Traducir problemas del
mundo real a modelos
matemáticos.
No leer en un problema más de lo
que se da. Por ejemplo, no introduzca restricciones
adicionales o matices lógicos o datos imaginarios
que en su opinión podrían hacer más realista
el modelo.
1. PROBLEMA DE
PRODUCCIÓN
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas
A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y
2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada
uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a
la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada
máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada
máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada
producto
¿Que cantidad de cada producto (1 y
2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la
máxima ganancia?
¿Cuantas horas semanales sobran en
cada departamento?
Formulación
Definición de las
variables:
Xj = Unidades semanales a producir del
articulo j-ésimo ( j=1 y 2)
Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + 1.5 X2 Con las
siguientes restricciones (S.A:):
Restricciones:
2X1 + 2X2 = 16 Restricción debida a
las horas disponibles por semana de la MQ A
X1 + 2X2 = 12 Restricción debida a
las horas disponibles por semana de la MQ B
4X1 + 2X2 = 28 Restricción debida a
las horas disponibles por semana de la MQ C
Condición de no
negatividad:
Xj =0 ; j = 1 y 2
Solución óptima
x1= 4 x2=4 Z=10
Tiempo sobrante de cada
máquina:
Máquina A Se usan todas las
horas semanales disponibles
Máquina B Se usan todas las
horas semanales disponibles
Máquina C Sobran 4 horas
semanales
2. OPTIMIZACIÓN DEL CORTE DE
MADERA
En una marquetería se fabrican
cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para bocel,
cuya longitud original es de 300 cm.
El Departamento de ventas tiene
pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x 90 cm. En
el método
actual el Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles
de 119 cm. y 350 boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles
de cada dimensión).
Con ésta manera de cortar la
madera, la
Fábrica necesita el capital para
comprar 292 varillas de 300 cm. cada una y genera 14450 cm. de
desperdicio.
Formule un problema de programación
lineal que minimice el desperdicio, la compra de materia prima
y optimice la productividad.
Total de varillas de 300 cm. a comprar: 175
+ 117 = 292 varillas
Total de centímetros de desperdicio:
10850 + 3600 = 14450 cm.
Formulación
Xj = Número de varillas a cortar de
la forma j-ésima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la
varilla:
Solución óptima
X1 * = 89 Cortar 89 veces de la manera
1
X2 * = 172 Cortar 172 veces de la manera
2
X3 * = 2 Cortar 2 veces de la manera
3
Z * = 5750 centímetros de
desperdicio
Número de varillas a comprar: 89 +
172 + 2 = 263 varillas de 300 cm.
Cuadro comparativo de los
ahorros:
Conceptos Materia prima
Desperdicio (cm.)
Antes 292 14450
Después 263 5750
Diferencia 29 8700
3. CORRIDAS DE
PRODUCCIÓN
Una empresa produce
un artículo cuya unidad está compuesta por 4
unidades de componente A que se producen por corrida de
producción a partir de las materias primas 1 y 2 y en tres
departamentos.
Las Materias primas y la Producción
por corrida de producción se muestra en la siguiente
tabla:
Elabore un plan de
producción para maximizar la cantidad de artículo a
producir.
Formulación
XJ = Número de corridas de
producción en el departamento j-ésimo (j = 1,2 y
3)
Número de componentes A: 7X1 + 6X2 +
8X3
Número de artículos completos
con los componentes A: (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
Maximizar (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
S.A:
8X1 + 5X2 + 3X3 = 100 Restricciones debidas
a la disponibilidad
6X1 + 9X2 + 8X3 = 200 de materias primas
tipo 1 y 2
XJ =0 j = 1, 2 y 3 Enteros
Restricción de no negatividad
4. EL PROBLEMA DE LOS PAQUETES DE
TUERCAS
Un distribuidor de ferretería planea
vender paquetes de tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras y
está compuesto por tres tamaños de tornillos, los
cuales se compran en lotes de 200 libras. Los lotes de
tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12,
además:
a) El peso combinado de los tamaños
1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del
paquete.
b) El peso de los tamaños 1 y 2
no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo
debe ser al menos el 10% del paquete total
¿Cuál será la
composición del paquete que ocasionará un costo
mínimo?
Formulación
Xj= Peso en libras de los tornillos del
tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de
tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos
tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de
tornillos tipo 3
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200
X3
S.A:
X1 + X3 = (X1 + X2 + X3)/2 Los
tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 =1.6 Los tamaños 1 y 2 no
deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 1
debe ser al menos el 10% del total
X2 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 2
debe ser al menos el 10% del total
X3 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 3
debe ser al menos el 10% del total
X1 + X2 + X3 = 2 El paquete debe ser al
menos de 2 libras
XJ =0 j = 1, 2 y 3 Condición de no
negatividad
Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 +
0,06X3
S.A:
X1 – X2 + X3 = 0
X1 + X2 = 1.6
0,9X1 -0,1X2 – 0,1X3 = 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3 = 0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3 = 0
X1 + X2 + X3 = 2
XJ =0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño
1
X2 = 1.0 Libras del tamaño
2
X3 = 0.8 Libras del tamaño
3
Z = $0.108 Costo mínimo del
paquete
5. PROBLEMA CLÁSICO DEL
TRANSPORTE
Un fabricante tiene tres centros de
distribución en: Bogotá,
Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de:
20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren
las siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma
20, Ibagué 30 y Armenia 15.
El costo de transporte por
unidad en dólares entre cada centro de distribución
y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente
tabla:
¿Cuantas unidades debe mandar el
fabricante desde cada centro de distribución a cada
detallista, de manera que los costos totales de
transporte sean mínimos?
Formulación
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde
el centro de distribución i-ésimo (1=Bogotá,
2=Medellín, 3=Cali), al detallista j-ésimo
(1=Pereira, 2=Tulúa, 3=Anserma, 4=Ibagué,
5=Armenia)
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14
+ 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32
+ 95X33 + 35X34 + 30X35
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 20
Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 +X22 + X23 + X24 + X25 = 40 de unidades
en los respectivos
X31 +X32 + X33 + X34 + X35 = 40 centros de
distribución 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 25 Restricciones debidas
a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 10 de
unidades,
X13 + X23 + X33 = 20 de los detallistas
respectivos 1, 2, 3, 4 y 5
X14 + X24 + X34 = 30
X15 + X25 + X35 = 15
Xij =0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y
5
Solución óptima
X11 = 0 X 21 = 25 X 31 = 0
X12 = 0 X 22 = 10 X 32 = 0
X13 = 20 X 23 = 0 X 33 = 0
X14 = 0 X 24 = 5 X 34 = 25
X15 = 0 X 25 = 0 X 35 = 15
Z = $ 3525
6. PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN DE
PLANTA
Una empresa del sector textil, que opera en
todo el país, dispone de la siguiente
configuración:
Dos plantas de
fabricación en Pereira e Ibagué, con capacidades de
900 y 1.500 unidades respectivamente.
Cuatro almacenes
regionales de distribución que sirven a los clientes de sus
respectivas zonas en: Neiva, Medellín, Cali y
Bogotá, con demandas de: 700, 800, 500 y 400 unidades
respectivamente.
En los próximos años,
la empresa
espera un crecimiento de la demanda del
orden del 25%, lo cual ha llevado a la Dirección de la misma a plantearse la
apertura de una nueva fábrica.
A la vista de los criterios que la empresa
estima importantes para la localización de la nueva
planta, existen dos alternativas a considerar: Pasto (alternativa
1) y Villavicencio (alternativa 2). La elección
recaerá en aquella que provoque los menores costos de
transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que
ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros
factores.
La tabla siguiente muestra los costos de
transporte unitarios entre cada origen y destino.
Formulación
(a) Considerando establecer la nueva
planta en Pasto
Xij = Unidades a enviar desde la planta
i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Pasto) al almacén
j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali,
4=Bogotá)
Minimizar Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 +
2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 4X32 + 4X33 + 8X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones
debidas a la disponibilidad
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 de unidades
en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1,
2 y 3
X11 + X21 + X31 = 700 + 175 = 875
Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 800 + 200 = 1000 de
unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 500 + 125 = 625 de
distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 400 + 100 =
500
Xij =0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y
4
Solución óptima
X 13 = 625 X 14 = 275 X 21 = 875 X 22 = 400
X 24 = 225 X 32 = 600
Z = $9375
(b) Considerando establecer la nueva
planta en Villavicencio:
Xij = Unidades a enviar desde la planta
i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Villavicencio) al
almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín,
3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar
Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22
+ 7X23 + 5X24 + 6X31 + 3X32 + 4X33 + 2X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones
debidas a la
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 disponibilidad
de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1,
2 y 3
X11 + X21 + X31 = 875 Restricciones debidas
a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 1000 de unidades de los
almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 625 de
distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 500
Xij =0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y
4
Solución óptima
X 12 = 275 X 13 = 625 X 21 = 875 X 22 = 625
X 32 = 100 X 34 = 500
Z = $7275
De los resultados obtenidos se deriva que
Villavicencio es la mejor localización bajo el criterio de
minimizar los costos del transporte.
7. El problema de
asignaciones
Se usan cuatro barcos cargueros para
transportar bienes de un
puerto a otros cuatro puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede
usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin
embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas,
el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para
las distintas combinaciones de barcos y puertos varían
mucho.
Estos costos se muestran el la siguiente
tabla:
El objetivo es
asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a
uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro
barcos.
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo
( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4
)
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo
( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4
)
Minimice
Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22
+ 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 + 7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 +
6X44
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que
aseguran
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo
barco
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un
solo puerto
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que
aseguran
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo
puerto
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un
solo barco
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij =0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y
4
Solución óptima
X * 11 = 1 X * 12 = 0 X * 13 = 0 X * 14 =
0
X * 21 = 0 X * 22 = 0 X * 23 = 0 X * 24 =
1
X * 31 = 0 X * 32 = 1 X * 33 = 0 X * 34 =
0
X * 41 = 0 X * 42 = 0 X * 43 = 1 X * 44 =
0
Z * = 21
Barco 1 ——–Puerto 1 ——–Costo $
5
Barco 2 ——–Puerto 4 ——–Costo $
5
Barco 3 ——–Puerto 2 ——–Costo $
5
Barco 4 ——–Puerto 3 ——–Costo $
6
Costo total mínimo: $21
8. Problema de la mezcla
Una compañía de
petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y
Euro. Se obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C),
que contienen tres componentes (1,2,3). La participación
de estos componentes en la composición de cada crudo
es:
Las especificaciones de los tres tipos de
gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C
son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto
diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se
limita, respectivamente, a 3000 y 7000 barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos
2500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son
de 2000 y 2500 barriles diarios, que deben satisfacerse. La
compañía desea maximizar la producción de
gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al
problema planteado por la compañía.
10. El problema del
financiero
Un inversionista tiene la intención
de hacer varias inversiones,
las cuales se extenderán por un periodo de cinco
años, al final del cual necesitará de todo el
capital. Las inversiones se hacen el 1º de Enero de cada
año y son:
Inversión A: Disponible el 1º
de Enero de cada año y produce el 15% de interés al
final de cada año.
Inversión B: Disponible en dos
años a partir de ahora (Comienzo del 3º año),
y produce un retorno del 25% al final del 3º año y lo
máximo que el inversionista considerará son
$40.000
Inversión C: Disponible en un
año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y
produce el 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como
máximo.
El inversionista tiene $100000 disponible
para las inversiones.
¿Cuál debe ser el portafolio
de inversión que le permita obtener la máxima
cantidad de dinero al
final del año quinto?
Formulación:
Xij = Cantidad de dinero a invertir en la
alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio del
año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Para construir las restricciones piense,
que al principio de cada año va a tener disponibles
algunas alternativas de inversión para las que no
podrá invertir más de lo tenga disponible en ese
momento.
El lado izquierdo de las restricciones,
representa la cantidad de dinero que el inversionista
invertirá en las alternativas disponibles al principio de
cada año y el lado derecho representa la cantidad de
dinero disponible para invertir, que es la suma de: El capital
inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la fecha
– Los capitales que están invertidos en ese momento y que
no han retornado.
Maximizar Z = 0,15 (XA1 + XA2 + XA3 +XA4 +
XA5) + 0,25XB3 + 0,4XC2
S.A:
Restricciones debidas a la cantidad de
dinero disponible al principio de cada uno de los cinco
años:
XA1 = 100000
XA2 + XC2 = 100000 + 0,15XA1
XA3 + XB3 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2) –
XC2
XA4 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3) +
0,25XB3 – XC2
XA5 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3 +XA4) +
0,25XB3 + 0,4XC2
XB3 = 40000
XC2 = 30000
Xij =0 ; i = A, B y C ; j = 1, 2, 3, 4 y
5
Solución óptima
X A1 = $100000 XA2 = $115000 X A3 = $ 92250
X A4 = $156087,50
X A5 = $179500,6 XB3 = $ 40000 X C2 =
$0
Z = $206425,7
13. El problema de los
manteles
En un salón de banquetes se tienen
programados banquetes durante los siguientes cinco días.
Los requisitos de manteles por banquete son:
El problema del administrador es
que se requieren manteles diferentes a los que se usan, por lo
que tendrá que comprar ese tipo de manteles.
El costo de cada mantel es de $40 y el
costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio
urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por
mantel.
¿Cuál es el modelo que le
permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y
además minimizar el costo total?
Formulación:
Xi = Número de manteles a comprar
para el banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3, 4 y 5)
Yi = Número de manteles a mandar a
lavar después del banquete i-ésimo (i = 1, 2 y
3)
Ii = Número de manteles limpios al
final de cada banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3 y
4)
Minimizar Z = 40(X1 + X2 +X3 +X4 +X5) +
10(Y1 + Y2 + Y3)
S.A:
X1 = 80 + I1
I1 +X2 = 60 + I2
Y1 + I2 + X3 = 100 + I3
Y2 + I3 + X4 = 130 + I4
Y3 + I4 + X5 = 200
Y1 =80
Y2 =60
Y3 =100
Xi =0 ; i = 1, 2, 3, 4 y 5
Ii =0 ; i = 1, 2, 3 y 4
Yi =0 ; i = 1, 2 y 3
Solución óptima
X 1 = 80 X 2 = 60 X 3 = 20 X 4 = 70 X 5 =
100
Y 1 = 80 Y 2 = 60 Y 3 = 100
I i = 0 ; i = 1, 2, 3, 4
Z = $15600
Autor:
Msc. Ing. Mohammed Portilla
Camara
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of
Quality
La Molina, Lima – Perú
Estudios realizados en: Ingeniería
Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería
Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad
Católica del Perú
Universidad Nacional de
Ingeniería
Escuela de Negocios para
Graduados – ESAN
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