Integrales triples

Partes: 1, 2

2. Integral triple
3. Integrales triples sobre regiones más generales
4. Cambio de variables en integrales triples
5. Teorema del cambio de variable para integrales triples

Integrales

Introducción

El problema de hallar el área comprendida entre la grafica de una función positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.

Dicha área se representaba como

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de f(x).

El Teorema de Barrow nos asegura que si F(x) es tal que F0(x) = f(x) entonces

Nuestro problema es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado superiormente por la grafica de una función z = f(x, y) Positiva.

A este volumen lo denotaremos por

Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por el calculo de volúmenes por secciones.

El volumen vendrá dado por la suma infinita de las áreas de las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.

Donde

Considerando en cada caso la x o la y fija.

Así

El problema se convierte en el calculo de una integral reiterada que ya sabemos resolver.

Integral triple

En el caso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles

Sea el paralelepípedo RSea f(x, y, z) una función continua sobre R

Definimos

Definición (Integral triple)

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.

Propiedades.

Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.

• 1. Toda función continua es integrable

• 2. Linealidad, monotonía y aditividad

• 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada.

Integrales triples sobre regiones más generales

Se repite el mismo proceso que en las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de regiones:

Tipo I: (paralelepípedo con paredes frontal y posterior rectas).

Las regiones del tipo II son aquellas en las que (paralelepípedos con paredes izquierda y derecha planas).

Las regiones del tipo III son aquellas en las que e(paralelepípedos con fondo y tapa planas).

Sus integrales triples se resuelven de manera análoga.

Las regiones del tipo IV son aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de los tipos I, II o III.

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una región acotada de entonces