

y el valor absoluto del error relativo es
entonces

Si f representa la mantisa de un número
de punto flotante, y e el exponente podemos expresar en
forma general un número de punto flotante en base decimal
como:

En donde sabemos que f no puede ser menor que
1/10 puesto que los números han sido normalizados
y no puede llegar a ser la primera ecuación porque la
mantisa es una fracción propia.

Ahora si realizamos la suma de los
números:

El computador se
encarga de la colocación del punto y compara los
exponentes para desplazar hacia la derecha el punto para
alinearlos. Entonces para el ejemplo hace lo
siguiente:

Así se pueden sumar directamente las dos
mantisas. Obviamente, la mantisa de la suma tiene mas de cuatro
dígitos. Antes de redondear, el resultado puede mostrarse
como dos cantidades de punto flotante:

Cualquier resultado proveniente de la realización
de las cuatro operaciones aritméticas puede indicarse,
antes de ser redondeado, por la forma general:

en donde t es el
número de dígitos de fY.

El intervalo de valores
posibles de fY es:

y el intervalo de variación de
gY es:

Para un ejemplo de la diferencia entre las dos reglas de
redondeo, considérese el siguiente resultado de alguna
operación aritmética:

Para redondeo truncado

y

( aproximadamente igual
a)

Para la operación que llamamos
redondeo simétrico,

y

Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se
derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por
ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se
miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una
esfera se tiene que medir el diámetro. La pregunta que
queremos responder aquí es cómo los errores en las
magnitudes que se miden directamente se propagarán para
obtener el error en la magnitud derivada. Sólo daremos los
resultados. Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es
una función de
los parámetros, x, y, z, etc., o sea:

y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente
y que conocemos sus errores, a los que designamos en el modo
usual como etc.
Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado
por:

En rigor las derivadas
involucradas en esta ecuación son derivadas parciales
respecto de las variables
independientes x, y, z, etc. En el caso especial que la
función V(x,y,z,..) sea factorizable como potencias de x,
y, z, etc., la expresión anterior puede ponerse en un modo
muy simple. Supongamos que la función en cuestión
sea:

Entonces:

Para cálculos preliminares, esta expresión
puede aproximarse por:

Esta última expresión para la
propagación de los errores se conoce con el nombre de
aproximación de primer orden, mientras que la
expresión se
la denomina usualmente aproximación de segundo
orden.

Otro caso particular de interés es
Z = x ± y. Obtenemos

El error en el
método de Newton

Definición: Si se dice que () tiene orden
de convergencia si

Si la
convergencia es lineal.

Si la
convergencia es cuadrática.

Teorema: la sucesión de Newton-Raphson
tiene orden de convergencia cuadrática.

Teorema: Sea una raíz de tal que . Supongamos que existen y tales que y Entonces si () es la sucesión de
Newton-Raphson y converge a se tiene

Nota: Otros procedimientos de
paro que se
van a poder aplicar
a cualquier técnica iterativa es que dado un cierto
pararemos
cuando

Ejemplo

Aplicando el método de
Newton-Raphson resolver la ecuación

El error de
interpolación en el proceso de interpolación
polinómica de Lagrange

Soporte: formado por (n+1) puntos distintos de (a,
b)

Función que se interpola:
f(x)

Valores de la función en el
soporte:

Polinomio interpolador de Lagrange:

Teorema

Si entonces

a) Si x* ?el teorema es
evidente.

b) Si x* ?

Sea

Se verifica que

F(x) tiene
al menos (n+2) raíces distintas en (a,b).

Aplicando n veces el teorema de Rolle,

tiene al
menos una raíz

E(x*)=

Ejemplo

Sea la función f : x ? 2.x

a) Calcular y representar gráficamente los
polinomios de base de Lagrange asociados al soporte {0.2,
1.0}

b) Hallar el polinomio p(x) que interpola f(x) en
el sentido de Lagrange sobre el soporte {0.2, 1}

c) Obtener la expresión del error de
interpolación

d) Hallar una cota de error válida en todo
(0.2, 1)

Representación Gráfica de
Lagrange

Polinomio interpolador de Lagrange

Expresión del error

Aplicamos la expresión

Como el número de puntos es n+1=2, se deriva dos
veces f(x)

Cota de error

g(x) = f''(x)

Dado que la función g(x) es continua
en [0.2, 1], su mayor valor absoluto en [0, 2] será el
mayor de los siguientes:

Valor de |g(x)| en las abscisas de
[0.2, 1] para las que g"(x) = 0.

De donde g(0.75) 0.0539

Valor de |g(0.2)|y de |g(1)| (extremos
del intervalo)

g(0.2) 0.5838 = 0.5838

g(1) 0.0397 = 0.0397

El mayor valor absoluto de entre las anteriores
respuestas es: 0.5838 (obtenido para x = 0.2)

Error en la regla
de los trapecios

Recordando la fórmula para el error en la
interpolación, se tiene que si es el polinomio de interpolación
lineal de Lagrange para la función en los nodos y entonces para el error al aproximar mediante es

Y entonces x

Donde es
un número que depende de y

Luego, el error en la aproximación obtenida al
usar la regla de los Trapecios en el intervalo que se denomina error
local, es

Como no
cambia ningún signo en el intervalo entonces por el teorema
del valor medio ponderado para integrales, se tiene
que

Para algún

El error total al aplicar la regla de los
Trapecios, es decir, el error que se comete al aplicar la regla
de los Trapecios sobre todo el intervalo [a,b], es

Para algún

(*) la igualdad se
debe a la aplicación del teorema del valor intermedio a la
función f "", que suponemos continua en el
intervalo [a,b].

La fórmula anterior del error en la regla de los
Trapecios indica que si f es una función lineal, entonces
la regla de los Trapecios es exacta, es decir, para todo k=0,1,…, N-1, ya
que si f(x)=cx+d, entoncesy para todo

Volviendo a la fórmula para el error
total, tenemos que
si

para toda

Entonces

(h=(b-a)/N)

Error en la regla
de Simpson

Como el término que aparece en la fórmula de error al
interpolar por un polinomio de interpolación de Lagrange
(de grado menor o igual que 2) usando los nodos cambia de signo en el
intervalo [], no es posible obtener una fórmula para el
error al aplicar la regla de Simpson, sin embargo se puede
demostrar que el error al emplear la regla de Simpson en el
intervalo [], llamado error local, está dada
por

Donde h=(b-a)/N y k=0,2,…,N-2.

Entonces el error al aplicar la regla de Simpson sobre
todo el intervalo [a,b], es decir, el error total,

( (*) La igualdad se debe al cambio de
variable k=2p: si k=0, entonces p=0, y si
k=N-2, entonces p=(N-2)/2)

Esto implica que la regla de Simpson es exacta cuando se
aplica a polinomios de grado menor o igual que 3, que es un grado
más de lo que era de esperarse, ya que estamos aproximando
la función f por medio de polinomios de grado
menos o igual que dos.

Si para
toda entonces

Ejemplo

Use las reglas de los Trapecios, Simpson con N ??6 ,
para estimar Cuál es la cota de error en la
estimación para cada caso?

En este ejemplo f(x)= que es continua en todo R, por tanto
se satisfacen las hipótesis para que se puedan aplicar las
reglas de integración numéricas
vistas.

Si N=6, entonces h=(b-a)/N= y los
puntos de partición son

Entonces,

i) Regla de los Trapecios

En este caso el error es

para
algún y como
entonces

Lo que garantiza una precisión de por lo menos
una cifra decimal exacta en la aproximación
calculada.

ii) Regla de Simpson

Según esta regla

El error en la aproximación es

para
algún y
como

y
para toda entonces

lo que
garantiza una precisión de por lo menos cuatro cifras
decimales exactas en la aproximación calculada.

El error en el
método de Taylor de orden superior

Para obtener un método de orden 2
podemos considerar el desarrollo de
Taylor truncado en el término de h2. Más
concretamente, usando la aproximación

se obtiene un nuevo método de
aproximación; a saber:

donde los valores de e que aparecen en la expresión
anterior se calculan desde la ecuación diferencial del
P.V.I. como sigue:

Supongamos que la función es veces derivable en el intervalo y con ésima derivada
continua en y
derivable en y sea
el polinomio de
Taylor de la función definido por

Entonces, el error de Taylor se expresa de la siguiente
forma:

• Fórmula del resto de Taylor
  en forma de Lagrange.

• Fórmula del resto de Taylor
  en forma de Cauchy.

EJEMPLO

Encuentre un valor aproximado para sen(35º)
utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el
error.

a) f(x) = sen(x)

b) xo = p /6
               30º
en radianes

f (x) = sen(x)
                f(p
/6) = 0.5

f ' (x) = cos(x)
              f
' (p /6) = 0.8660254

f '' (x) = -sen(x)
            f
'' (p /6) = -0.5

f (3) (x) = -cos(x)
          f '
(p /6) = -0.8660254

f (4) (x) = sen(x)

Que sustituyendo,

Para x = p /6 +

sen(35º) = 0.5 + 0.0755749 –
0.001903858 – 0.000095922 + E3

sen(35º) = 0.57357512 +
E3

En la expresión para el error al aproximar con un
polinomio de grado 3

E3 = (0.00000241)sen(c)

Si

para x en el intervalo (a,b)

entonces

Se ve que si | x – xo | 1 , cuando n crece indefinidamente el numerador
de la fracción anterior se acerca a cero y el denominador
tiende a infinito, por lo que la fracción tenderá a
cero, es decir, En 0 cuando n En general

para todo valor real de k

por lo que si | x – xo | > 1
también se cumplirá que En 0 cuando n

Definiciones

• Exactitud: la cercanía con la cual la
  lectura de un instrumento de medida se aproxima al valor
  verdadero de la variable medida.

• Precisión: una medida de la
  repetibilidad de las mediciones. Dado un valor fijo de una
  variable, la precisión es la medida del grado con el
  cual, mediciones sucesivas difieren una de la
  otra.

• Incertidumbre: grado de exactitud, seguridad
  o confianza con que fue hecha la medición.

• Error: la desviación del valor
  verdadero al valor medido.

Bibliografía

• 1. Introducción a la Teoría
  de Errores. Taylor E. Ed. MIR. Moscú.
  1985.

• 2. Teoría de los Errores.
  Giamberardino Vincenzo. Ed. Reverté. México.
  1986.

• 3. "Teoría de errores",
  Alexander Canela Rincón,
  http://newton.javeriana.edu.co/articulos/cifra

• 4. Error en la
  Interpolación Polinómica de Lagrange,
  Arturo Hidalgo López, Alfredo López Benito,
  Carlos Conde Lázaro, marzo del 2007,
  www.iafe.uba.ar/e2e/metodosnumericos/lagrange/lagrange.html.

• 5. Metodo de Taylor,
  error.
  http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.
  Métodos numéricos,
  platon.itchihuahua.edu.mx/course/category.php.

• 6. Teoría de
  errores,
  luda.uam.mx/curso2/tema1/error02.html.

• 7. Teorema de Taylor,
  

• 8. Apuntes de J. Lorente,
  http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf

Autoras:

Ana María González
Urueta

Tatiana Alejandra Oquendo
G.

Análisis Numérico

Prof.: Eduardo Estrada Kassir

Ingeniería de Sistemas

Pontificia Universidad
Javeriana

11 de Junio de 2008