Administración para la producción (página 6)

 ?     
Ordenación de datos en tablas
de frecuencia

Para mayor comodidad en el análisis y extracción de
conclusiones es primordial proceder al ordenamiento de los
datos:

?        
Amplitud Total o Recorrido de la Variable (a).  Es la
diferencia que se establece entre el valor mayor XM
y el valor menor Xm, más uno, es decir:

 ?        
Intervalo de Clase
(i).  A los números extremos y los incluidos en
ellos forman el intervalo de clase: 16-20 está
formado por 16, 17, 18, 19, 20.  Los números extremos
constituyen los límites de
clase: en el intervalo 16-20, significa que empieza en 16 y
termina en 20.  Aclaramos que estos límites no son
reales, ya que, el intervalo 16-20 varía desde 15,5 hasta
20,5 que son los límites verdaderos en su orden, al
primero se llama límite real inferior (Li) y al segundo
límite real superior (Ls).  A la diferencia de los
límites reales se denomina tamaño o ancho del
intervalo, es decir:

 En una serie estadística, el ancho del intervalo es un
número entero supuesto, de preferencia impar, a efecto de
que su marca de clase
sea un entero.

 ?        
Marca de Clase (Xm).  Se denomina al valor medio de
cada intervalo;  es decir, del ejemplo de intervalo
quedaría así:

?        
Número de Intervalo (ni) es un número entero
que representa la totalidad de clases.  La fórmula
que define al número de intervalos es:

NOTA: El número conveniente de intervalos
oscila entre 3 y 15 para evitar la concentración y
dispersión de las frecuencias, en este orden.

?        
Ejercicio de Aplicación

En una clase de 39 alumnos se han obtenido estas
calificaciones en la asignatura de Estadística:

¿Determinar la amplitud (a) y el número de
intervalos, si el ancho (i) se decide que sea 3?

 AMPLITUD

Se encuentra el Valor mayor  XM = 
19

Luego encontramos el valor menor  Xm =
04

Como:

 A = (XM – Xm) +
1   (19 – 4)   + 1 = 15

  NUMERO DE INTERVALOS

        
ni =  a  /  i +  1 15 /  3 ) + 1  =  5,0 +
1   =   6,0

  ?        
Tabulación de datos.  Es el proceso que
ordena el material agrupando en  forma
conveniente:

?        
Serie estadística, constituye un conjunto de
valores de una
variable ordenada ascendente o descendentemente:

  ?        
Serie estadística de frecuencias. Es el
ordenamiento de la variable ascendente o descendentemente,
pudiendo repetirse algunos valores, mismos deben exponerse en
tablas.

PROCESO

1.   Se ordena la variable en forma ascendente
(o descendente)

2.   Se escribe en tablas los datos repetidos
mediante rayas horizontales o verticales.

3.   Se suma el número de rayas, para
formar la columna de las frecuencias.

Ejemplo de peso de ganado vacuno, en
arrobas:

 Ordenación de datos y
determinación de frecuencia

?        
Serie Estadística de Intervalos.  Es el
ordenamiento de valores en forma ascendente o descendente, de
acuerdo a los intervalos de clase que han sido previamente
establecidos.

 PROCESO

1.   Encontramos la amplitud o recorrido
(a)

2.   Proponemos el ancho del intervalo
(i)

3.   Calculamos el número de intervalo
(ni)

4.   Construimos la columna de los intervalos,
de modo que el límite superior del primer intervalo sea el
mayor valor de la variable.  A este límite se resta
el ancho del intervalo y se le agrega 1, obteniendo el
límite inferior, quedo así el primer
intervalo.

5.   El segundo intervalo se obtiene restando
el ancho del intervalo a los límites del primero, y
así sucesivamente.

6.       En el
último intervalo debe incluirse el menor valor de la
variable.

7.       Efectuamos la
ubicación y el conteo de los valores
repetidos.

8.       Construimos la
columna de frecuencias.

Ejemplo.

El peso en kilogramos  de  75 cerdos, luego de
haber administrado una ración alimenticia, es:

Desarrollo

1.   Encontramos la amplitud o recorrido (a);
como tenemos XM = 79 y Xm = 34 Entonces aplicamos la
formula.

a = (XM – Xm)  + 1   = (79 – 34 )+
1

a =  46

 2.   Proponemos que el
ancho de intervalo sea  i = 5

3.   Se calcula el Número de Intervalo;
con la amplitud que es a = 46 y el intervalo que es i =
5

ni  =  (a / i) + 
1       ni =  (46 / 5) +1
ni  = 10,2  ?  10

 4.   Construimos la columna
de los intervalos; Si el límite superior del primer
intervalo es 79 (ls), entonces:

li = (ls – i) + 1 = (79-5) + 1 = 75, por tanto,
primer intervalo (79-75).

 El Segundo Intervalo
(74-70);

El Tercer Intervalo    
(69-65)

El Cuarto Intervalo    
(64-60)

El Quinto Intervalo    
(69-65)

5.   En el último conteo se debe
incluir el valor menor de la variable entonces queda así:
El Ultimo Intervalo (34-     
30)

6.       Ubicación
y conteo de los valores repetidos y señalamos con
rayas.

7.     Cconstrucción de
la columna de las frecuencias en forma descendente, haciendo
corresponder a cada intervalo una frecuencia. 

Ordenación de datos y número
de datos repetidos (F) por intervalo

 ?     
Frecuencia Acumulada o Efectivos Acumulados

Efectivo acumulado o frecuencia acumulada es la suma de
las frecuencias a partir del menor valor de la
variable.  La tabla anterior queda de esta forma con las
frecuencias o efectivos acumulados.

Representación de la frecuencia
acumulada

Desarrollo:

Empezamos por la última frecuencia del
último intervalo así: 

1                           
=         
01

(1+8)                     
=         
09

(9+11)                   
=         
20

(20+15)                 
=         
42

(35+22)                 
=         
57

(57+8)                   
=         
65

(65+4)                   
=         
69

(69+5)                   
=         
74

(74+0)                   
=         
74

(74+1)                   
=         
75

?      Frecuencia Relativa
(Fr)

 Frecuencia relativa es la
relación entre la frecuencia de la variable y el
número total de casos (N), es decir:

La suma de las frecuencias relativas siempre es igual a
1

 Ejemplo:

Determine la columna de frecuencia relativa de la
distribución del peso en un ejemplo de 120
toretes.

Obtención de la frecuencia
relativa

Desarrollo:

Numero de casos N = 120

Fórmula    fr  =  f /
N

Primer caso para 48 Kg.
                      
 fr =      8 / 120 
=         
0,067

Segundo caso para 53
Kg.        
            
fr =     23 / 120
=         
0,192

Etc…

  ?     
Porcentaje de las Frecuencias (P %)

El porcentaje de la frecuencia es el valor que
corresponde a cada frecuencia y que está dado por cada 100
casos de un hecho investigado. Su fórmula es:

Es decir P es igual al producto de la
frecuencia por 100 dividido para el número total de casos
N.

La suma de los porcentajes de las frecuencias relativas
siempre es igual a 100

Ejemplo

Calcular el porcentaje de las frecuencias de la
distribución del ejemplo anterior.

Determinación del porcentaje de
frecuencias

Desarrollo:

Numero de casos N = 120

P   
=           
(f  * 100) / N

P   
=          (8 *
100)/120    
P         
=         
6,67

P   
=          (23 *
100)/120  
P         
=         
19,67

P   
=          (48 *
100)/120  
P         
=         
40,00

P   
=          (2 *
100)/120    
P         
=         
1,67

?      Porcentaje de las
Frecuencias Acumuladas (Pa)

Este porcentaje se lo determina a través de la
fórmula: 

 El límite superior siempre es
igual al 100%

Ejemplo:

Determine los porcentajes de las frecuencias de la
distribución del ejemplo anterior.

Determinación del porcentaje de
frecuencias acumuladas

 Desarrollo:

4.3.2.    Métodos
Gráficos

Las gráficas de distribución de
frecuencia, son útiles porque ponen de relieve y
aclaran las tendencias que no se captan fácilmente en las
tablas.  Atraen la atención del lector sobre las tendencias de
los datos, las gráficas nos ayudan además a
resolver los problemas
concernientes a las distribuciones de frecuencias, estimar
algunos valores con una simple observación y nos brindan una
verificación gráfica de la veracidad de nuestras
soluciones.

Las gráficas que se describen: Diagrama de
Barras, Diagrama de Puntos, Histogramas, Polígonos de Frecuencias, Ojivas o
Polígono de Frecuencia Acumulada, Diagrama de
Sectores.

?        
Diagramas de barras

Se lo utiliza para representar datos de una variable
continua y está constituido por rectángulos o
barras cuyas áreas son proporcionales a los datos de un
fenómeno. Para su construcción se debe tener en
cuenta:

Una escala
adecuada

El ancho de las barras debe ser uniforme

La distancia entre las barras tiene que ser
constante

Los diagramas de
barras mas utilizados son:

a) Diagrama de barras verticales

b) Diagramas de barras horizontales

c) Diagrama de barras compuestas

a.)       
Diagramas de barras verticales

Consiste en un conjunto de rectángulos que
están ubicados en el primer cuadrante de un sistema de
coordenadas. En el eje de las abscisas se ubican las variables y en
el eje de las ordenadas se ubica la frecuencia.

Ejemplo:

Representar en diagramas de barras verticales el
número de ovinos de  Granjas Experimentales de la
Provincia de Loja.

b.)     Diagrama de barras
horizontales

En este tipo de diagrama, en el eje de las abscisas se
ubican las frecuencias y en el de las ordenadas se ubican las
variables.

Ejemplo:

Con los datos de la tabla anterior, representada la
gráfica en barras horizontales tenemos
así:

 c.)    Diagrama de
barras compuestas

Se lo utiliza para representar dos series de datos y
así poder efectuar
comparaciones.

Para representar mediante este diagrama seguimos los
siguientes    pasos:

1.                 
Sumamos las frecuencias de las dos series

2.                 
Utilizamos el primer cuadrante del sistema de coordenadas para
representar las variables en el eje de las abscisas y las
frecuencias en el eje de las ordenadas.

3.                 
Representamos en cada una de las barras el total de las
frecuencias de las dos series

4.                 
Ubicamos en cada una de las barras las frecuencias de cada una de
las variables.

5.                 
Si se trata de una serie estadística de intervalos,
ubicamos los puntos medios de cada
intervalo en el eje de las abscisas.

Ejemplo:

Representar en barras compuestas las calificaciones del
Módulo III, del centro de apoyo de Loja y de Ambato, de la
Carrera en Administración y Producción Agropecuaria:

d.)  Diagrama de Puntos

Sirven para presentar gráficamente tablas en las
cuales se consideran únicamente una variable y una
cantidad asociada a cada valor de la misma.

A continuación presentamos dos tipos de diagramas
de puntos. Los dos muestran esencialmente la misma información, sólo que en diferente
forma y con diferente propósito. La construcción de
estos diagramas se describe enseguida:

a)   El primer tipo de diagrama de puntos se
construye colocando en el eje horizontal los valores de la
variable (los cuales en muchos casos son arbitrarios) y en el eje
vertical las cantidades asociadas a éstos. Finalmente,
para cada valor de la variable y cada cantidad asociada se
dibujan puntos cuya altura corresponde a la magnitud de dicha
cantidad.

b)   Para construir el segundo tipo de
diagramas de puntos se colocan en el eje horizontal los valores
de la variable y sobre cada valor se dibujan tantos puntos como
veces aparezcan éstos.

Ejemplo:

Para ilustrar la construcción del primer tipo de
diagrama de puntos consideremos los datos, Número de
estudiantes de la Carrera en Administración y Producción
Agropecuaria en los centros de apoyo:

Con objeto de simplificar la presentación,
primero identificaremos a cada Centro de apoyo con un
número; así, por ejemplo, Loja, se
identificará con el número 1, Quito con el
número 2, y así sucesivamente. Hecho lo anterior,
tendremos que la variable en cuestión corresponde a los
diferentes Centros de Apoyo (X) y los valores numéricos
que pueden tomar son 1, 2, … las cantidades asociadas a estos
números son los totales de estudiantes. A
continuación se presenta la gráfica
resultante:

Con los datos del siguiente cuadro estadístico,
los mismos que representan el número de alumnos de la
Carrera en Administración y Producción Agropecuaria
en los centros de apoyo:

Número de estudiantes de la Carrera en
Administración y Producción Agropecuaria en los
centros de apoyo:

                                                                     
CENTROS DE APOYO

Diagrama de puntos que corresponde a los totales de la
Carrera en Administración y Producción Agropecuaria
en los centros de apoyo:

e.) Histograma

Llamaremos Histograma a la gráfica de barras
verticales sin espaciamiento entre ellas, construida colocando en
el eje vertical a las frecuencias absolutas o relativas y en el
eje horizontal a los límites de clase de una tabla de
frecuencias. Lo anterior implica que si los intervalos de clase
son iguales, sobre cada clase se erigen rectángulos cuyas
áreas son proporcionales a las frecuencias de clase. Las
etapas que se deben cubrir en la construcción de un
histograma son las siguientes:

1.   Colocar en el eje horizontal a los
límites de clase.

2.   En el eje vertical las
frecuencias

3.   Dibujar rectángulos cuya base son
las clases y su altura las    frecuencias que
corresponden a cada clase.

 
         
                              
30      
40        50 
      60         
70        
80      
90       
100  

     
                                                      
Límites de clase (calificaciones)

 f.)   Polígono de
Frecuencias

Un Polígono de Frecuencia, es una gráfica
de líneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar
en el eje horizontal a los valores medios de clase y en el
vertical a las frecuencias relativas o absolutas. Debe hacerse
notar que el procedimiento
equivale a unir los puntos medios de la cara superior de los
rectángulos de un histograma por medio de líneas
rectas.

En la figura, se muestra el
polígono de frecuencias para los datos del ejemplo
anterior

30     
35       45   
55     65     
75     85   
95      100

 Valor medio de clase del
número de estudiantes de la Carrera en
Administración y Producción Agropecuaria en los
centros de apoyo:

Una Ojiva o Polígono de Frecuencias Acumuladas
(PFA), es una gráfica construida con segmentos de
líneas rectas que unen los puntos obtenidos al colocar en
el eje horizontal a los límites superiores de clase y en
el vertical a las frecuencia acumuladas absolutas o relativas. En
la figura se presenta la ojiva que corresponde a las frecuencias
de la Carrera en Administración y Producción
Agropecuaria en los centros de apoyo:

30      
40      
50       
60      
70      
80        90   
100

 Límites superiores de Clase
(calificaciones)

Nótese que se ha considerado también al
límite inferior de la primera clase y que se ha asignado
una frecuencia acumulada de cero.  Asimismo,
obsérvese que, por su naturaleza una
ojiva es no decreciente.

e.)    Gráfico Circular
(pastel)

Nos permite distribuir los 360° de un círculo
en forma proporcional a las frecuencias que integran a cada una
de las variables.

Ejemplo:

Número de ovinos de las Granjas Experimentales de
la Provincia de Loja.

1.                 
Se distribuye los 360° para los 7 Colegios utilizando la
fórmula:

 2.                 
Obtener el porcentaje con la siguiente fórmula:

3.    Construimos el Diagrama de sectores
haciendo que el Radio de la
Circunferencia tenga una longitud cualquiera y la
localización de las partes la iniciamos del semieje
positivo de las X y siguiendo un sentido contrario a la
rotación de las manecillas del reloj. Para lo cual
utilizamos un graduador.

  4.3.3.    Medidas de tendencia
central

 Al igual que los promedios, las
medidas de tendencia central nos indican el punto medio o
típico de datos que cabe esperar; también reciben
el nombre de medidas de localización.  Las
medidas de tendencia central que estudiaremos son tres: Media
aritmética, Mediana y Moda
(o).

?      La Media 
Aritmética

La media aritmética, comúnmente llamada
media o promedio se calcula sumando todas las observaciones
individuales de una muestra y dividiendo esta suma por el
número de observaciones en la muestra. La media de una
muestra representa el centro de las observaciones en la
muestra. 

Sabemos que una observación individual se
simboliza por Xi, que representa la i-ésima
observación de la muestra. Cuatro observaciones las
escribiremos simbólicamente como sigue:

 Definiremos el tamaño de la
muestra, n, como el número de la misma.  Así,
en una gran muestra podemos escribir la sucesión de datos
desde el primero hasta el enésimo en la forma.

 Si deseamos escribir la suma de todas
las observaciones, utilizaríamos la notación
siguiente:

 La igualdad i = 1
significa que los valores (datos) deben de ser sumados empezando
por el primero y terminando por el enésimo, como nos
indica la igualdad i = n escrita encima del signo X. Los
sub.-índices y superíndices son necesarios para
indicar cuantos valores se van a sumar.  

La letra ? nos indica que es lo que debemos hacer con
las variables que lo siguen.  Los signos de
sumatoria con subíndices y superíndices dan una
formulación explicita de la operación.  Sin
embargo,  es mejor omitir los subíndices y
superíndices, especialmente para los lectores no matemáticos.  Se puede hacer una
simplificación del signo de sumatoria  conforme se
demuestra a continuación

 Con lo cual la fórmula de la
media aritmética sería:

 ?     
Media Geométrica

Algunas variables pueden ser transformadas en otras que
son sus logarítmicas o reciprocas.  Si calculamos las
medias de las nuevas variables transformadas y encontramos los
valores de estas medias en la escala original, nos daremos cuenta
que no son los mismos que si hubiésemos calculado las
medias aritméticas de las variables originales.  Las
medias resultantes han recibido nombres especiales en
estadística.  La media re transformada de la variable
logarítmica se denomina media
geométrica.    Su expresión matemática
viene dada por:

 Fórmula que indica que la
media geométrica G.M.x es el antilogaritmo de la media de
los logaritmos de la variable X. Dado que la suma de logaritmos
es equivalente al producto de sus antilogaritmos, otra manera de
representar la media geométrica será:

?      Media
Armónica

La inversa de la media aritmética de los
recíprocos de los valores primitivos de la variable X se
denomina media armónica.  Si la simbolizamos por Hx,
la fórmula de la media armónica puede expresarse
como:

 ?     
Mediana

La mediana M es un estadístico central utilizado
ocasionalmente en la
investigación biológica.  Se define como
aquel valor de la variable que posee igual número de
valores al uno y otro de sus lados.  De esta manera, la
mediana divide a la distribución de  frecuencias en
dos mitades.  En la siguiente muestra de cinco
medidas,

14, 15, 16, 19, 23

 M = 16, dado que la tercera
observación presenta igual número de observaciones
a cada uno de sus lados.  Este estadístico se
evalúa fácilmente cuando se trata de una muestra
ordenada con un número de observaciones impar. 
Cuando el número de observaciones de la muestra es par la
mediana se calcula hallando el punto medio.  Así,
para la muestra de cuatro medidas

  14, 15, 16, 19

 La mediana sería el punto
medio entre las observaciones segunda y tercera, esto es,
15,5.

?      Moda

La moda es el valor de la variable cuya frecuencia es la
máxima o lo que  es lo mismo el valor representado
por el número máximo de individuos.

Sobre un gráfico que represente a una
distribución de frecuencias, la moda es el valor de la
variable en el cual posee un máximo pico.  En
distribuciones de frecuencias agrupadas, la moda no tiene mucho
significado.  Generalmente sirve para identificar la clase
modal; y en Biología tampoco
tiene muchas aplicaciones.

4.3.4.    Medidas de
Dispersión

?      Rango

Es la diferencia entre los valores más grande y
más pequeño de la muestra.  Dado que el rango
es una medida de la extensión de los valores de la
variable, se medirá en las mismas unidades que las medidas
originales.  El rango puede verse alterado incluso por un
solo valor exterior, por lo cual no es más que una
indicación aproximada de la dispersión de los datos
de la muestra.

?      Desviación
Standard

La desviación estándar mide la
variabilidad de los datos de una población o muestra y se define como la
raíz cuadrada de la suma de las dispersiones existentes
entre cada observación  y la
media.  

Existen tres pasos para el cálculo de
este estadístico: (1), encontrar la suma de los cuadrados
(SC); (2) dividir por n – 1 para encontrar la varianza, y (3)
extraer la raíz cuadrada de la varianza. 

La suma de cuadrado se la calcula con la siguiente
formula:

 El primer término ?X2 es la
suma de todas las X elevadas al cuadrado, es decir:

 El segundo término es la suma
de todas las X elevado al cuadrado y dividido para el
número de datos.

 La fórmula de la varianza
sería:

 ?     
Coeficiente de Variación

El coeficiente e variación es la
desviación típica expresada como un porcentaje de
la media. Se usa cuando se desea comparar la variación de
dos poblaciones independientemente de la magnitud de sus medias.
Su fórmula es:

 Ejemplo: Con los siguientes
datos del peso al mercado de 24
toretes, realizar los siguientes cálculos:

a.        
Media aritmética

 b.        
Varianza

            
c.        
Desviación estándar

           
d.         Coeficiente de
variabilidad

Autor:

Raúl Verdezoto

Docente: Ing. Lolita Hualpa Lima