- Integral
triple - Integrales triples sobre
regiones más generales - Cambio de variables en
integrales triples - Teorema del cambio de
variable para integrales triples
Integrales
Introducción
El problema de hallar el área
comprendida entre la grafica de una función
positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x =b.
Dicha área se representaba
como
Vimos que este problema estaba relacionado
con el cálculo de
una primitiva de f(x).
El Teorema de Barrow nos asegura que si
F(x) es tal que F0(x) = f(x) entonces
Nuestro problema es el cálculo del volumen de un
prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado
superiormente por la grafica de una función z = f(x, y)
Positiva.
A este volumen lo denotaremos por
Difiere del problema anterior en que no se resuelve
encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por
el calculo de volúmenes por secciones.
El volumen vendrá dado por la suma infinita de
las áreas de las secciones que se obtienen al cortar el
cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando
las áreas de las infinitas secciones que se obtienen al
cortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.
Donde
Considerando en cada caso la x o la
y fija.
Así
El problema se convierte en el calculo de una integral
reiterada que ya sabemos resolver.
Integral
triple
En el caso de las integrales
triples se siguen los mismos pasos que en las integrales
dobles
Sea el paralelepípedo RSea f(x, y, z) una
función continua sobre R
Definimos
Definición (Integral triple)
Si f es una función acotada
y, existe el y no depende de la elección
de
Los entonces se dice que f es integrable, y al
valor de este
límite se le llama integral triple sobre R, y se
representa
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces
= V representa el
volumen.
Propiedades.
Se cumplen las mismas propiedades que en la
integral doble.
1. Toda función continua es
integrable2. Linealidad, monotonía y
aditividad3. Teorema de Fubini para
integrales triples por el cual toda integral triple se puede
hallar por integración reiterada.
Integrales
triples sobre regiones más generales
Se repite el mismo proceso que en
las integrales dobles. Se consideran los siguientes tipos de
regiones:
Tipo I: (paralelepípedo con paredes frontal y
posterior rectas).
Las regiones del tipo II son
aquellas en las que (paralelepípedos con paredes izquierda y
derecha planas).
Las regiones del tipo III son
aquellas en las que e(paralelepípedos con fondo y tapa
planas).
Sus integrales triples se resuelven de
manera análoga.
Las regiones del tipo IV son
aquellas que se pueden expresar indistintamente como regiones de
los tipos I, II o III.
Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1 y W es una
región acotada de entonces
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