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Aplicación del método Símplex en investigación de operaciones y simulación




Partes: 1, 2

  1. Tipos de restricciones
  2. Un adelanto del análisis post-óptimo

Introducción

El método símplex cuya gran virtud es su sencillez, es un método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.

Ilustraremos su funcionamiento mediante un ejemplo, pero previamente mostraremos las reglas de decisión para determinar la variable que entra, la que sale, la gran M, y cómo determinar que estamos en el óptimo; Todas éstas reglas de decisión fueron deducidas del método algebraico, solamente que aquí se han acomodado para ser usadas en el tipo de tablero símplex que se usará.

Criterio de decisión

Maximizar

Minimizar

Gran M en la función objetivo

- MXj

+MXj

Variable que entra

La más negativa de los Zj - Cj

La más positiva de los Zj - Cj

Variable que sale

La menos positiva de los b/a ,

Siendo a > 0 , de lo contrario

no restringe

La menos positiva de los b/a ,

Siendo a > 0 , de lo contrario

no restringe a la variable que

entra

Solución óptima

Cuando todos los Zj – Cj > 0

Cuando todos los Zj – Cj < 0

Tipos de restricciones

  • Restricciones (

Se añade una variable de holgura, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a 0.

Ejm:

2X1 - 4X2 <= 1, queda:

2X1 - 4X2 + X3 = 1 Cj de X3 en la función objetivo será 0.

  • Restricciones (

Se resta una variable de exceso, con costo (o ganancia) en la función objetivo igual a 0, y se suma una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o minimización.Ejm:

2X1 + 3X2 >= 1, queda:

2X1 + 3X2 - X3 + X4= 1 Cj de X3 en la función objetivo será 0. y Cj de X4 (artificial) es (M

  • Restricciones =Se le añade una variable artificial con costo +M ó –M según sea maximización o minimización.Ejm:

2X1 + 3X2 = 8, queda:

2X1 + 3X2 + X3= 8 Cj de X3 en la función objetivo será (M

Adicionalmente se presentan las siguientes notas a tener en cuenta:

  • Si en el tablero simplex de la solución óptima queda al menos una variable de superávit ó artificial dentro de las variables básicas, con un valor > 0 , el problema no tiene solución, esto quiere decir que al menos existen dos restricciones excluyentes, por lo tanto no existe área de soluciones factible y menos una solución , en éste caso se debe revisar la formulación del problema.

  • Si al escoger la variable que sale, ninguna de las variables básicas restringe el crecimiento de la variable no básica escogida para entrar, el problema tiene solución indeterminada y se debe revisar la formulación en busca de una nueva restricción que no se tuvo en cuenta en la formulación inicial.

  • Si en el tablero simplex del óptimo, al menos una de las variables no básicas tiene coeficiente cero (0) en la función objetivo, esto es su Zj – Cj = 0, el problema tiene múltiples soluciones y se nos está ofreciendo una de ellas.

Ejemplo 1

Siendo Xi la cantidad a producir del producto i.

Maximizar Z = X1 + X2 {Ganancia total en soles}

S.A.

5X1 + 3X2 <= 15 {Horas disponibles dep. A}

3X1 + 5X2 <= 15 {Horas disponibles dep. B}

Xj >= 0 ; j = 1, 2

Los problemas de Maximización, con todas sus restricciones <= y con la condición de no negatividad, se le llama Forma Estándar ó Forma Normal


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