Construcción de fractales clásicos propuesta didáctica
Introducción
Este trabajo es una
propuesta para introducir los conceptos y procedimientos
básicos de la Geometría
Fractal en el bachillerato. La Geometría Fractal es un área de
investigación muy reciente en matemáticas cuyo desarrollo se
ha visto acelerado gracias a sus inmensas aplicaciones en
diferentes campos de la ciencia y
la tecnología y al desarrollo de los
computadores. Estudia figuras altamente irregulares generadas a
través de procesos
recursivos que tienen como característica fundamental
autosimilaridad y dimensión no entera. Lo primero
significa que poseen alguna propiedad
invariante bajo el cambio de
escala. Por
ejemplo, a veces la rama de un árbol está compuesta
por pequeñas ramas que tienen una forma muy parecida a la
totalidad de la rama. Lo segundo significa que no posee las
dimensiones usuales: uno, la de la línea; dos, la del
plano y tres, la del espacio. Es decir, son figuras que pueden
habitar en espacios intermedios. Por ejemplo, encontrarse en el
plano y en el espacio. En el trabajo
sólo trataremos con el plano.
Este trabajo ha sido motivado por el interés
que despierta el estudio de esta rama de la matemática
en investigadores, profesores, alumnos y personas no
especializadas. Este material didáctico enriquece los
cursos normales de matemáticas al aportar nuevos contextos
de enseñanza. Además brinda a los
estudiantes la oportunidad de reforzar sus conocimientos en
matemáticas y reducir de esta manera la dificultad que
ellos tienen con su aprendizaje. Al
mismo tiempo los
familiariza a muy temprana edad con temas científicos muy
recientes, lo que aumenta la probabilidad
de hacer avanzar la ciencia y la
tecnología, pues entre estos jóvenes pueden existir
algunos muy inquietos que se interesen seriamente por estos
temas. Pero también es una ayuda para el profesor, ya
que le da la posibilidad de ponerse al tanto de los avances de su
propia disciplina y
al mismo tiempo, encontrar elementos para enriquecer su actividad
docente.
El trabajo aborda, por espacio, sólo la construcción de dos fractales
clásicos: el conjunto de Cantor y el Triángulo de
Sierpinski. La construcción de estos fractales se hace por
medio de un método
estático y otro dinámico. El primero no usa
movimientos en el plano mientras que el segundo sí. Sin
embrago ambos se fundamentan en un proceso
recursivo y podrían ampliarse al resto de fractales
clásicos.
Entonces el problema es la construcción de los
fractales antes mencionados y para esto se plantean una serie de
instrucciones que el estudiante al ir siguiendo va reconociendo
cada una de las características del fractal y de su
construcción. Esto quiere decir que se parte de los
procesos de
pensamiento, desde la observación y se va desarrollando hasta el
planteamiento de hipótesis y la comparación de estas
hipótesis con otras.
Las actividades planteadas nos brindan la posibilidad de
trabajar con estudiantes diversos en el aula ya que como se va a
construir conocimiento
cada uno parte de sus potencialidades y tiene la posibilidad de
obtener la información que le haga falta y profundizar
hasta donde cada uno de ellos quiera ya que no hay limites para
el desarrollo del pensamiento.
La propuesta esta diseñada para aplicar en los
grados noveno, décimo y once. Sin embargo por la forma en
que se realiza el desarrollo de las actividades y la
construcción de conocimiento, se puede trabajar desde el
grado sexto, teniendo en cuenta el nivel de conocimiento
adquirido por estudiantes de este grado.
La problemática esta incluida en cada una de las
dos secciones a trabajar, lo mismo que un corto recuento
histórico que contextualice al alumno y le posibilite un
mayor nivel de motivación.
OBJETIVO GENERAL
Construir en forma estática y
dinámica e identificar patrones
numéricos y geométricos en las estructuras
clásicas de los fractales.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
a. Construir mediante una secuencia de
instrucciones el conjunto de Cantor y elaborar otras formas
alternativas de este conjunto con base en la misma idea de
construcción.b. Encontrar patrones aritméticos y
algebraicos en el proceso de construcción del conjunto
de Cantor y sus formas alternativas.c. Construir el conjunto de Cantor mediante la
aplicación de movimientos en el plano descritos
verbalmente. Los movimientos que serán sujetos a dicha
descripción son la homotecia y la
traslación.d. Construir el triángulo de Sierpinski
mediante la realización de una secuencia de
instrucciones.e. Reconocer patrones numéricos y
geométricos subyacentes en el triángulo de
Sierpinski.
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