Cinética del cuerpo rígido

Partes: 1, 2

1. Cuerpo rígido
2. Momentos de inercia
3. Teorema de Steiner
4. Movimiento de rotación
5. Movimiento plano general (rotación y traslación simultáneas)

Cuerpo rígido

Un cuerpo rígido, es un concepto, que representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él:

|ra -rb | = c

Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son las mismas que se utilizan para resolver problemas relacionados con cinemática, es decir:

De manera general:

Momentos de inercia

El cálculo de momentos de Inercia requiere realizar integraciones. Además el cálculo debe ser en algún origen específico del cuerpo y para ejes determinados. Normalmente se encuentran los momentos de Inercia para orígenes coincidiendo con el centro de masa y para ejes que coinciden con ejes de simetría, cuando los hay. Se darán algunos ejemplos de cálculo, pero ahora daremos los resultados para los cuerpos de formas más simples.

Por ejemplo:

cilindro

I = ½ MR²

esfera

I = 2 /5MR²

Barra delgada en su centro

I = 1 /12ML²

Barra delgada en su extremo

I = 1 /3ML²

Teorema de Steiner

Conocido el momento de inercia para un eje que pasa por el centro de masa G, se puede calcular el momento de inercia para otro eje paralelo al anterior en un punto A mediante la relación conocida como teorema de Steiner

IA = IG + Md2

donde d es la distancia entre esos dos ejes. Para demostrarlo considere ejes GX"Y"Z" con origen en G, y ejes paralelos AXY Z con origen en A. Consideremos solamente momentos de inercia respecto al eje Z, porque la demostración para los otros es análoga. Entonces tenemos

pero las coordenadas están relacionadas. De

se obtienen

y luego

de manera que

Pero

porque son coordenadas relativas al centro de masa y

distancia entre los ejes Z. Ha resultado entonces

IA = IG + Md2

Movimiento de rotación

El caso más simple ocurre cuando el cuerpo puede solamente girar en

torno a un eje fijo. Si llamamos O al punto del cuerpo por donde pasa el eje

de rotación, nuestra relación fundamental entre torque y momentum angular es

La energía cinética del cuerpo es

Que pueden escribirse

Ejemplo:

El sistema está formado por una barra delgada y homogénea OA, de 2 m de longitud y 10 N de peso, articulada en O y rígidamente unida a un disco homogéneo B de 1 m de radio y 20 N de peso se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura.