Aplicación del método Símplex en investigación de operaciones y simulación (página 2)

Aquí debemos conseguir una solución
básica factible, empleando las variables de
holgura y/o artificiales, quedando el sistema de
ecuaciones
así:

Maximizar Z = X1 + X2

S.A.

5X1 + 3X2 + X3 = 15

3X1 + 5X2 + X4 = 15

Xj >= 0 ; j = 1,2,3,4

Las variables básicas son aquellas cuyos
coeficientes forman la matriz
unitaria.

En este caos accidentalmente son las variables de
holgura X3 y X4.

A continuación construimos la siguiente
tabla:

El valor de la
función
objetivo Z, se
encuentra frente a la casilla de Zj – Cj , en éste
caso vale cero (0) y se calcula multiplicando el vector fila (en
la tabla es la columna inmediatamente anterior a la de las
variables básica V.B.) que contiene los coeficientes de
las variables básicas en la función objetiva
original por el vector columna de los términos
independientes b

CXB = Vector fila de los coeficientes en la
función objetivo original de las variables básicas
actuales, sus valores se
encuentran en la primera columna del tablero.

b = Vector columna de los términos independientes
de las restricciones, que al mismo tiempo son
los valores de
las variables básicas actuales, sus valores se encuentran
bajo la columna denominada b

CXB = (0,0) ; b = (15,15)" Z = CXB * b = (0)(15)
+ (0)(15) = 0

El valor de los Zj – Cj se calcula multiplicado el
vector fila CXB por el vector apuntador aj dela columna de la
variable j-ésima, menos el Cj, esto es:

Zj – Cj = CXB. aj – Cj ;

Los cálculos se efectúan
así:

Z1 – C1 = CXB a1 – C1 = (0,0).(5,3)" – 1 =
(0)(5)+(0)(3) – 1 = -1

Z2 – C2 = CXB a2 – C2 = (0,0).(3,5)" – 1 =
(0)(3)+(0)(5) – 1 = -1

Z3 – C3 = CXB a3 – C3 = (0,0).(1,0)" – 0 =
(0)(1)+(0)(0) – 0 = 0

Z4 – C4 = CXB a4 – C4 = (0,0).(0,1)" – 0 =
(0)(0)+(0)(1) – 0 = 0

A continuación se indican la variable que sale y
la variable que entra:

La variable que tiene Zj-Cj más negativo es
ó X1 ó X2. Se escoge al azar X1.

En esta iteración b/a da: 15/5 = 3 y 15/3 =
5;

Lo que significa que la variable básica X3
restringe el crecimiento de la variable que entra, X1, hasta 3
(no la deja tomar valores superiores a 3) y la variable
básica X4 restringe el crecimiento de la variable que
entra X1 hasta 5 (no la deja tomar valores superiores a
5).

Por supuesto la variable básica que restringe
más el crecimiento de la variable que entra X1, es X3
, por lo tanto, es la variable básica escogida para
salir.

La fila de la variable básica escogida para salir
se divide por el elemento que se encuentra en la
intersección de dicha fila con la columna de la variable
que entra, la fila resultante es la fila pivote y se coloca en un
nuevo tablero, desde el que se suman múltiplos de la fila
pivote a las demás filas del tablero anterior de tal forma
que se eliminen de cada una de ellas la variable escogida para
entrar, en nuestro caso X1 , este procedimiento se
denomina, hacer un uno (1) en la intersección y el resto
de la columna ceros (0), por lo tanto en dicha columna
aparecerá un vector unitario, el procedimiento se repite
en cada iteración, hasta que todos los Zj – Cj sean
mayores ó iguales a cero en el caso de maximizar ó
menores ó iguales a cero en el caso de
minimizar.

A continuación se muestran todas las
iteraciones y en cada fila los valores por los cuales fueron
multiplicadas para ser sumadas a otras filas, ello se expresa
como sumar múltiplos de una fila a otra.

Fíjese que se suman múltiplos
de las restricciones a la función objetivo para eliminar
las variables básicas de ella.

Variable que entra X2

Variable que sale X4

Solución óptima:

X1* = 15/8

X2* = 15/8

Z * = 15/4

La solución es única: X1 * =
15/8 ; X2 * = 15/8 ; Z* = 14/4

Ejemplo 2

Minimizar Z = 6X1 + 4X2 +
2X3

S.A.

6X1 + 2X2 + 6X3 >= 6

6X1 + 4X2 = 12

2X1 – 2X2 <= 2

Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3

Minimizar Z = 6X1 + 4X2 + 2X3 + MX5 +
MX6

S.A.

6X1 + 2X2 + 6X3 – X4 + X5 =
6

6X1 + 4X2 +X6 = 12

2X1 – 2X2 +X7 = 2

Xj >= 0 ; j = 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7

Las variables básicas son X5 = 6 ,
X6 = 12, X7 = 2

Solución Óptima:

Variables de decisión:

X1 = 0 , X2 = 3 , X3 = 0 , Z =
12

Variables de holgura : X4 = 0 , X7 =
8

Variables artificiales: X5 = 0 , X6 =
0

Un adelanto del
análisis post-óptimo

Maximizar Z = X1 + X2 {Ganancia total en
soles}

S.A.

5X1 + 3X2 <= 15 {Horas disponibles dep. A}

3X1 + 5X2 <= 15 {Horas disponibles dep. B}

Xj >= 0 ; j = 1, 2

Tablero inicial:

Tablero óptimo:

Costo reducido:

Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de
producto) =
(u.m.)/(u.p.) = las mismas unidades que Cj

Precio dual:

Unidades = (unidad monetaria)/(unidad de
recurso) = (u.m.)/(u.r.)

Interpretación del Costo
reducido:

En cuantas unidades monetarias
empeora la función objetivo al producir una unidad
de un producto que no se está produciendo.

En minimización: ((z / (x) En
maximización: ((z / (x)

• Si la variable es básica ,el
  costo reducido es 0.

• Si la variable es no básica, es
  >= 0. Cuando es 0 significa soluciones
  alternativas.

Interpretación del Precio
dual:

En cuantas unidades monetarias va a variar
la función objetivo al variar en una unidad de recurso
limitante.

Cuando es >0: ((z / (b) ó ((z /
(b)

Cuando es <0: ((z / (b) ó ((z /
(b)

Una restricción es limitante
cuando limita a la función objetivo. Esto sucede cuando se
cumple la igualdad de la
restricción.

Si la restricción es no limitante,
el precio dual es 0.

Si la restricción es limitante,
puede tomar cualquier valor positivo, negativo o 0.

ANIMALES DISECADOS

Una Empresa de
Animales
Disecados está produciendo palomas y gavilanes disecados.
En las condiciones en que se encuentra el mercado
actualmente puede vender los gavilanes y las palomas con
utilidades de $20.00 y $12.00 respectivamente.

Las pieles de los gavilanes son más duras y toman
más tiempo de trabajo que
las pieles de las palomas. La máquina de pieles puede
trabajar 4 pieles de gavilán por minuto ó 8 pieles
para palomas, usando la misma capacidad. La línea de
relleno, puede rellenar 5 gavilanes ó 4 palomas por
minuto. Los gavilanes van a una operación final en una
máquina de afilado del pico que tiene una capacidad de 3.5
gavilanes por minuto, La jornada de trabajo en la división
es de 8 horas.

• a) Formule el modelo de programación
  lineal, que resuelva el caso.

• b) Formule el problema dual del modelo
  formulado en (a).

• c) Resolver el modelo, y hacer una
  interpretación administrativa de la
  solución.

• d) Determinar la solución óptima
  del problema dual leyéndola directamente de la tabla
  óptima encontrada en la pregunta c.

A no ser que se especifique de otra manera, las
siguientes preguntas son independientes unas de otras y
están basadas en el enunciado inicial del
problema.

• e) Existe la posibilidad de trabajar
  sobretiempos en la máquina de pieles, en la
  línea de relleno, y en la máquina de afilado.
  ¿Cuál es la mayor utilidad que se genera por
  cada sobretiempo en cada una de las secciones?.

• f) El Gerente de la Empresa visita la
  línea de gavilanes y palomas, y observa que hay
  capacidad ociosa en algunos de los procesos. El resuelve
  ordenar que se usen todos los centros del proceso, en toda su
  capacidad instalada. ¿Qué le diría
  usted?.

• g) Qué sucedería con la
  solución óptima si las utilidades por cada
  paloma bajan a s/. 9.00 ?.

• h) Para darle un mejor acabado a los juguetes,
  se ha instalado una línea de laqueado; la línea
  de laqueado puede rellenar 5 gavilanes por minuto o 4 palomas
  en el mismo tiempo, igualmente la jornada es de 8 horas.
  ¿Afectaría la solución óptima?;
  de ser así encuentre la nueva
  solución.

NOTA TEORICA:

En esta pregunta, observar si la nueva
restricción es cumplida por la solución actual, si
es así sería una restricción
redundante y no afecta a la solución actual, pero si
la solución actual no la cumple, entonces será
necesario volver a resolver el problema considerando esta nueva
restricción.

MODELO:

X1= numero de palomas a producir en el
día

X2= numero de gavilanes a producir en el
dia

MAX 12X1+20X2

SUBJECT TO

0.125X1+0.25X2<=480 maquina de
pieles

0.25X1+0.2X2<=480 linea de
relleno

0.2857143X2<=480 afilado de
pico

END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 39680.00

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 640.000000 0.000000

X2 1600.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 69.333336

3) 0.000000 13.333333

4) 22.857122 0.000000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS
UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE
ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 12.000000 13.000000 2.000000

X2 20.000000 4.000000 10.400001

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 480.000000 11.999989
240.000000

3 480.000000 480.000000
23.999977

4 480.000000 INFINITY 22.857122

Autor:

Ing. Mohammed Portilla
Camara

Gerente de Operaciones

Grupo Groming Ingeniería SAC. y

CEENQUA: Certifications for Engineering of
Quality

La Molina, Lima – Perú

Estudios realizados en: Ingeniería
Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería
Informática

Universidad de Lima

Pontificia Universidad
Católica del Perú

Universidad Nacional de
Ingeniería

Escuela de Negocios para
Graduados – ESAN