El concepto de ángulo construido a partir del arte abstracto (página 3)

• ¿Puedes identificarlos en el cuadro?
  ¿Qué partes tienen un ángulo?

• ¿Ves diferentes tipos de ángulos?
  ¿Cuáles? ¿Puedes enumerarlos?
  ¿Puedes explicar o definir con tus palabras cada uno
  de ellos?

• ¿Cómo podemos explicar, comprobar o
  demostrar que un ángulo es de un tipo o de otro, por
  ejemplo que uno es más grande que otro o más
  pequeño que otro o iguales?

[Se trata de enfatizar la importancia del rigor
matemático, o de la demostración matemática, tanto gráfica como
algebraica]

• ¿Conoces el transportador? ¿Para
  qué sirve esta herramienta o instrumento
  geométrico? ¿Sabes utilizarlo?

• Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el
  transportador, ¿qué observamos que tiene?
  ¿si lo comparamos con una regla, qué
  significado pueden tener estas líneas? ¿en
  qué unidades se miden los ángulos?

[Se presenta, nuevamente, la pintura de
Wassily Kandinsky, para buscar la interpretación personal de los
alumnos]

• ¿Qué significado tiene
  esta imagen?, ¿qué podría
  ser?

• Coloquémonos en el lugar del
  pintor. ¿Qué idea o sentimientos crees que
  quiere transmitir con esta obra?

• ¿Qué podemos destacar de
  los colores, la intensidad de colores, la posición y
  colocación de las líneas, la secuencia de las
  líneas, del fondo?, ¿cuántos planos
  vemos?, ¿cuál creemos que es el principal y por
  qué?, etc.

• ¿Qué palabras
  podrían salir en el título de este cuadro?,
  ¿qué título le
  pondrías?

• 2. Descripción por parte
  del docente de la obra haciendo referencia a:

• a) Título: In the
  blue (1925)

• b) Autor: Wassily
  Kandinsky (1866 – 1944). Rasgos más
  característicos de su vida y obra

• c) Técnica
  utilizada.

• 3. Motivación para
  investigar de forma individual sobre:

• Características más
  importantes de la vida y obra de este pintor,
  centrándonos más en la relación con las
  matemáticas (Geometría).

• Proponer y justificar otros artistas y
  obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema:
  ángulos, tipo de ángulos, etc.

7. Actividad de definición de
ángulo

Objetivos

Con esta actividad se persigue los
siguientes objetivos:

• Construir progresivamente los
  siguientes conceptos: ángulo, elementos del
  ángulo y tipos de ángulos.

• Desarrollar los procesos de pensamiento
  del estudiante desde la observación hasta el
  análisis a través de la construcción del
  concepto de ángulo.

• Formar al estudiante en el respeto por
  su trabajo y por el trabajo de los demás valorando
  cada una de las construcciones individuales y
  colectivas.

Materiales

• Transparencias, rotuladores permanentes (o cartulina
  y marcadores), fotocopias actividad anterior; material de
  consulta: libros de texto de matemática de primaria,
  diccionarios, posibilidad de asistir a la sala de Internet,
  etc. Esto para los alumnos.

• Para el docente: retroproyector, transparencia de la
  figura utilizada o en su defecto, fotocopia ampliada y
  plastificada del cuadro de Kandinsky.

Metodología

Trabajo individual, en pequeño grupo y en
gran grupo.

Secuenciación y tiempo

Esta actividad de definición requiere de cuatro
sesiones de una hora. En la primera sesión se realiza la
primera fase de definición, en la segunda sesión la
segunda fase de definición, en la tercera sesión la
tercera fase de definición y en la cuarta sesión
los alumnos exponen los mapas y entre
todos se construye el mapa consensuado por la clase para el
concepto de
ángulo.

Desarrollo de la actividad

Se inicia la sesión con una actividad que tiene
como objetivo para
el docente el motivar por una parte y el centrar la atención en lo que se va a realizar (Anexo
6). La actividad hace parte del Programa de
Modificabilidad Cognitiva de Reuven Feuerstein.

En la construcción de la definición del
concepto de ángulo se tienen en cuenta tres fases, que se
encuentran esbozadas en la siguiente tabla:

Fase I. Definición individual

Se considera importante que inicialmente los alumnos de
forma individual consignen por escrito sus definiciones previas
sobre ángulo porque ayuda a ver los aciertos y los
posibles errores o dificultades que tienen con relación a
los conceptos a desarrollar. Se han de tener en cuenta en la
gestión
del proceso de
construcción por parte de los estudiantes del concepto de
ángulo entre otras cosas, las siguientes:

• 1. Aspectos de la definición
  [diferenciar términos como: punto, recta, semirrecta,
  segmento, etc.].

• 2. Las representaciones del concepto [hacer
  énfasis en las partes: lados, vértice,
  etc.].

• 3. La necesidad del uso de los símbolos
  matemáticos [facilitar la diferenciación de los
  diferentes elementos, por economía al escribir,
  etc.].

Fase II. Confrontación entre
iguales

Esta fase, al igual que la anterior, es importante
porque estamos convencidas que, precisamente, en la interacción entre iguales se crea un
ambiente
propicio para el dialogo, el
intercambio de ideas en un contexto de igualdad. La
confrontación de ideas y la unificación de
criterios que se desprenden en esta fase, ayuda a los estudiantes
a aprender del respeto por las
ideas del compañero, a la negociación entre posturas y a la
verificación, mediación y enriquecimiento de las
mismas, mediante el buen uso de la información que les proporcionan otros
referentes. En este caso las definiciones de otros libros de
texto, el uso
de diccionarios,
Internet y en
general, el manejo de otras fuentes de
información.

Otro aspecto a resaltar de esta fase es la
motivación por la creatividad
que se intenta promover en los estudiantes a la hora de asumir el
diseño
de páginas que incluyan la definición del concepto
de ángulo. Esto permite observar la influencia que tiene
el trabajo en
pequeños grupos, pues se
dan evoluciones en las definiciones que inicialmente dan algunos
de los estudiantes.

Fase III. Consenso de la
definición

El objetivo que se plantea con esta actividad es
consensuar y reconstruir las definiciones propuestas por los
alumnos en las fases I y II, teniendo como marco de referencia
las visiones estáticas y dinámicas de este
concepto, el uso de variedad de representaciones y la importancia
del uso de prototipos, ejemplos, no ejemplos y contraejemplos del
concepto en la resolución de problemas.

En esta fase se quiere resaltar el papel del docente
como orientador del proceso de aprendizaje de
los alumnos. La gestión del maestro debe llevar al
consenso de los elementos conceptuales relevantes del concepto en
cuestión y proporcionarles a los alumnos las herramientas,
en este caso el uso de los mapas
conceptuales, que les ayuden en la
organización de los aspectos teóricos del
concepto de ángulo institucionalizados en clase,
atendiendo a sus contextos de uso dinámico y
estático.

Para la construcción de los mapas conceptuales,
se sugiere a los alumnos los siguientes pasos:

• 1. Escribir un listado de palabras claves que
  consideran más importantes del tema objeto de
  estudio.

• 2. Tratar de organizar las palabras anteriores
  en jerarquías, y escribirlas en la hoja de papel donde
  desarrollaran el mapa conceptual definitivo.

• 3. Conectar los pares de conceptos y
  relacionarlos mediante conectores o palabras enlace,
  enfatizando que también podían utilizar
  palabras, por ejemplo verbos, que hagan sencilla la
  comprensión del mapa.

Dado que en esta tercera fase, el objetivo que se
persigue es remarcar sobre los elementos conceptuales que se
quiere que los alumnos construyan del concepto de ángulo,
esta actividad resulta rica y provechosa, en el sentido que el
intercambio en grupo grande sobre los diferentes mapas de los
alumnos y la gestión del docente pueden ayudar a que los
alumnos incorporen en sus esquemas conceptuales aspectos de la
definición del concepto que no han quedado suficientemente
claros.

Después de la presentación y
justificación de los mapas conceptuales de los alumnos el
docente construye con los aportes de los alumnos el mapa
conceptual consensuado por toda la clase del concepto en
cuestión. Es importante que se intente que el mapa
conceptual sea lo más rico posible.

8. Actividad de construcción de producciones
artísticas

Objetivo

Esta actividad tiene como objetivo promover en los
estudiantes procesos de
reflexión sobre la importancia que tiene, en la
construcción de una producción artística, que relacione
arte y
Geometría, la justificación de los
siguientes aspectos:

• 1. El uso práctico de los contenidos
  geométricos en la construcción de una
  producción artística.

• 2. Los procedimientos (geométricos y/o
  algebraicos) utilizados en la construcción de los
  objetos geométricos (ángulo, triángulo,
  etc.) que conforman la producción
  artística.

• 3. Las diferentes técnicas
  artísticas y materiales que utilizan en la
  construcción de la producción
  artística.

• 4. Título del cuadro, nombre del autor,
  y la descripción de los sentimientos que quiere
  transmitir con su producción
  artística.

Materiales

Cualquier tipo de material y técnica
plástica es aceptado. Los alumnos deben escogerla y
justificar su elección.

Metodología

Producción individual, descripción y justificación, gran
grupo.

Secuenciación y tiempo

Esta actividad de construcción de producciones
artísticas requiere de seis o siete sesiones de una hora.
En la primera sesión se trata el manejo de los diferentes
tipos de transportadores, en la segunda sesión se
introduce la operación con ángulos complementarios,
en la tercera sesión se introduce la operación con
ángulos suplementarios y las tres últimas sesiones
se dedican a la resolución de problemas y a la exposición
y justificación de las producciones artísticas
realizadas por los niños y
niñas.

Desarrollo de la actividad

En esta actividad inicialmente se hace una introducción de las unidades de medida de
ángulos, teniendo como referencia el sistema
Sexagesimal. Se sugiere, en este nivel de escolaridad, centrarse
en la medición de ángulos utilizando como
unidad básica el grado. Es necesario matizar que el
instrumento que permite medir ángulos en este sistema es
el transportador. Igualmente se tiene que hacer énfasis de
la variedad de modelos que
hay en el mercado de
transportadores y, por tanto, de las diferencias que hay en el
uso de los mismos. De allí que se sugiere que esta
actividad inicie con un reconocimiento del transportador que
utilizará cada alumno.

Posteriormente se propone la resolución de una
serie de problemas en los que se tratan los siguientes
aspectos:

• 1. El pensamiento conjetural, con el
  propósito de que los estudiantes usen las definiciones
  de los diferentes tipo de ángulo en la medición
  aproximada de diferentes ángulos representados
  gráficamente, como en la siguiente
  actividad:

Clasifica los siguientes ángulos y con la ayuda
del transportador verifica la medida de cada uno de
ellos.

• 2. Introducir el procedimiento
  geométrico, que consiste en la utilización del
  transportador como instrumento que permite una
  medición "exacta" de ángulos a partir de su
  representación gráfica.

• Referencia los anteriores ángulos en la
  siguiente tabla, nómbralos y llena el siguiente
  cuadro:

• 3. Construcción y reproducción
  gráfica de ángulos mediante procedimientos
  geométricos a partir de su representación
  algebraica o numérica.

• ¿Puedes utilizar algún objeto de la
  clase o de casa, que tenga que hacer algún tipo de
  giro para funcionar, para explicar cada uno de los tipos de
  ángulos? Intenta hacer la representación de la
  situación, especificando el tipo de ángulo al
  que haces referencia.

4. En la pintura In the blue, de Wassily Kandinsky,
encuentra las diferentes clases de ángulos que se han
trabajado hasta ahora, indicando donde se encuentran, el nombre
del tipo al que pertenece y la medida del ángulo. Anota
estos datos en la
fotocopia que tienes de la pintura y compárala con las de
tus compañeros para que ubiques si hay algún error
o si te faltó alguno.

Evaluación

Dado que las aportaciones curriculares que se proveen en
el contexto escolar pueden ser de distinta naturaleza
(declarativos, procedimentales y actitudinales), la evaluación
de sus aprendizajes exige procedimientos y
técnicas diferenciadas.

Mientras que algunas técnicas evaluativos son
válidas para todos los tipos de contenidos (por ejemplo,
la observación, la exploración), otras
suelen tener un uso restringido para ciertos tipos de contenidos.
Lo relevante aquí es que todas las evaluaciones de los
aprendizajes del contenido tiendan a apreciar el grado de
significatividad y la atribución del sentido logrados por
los alumnos.

La evaluación es considerada formativa, continua
e integral. Lo anterior implica centrarnos en la evolución de los aprendizajes de los
estudiantes más que en los aprendizajes puntuales o
finales. Además, la evaluación es un proceso en la
cual los alumnos tendrían que participar activamente. Por
tanto, se describen brevemente las estrategias y
tipos de evaluación que se implementan durante el desarrollo de
esta parte de la unidad:

• Auto-evaluación: revisión continua de
  las actividades, revisión y mejora continua de sus
  producciones artísticas.

• Entre iguales (co-evaluación):
  valoración de las producciones del compañero,
  intercambio de material para corregir errores, debate y
  argumentación de ideas, etc.

• Negociación de los criterios de
  evaluación y de los aspectos y problemas a evaluar:
  los alumnos participan en la construcción de
  problemas, preguntas abiertas y las correspondientes
  respuestas, que después serán tenidas en cuenta
  en la evaluación final o de síntesis (que es
  una más en el proceso).

• Hetero-evaluación: considerada no
  estática, ni acabada; los alumnos tienen la
  oportunidad de revisar, mejorar y proponer alternativas de
  solución que reflejen los progresos que se van
  alcanzando.

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DE
CONTENIDOS

Los contenidos de aprendizaje requieren de distintas
estrategias e instrumentos de evaluación a
continuación se plantearán algunas de las
estrategias que se utilizan en cada uno de los tipos de
evaluación propuestos.

Evaluación del aprendizaje de contenidos
declarativos

Evaluar la comprensión o asimilación
significativa es mucho más difícil que el simple
recuerdo de datos o hechos. La evaluación de los conceptos
puede basarse en varios tipos de estrategias:

• Solicitar la definición intensiva de un
  concepto o principio, partiendo de las características
  y no de la definición de los libros, buscando
  ejemplos, añadiendo explicaciones, etc.

• Reconocer el significado de un concepto entre varios
  posibles.

• Trabajar con ejemplos. Solicitar que se propongan
  ejemplos ilustrativos, positivos o los categorice por su
  tipicidad.

• Relacionar los conceptos con otros de mayor o menor
  complejidad (clasificación, organización,
  jerarquización) por medio de recursos gráficos
  (mapas conceptuales, diagramas).

• Emplear la exposición
  temática.

• Aplicar los conceptos a tareas de solución de
  problemas.

Para la evaluación del aprendizaje de contenidos
declarativos, lo que se requiere es seguir una
aproximación cualitativa, porque se trabaja esencialmente
sobre cómo interpreta el concepto, o cómo se usa en
explicaciones y aplicaciones. La asimilación de un
concepto o principio no está sujeto a la ley del "todo o
nada" como en el caso de un hecho o dato; esto es una
cuestión de grado, por lo que hay que tener definidos
claramente los criterios que permitan la valoración
cualitativa, los cuales diferirán en función de
lo que queramos enfatizar en su aprendizaje o
evaluación.

Evaluación del aprendizaje de contenidos
procedimentales

Los procedimientos no deben evaluarse como
acontecimientos memorísticos. La evaluación que
solicite que los alumnos "reciten" los pasos de un determinado
procedimiento
están valorando una parte muy limitada del
mismo.

Debe evaluarse la significatividad de los aprendizajes.
Dos cuestiones esenciales en este sentido, sobre todo para el
caso de procedimientos no esencialmente algorítmicos, la
funcionalidad y la flexibilidad.

Para lograr una valoración integral de los
procedimientos, pueden contemplarse las siguientes
dimensiones:

• La adquisición de la información sobre
  el procedimiento.

• Evaluación indirecta por
  observación.

• Solicitar a los alumnos directamente que nombren los
  pasos del procedimiento.

• Solicitar a los alumnos directamente que se refieran
  a las reglas que rigen el procedimiento o a las condiciones
  principales que hay que atender para su
  ejecución

• Solicitar que los alumnos expliquen a otros el
  procedimiento.

• El uso o conocimiento y el grado de
  comprensión de los pasos involucrados en el
  procedimiento.

• La composición y organización de las
  operaciones que forman el procedimiento.

• El grado de automaticidad de la
  ejecución.

• Saber hacer un uso generalizado o discriminado del
  procedimiento.

• El sentido otorgado al procedimiento.

• Observación y seguimiento directo de la
  ejecución del procedimiento.

• Observación y análisis de los
  productos logrados gracias a la aplicación de los
  procedimientos.

Evaluación del aprendizaje de contenidos
actitudinales

Se sabe que la evaluación de las actitudes y
los valores es
menos común que la de los contenidos declarativos y
procedimentales. Una razón de ello radica en la gran
complejidad que tiene la evaluación de este tipo de
contenidos curriculares.

En la medida en que la evaluación de las
actitudes y los valores se
haga una práctica común dentro de las aulas, los
mismos alumnos comenzaran a reconocer que este tipo de contenidos
son tan relevantes o más que los otros en los escenarios
escolares y, al mismo tiempo, se
percataran de que ellos también se encuentran realizando
una serie de aprendizajes actitudinales y valorativos cruciales
para su proceso de desarrollo
personal y social.

Bolívar (1995) ha propuesto una
clasificación de técnicas e instrumentos para la
evaluación de este tipo de contenidos, que aquí
simplemente se enunciaran, a saber:

• Uso de la observación directa.

• Registro anecdótico.

• Rúbricas, listas de control, escalas de
  observación.

• Diarios de clase.

• Triangulación (con otros
  profesores).

• Cuestionarios e instrumentos de
  autoinforme

• Escalas de actitudes.

• Escalas de valores.

• El análisis del discurso y la solución
  de problemas.

• Entrevistas

• Intercambios orales incidentales, debates en clase,
  etc.

• Solicitud de redacciones sobre temas
  elegidos.

• Técnica del role playing.

• Tareas de clasificación de
  valores.

• Resolución de dilemas morales.

• Contar historias vividas.

Dada la complejidad de la evaluación de las
actitudes y los valores, es altamente recomendable que se
apliquen varias técnicas de manera simultánea, lo
cual puede exigir un alto costo en tiempo y
preparación. Realizar la evaluación entre la
"intuición y la instrumentación" ayuda a solventar un poco
el problema mencionado.

Conclusiones y
recomendaciones

La aplicación de la unidad didáctica conlleva una profunda
reflexión acerca de los objetivos de la educación,
reflexión que deje a un lado la simple instrucción
y centre su labor en la formación integral del ser. Este
es uno de los objetivos de la unidad y por lo tanto el no
pensarlo de esta manera llevará a una no aplicación
o a una aplicación alejada del espíritu en que fue
construida.

El docente debe tomar esta unidad didáctica como un modelo sobre
el cual trabajar, es decir, que partiendo del mismo recurso (un
cuadro), cada docente debe rediseñar y crear su propia
unidad.

Se pueden encontrar dificultades al intentar aplicar
esta unidad didáctica en el aula. Estas dificultades
pueden estar centradas en los materiales con
que se cuenta en la implementación inicial, la distribución del tiempo dedicado a la
geometría en el calendario escolar y la
cantidad de alumnos por aula. Sin embrago la metodología de trabajo en
grupos cooperativos, la utilización de recursos
más sencillos y asequibles (cartulina, papel periódico,
colores,
marcadores y fotocopias ampliadas de las pinturas) y la
convicción de que la geometría es un contenido
curricular primordial que se debe rescatar en el trabajo en el
aula de matemáticas, pueden convertirse en
herramientas poderosas que motiven y ayuden a los profesores a
llevar al aula esta propuesta como mediador del aprendizaje
significativo en los alumnos.

Hay algunos aspectos claves a tener en cuenta en la
aplicación de la unidad y que se deben
resaltar:

El contexto, la situación creada permite
que los contenidos matemáticos vayan más allá
del aprendizaje de los mismos, se debe tener esto en cuenta para
evitar que se diluya el objetivo propuesto. El docente debe tener
claro el objetivo de la unidad desde su integralidad para
poder graduar
la movilidad por los diferentes aspectos tratados.

Contenidos geométricos, hay que buscar
la relación de los términos geométricos que
se están trabajando con la realidad tridimensional que se
vive. Esto permite una comprensión de la aplicabilidad de
estos contenidos y permitirá un avance en la
significatividad que el estudiante le pueda dar a lo
trabajado.

Interdisciplinariedad, buscar el enfoque
globalizador de la situación y ser conciente que en este
tipo de situaciones didácticas es posible que los alumnos
puedan aprender simultáneamente distintos pensamientos del
área de matemáticas y distintos aspectos de
diferentes áreas. Esto permite que, aunque el tiempo de la
aplicación sea largo, se avance en otros contenidos, por
lo cual en realidad se avanza de mejor manera que trabajando por
temas.

Metodología, se deben alternar
actividades de conversación y dialogo con actividades que
requieran que los niños estén activos
físicamente, además de mentalmente (estampar,
expresarse corporalmente, recortar, agrupar y clasificar, crear
una producción plástica propia, etc.), no se debe
perder la objetividad, se debe comprender que los alumnos que se
tienen aún son niños y que su cuerpo pide movilidad
a todo momento, por lo que la educación debe
intentar también educar esta parte sin que la quietud
absoluta sea la esencia de la actividad del aula.

Actitudes hacia las matemáticas,
relacionar una materia que
tradicionalmente se le ha considerado árida, y que en la
aplicación la mayoría de veces lo es, abstracta y
formal con estados emocionales agradables, emotivos y
estéticos.

Para el trabajo con la diversidad es importante que el
trabajo colaborativo y en equipos tenga como base la
conformación de equipos heterogéneos, donde los
estudiantes puedan encontrar diferentes niveles en cada una de
las dimensiones de manera que se permitan aprendizajes en cada
una de ellas producto de
los avances individuales, los conflictos
cognitivos, la visión de otras habilidades y el
modelamiento de actitudes positivas.

Bibliografía

COUSO, Digna. BADILLO, Edelmira. PERAFAN E., Gerardo
Andrés. ADURIZ-BRAVO, Agustín. Unidades
Didácticas en Ciencias y
Matemáticas. Cooperativa
Editorial Magisterio. Bogotá., 2005.

DIAZ-BARRIGA ARCEO, Frida. HERNÁNDEZ ROJAS,
Gerardo. Estrategias docentes para
un aprendizaje significativo. Una interpretación
constructivista. Editorial McGraw-Hill. México,
2002.

CATSIGERAS, Eleonora. Las Cartas
Matemáticas (artículo de Internet). (Consulta: 23
de junio de 2007). Disponible en:
www.fing.edu.uy/~eleonora/dvi/CARTAS_MATEMATICAS6.doc

FEUERSTEIN, Reuven. Fichas
Modificabilidad Estructural Cognitiva. Procesos de
Pensamiento. Documentos de
clase.

PRIMERA, Eugenia. La Historia de Cerito
(artículo de Internet). (Consulta: 15 de julio de 2007).
Disponible en: http://profesoraeugenia.blogspot.com/2006/06/mi-primer-cuento-infantil.html

Anexos

ANEXO 1

Categoría: Progresiones
Numéricas

Problema:
Seriación

Actividad: Continúa el
ejercicio según el modelo

ANEXO 2

Categoría: Análisis Perceptual

Problema: Completación de
figuras

Actividad: Completa la figura igual al
modelo.

ANEXO 3

Categoria: Compraraciones

Problema: Reconocimiento de
similitudes.

Actividad: Señalar con un
color las figuras
iguales al modelo.

ANEXO 4

Categoría: Análisis
Perceptual.

Problema: Completación de
figuras.

Actividad: Completa la figura igual
al modelo.

ANEXO 5

Categoría: Orientación
espacial.

Problema: Organización de puntos.

Actividad: Con lápices de colores une los
puntos para formar las figuras modelo.

ANEXO 6

Categoría: Orientación
espacial.

Problema: Organización de
puntos.

Actividad: Con lápices de colores une los
puntos para formar las figuras modelo.

Autor:

Jorge Eliecer Villarreal
Fernández