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Integrales triples



Partes: 1, 2

    1. Integral
      triple
    2. Integrales triples sobre
      regiones más generales
    3. Cambio de variables en
      integrales triples
    4. Teorema del cambio de
      variable para integrales triples

    Integrales

    Introducción

    El problema de hallar el área
    comprendida entre la grafica de una función
    positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.

    Dicha área se representaba
    comoMonografias.com

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    Vimos que este problema estaba relacionado
    con el cálculo de
    una primitiva de f(x).

    El Teorema de Barrow nos asegura que si
    F(x) es tal que F0(x) = f(x) entonces

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    Nuestro problema es el cálculo del volumen de un
    prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado
    superiormente por la grafica de una función z = f(x, y)
    Positiva.

    A este volumen lo denotaremos porMonografias.com

    Monografias.com

    Difiere del problema anterior en que no se resuelve
    encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por
    el calculo de volúmenes por secciones.

    El volumen vendrá dado por la suma infinita de
    las áreas de las secciones que se obtienen al cortar el
    cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando
    las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al
    cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.

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    Donde

    Monografias.com

    Considerando en cada caso la x o la
    y fija.

    Así

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    El problema se convierte en el calculo de una integral
    reiterada que ya sabemos resolver.

    Integral
    triple

    En el caso de las integrales
    triples se siguen los mismos pasos que en las integrales
    dobles

    Sea el paralelepípedo RMonografias.comSea f(x, y, z) una
    función continua sobre R

    Definimos

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    Definición (Integral triple)

    Si f es una función acotada
    y, existe el Monografias.comy no depende de la elección
    de

    Los Monografias.comentonces se dice que f es integrable, y al
    valor de este
    límite se le llama integral triple sobre R, y se
    representa

    Monografias.com

    Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces
    Monografias.com= V representa el
    volumen.

    Propiedades.

    Se cumplen las mismas propiedades que en la
    integral doble.

    • 1. Toda función continua es
      integrable

    • 2. Linealidad, monotonía y
      aditividad

    • 3. Teorema de Fubini para
      integrales triples por el cual toda integral triple se puede
      hallar
      por integración reiterada.

    Integrales
    triples sobre regiones más generales

    Se repite el mismo proceso que en
    las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de
    regiones:

    Tipo I: Monografias.com(paralelepípedo con paredes frontal y
    posterior rectas).

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    Las regiones del tipo II son
    aquellas en las que Monografias.com(paralelepípedos con paredes izquierda y
    derecha planas).

    Las regiones del tipo III son
    aquellas en las que eMonografias.com(paralelepípedos con fondo y tapa
    planas).

    Sus integrales triples se resuelven de
    manera análoga.

    Las regiones del tipo IV son
    aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de
    los tipos I, II o III.

    Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una
    región acotada de Monografias.comentonces

    Partes: 1, 2

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