Series de ponencias, intervalos de convergencias y radios de convergencias

Partes: 1, 2

1. Series de potencias
2. Convergencia de una serie de potencias

Series de potencias

Cuando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1, entonces

Definición 1: Sea una sucesión de números reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .

Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.

Por ejemplo,

son series de potencias centradas en 0,

1 y -2, respectivamente.

Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie converge.

En particular, el dominio siempre contiene al punto x = c, en el cual vale

Ejemplo: Consideremos la serie de potencias

Usando el criterio del cociente y el hecho que

Tenemos que la serie converge si R = |x| < 1 y diverge si |x| > 1. Para determinar que ocurre en

|x| = 1, observemos que

De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función

Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.

Teorema 1 (Convergencia de series de potencias) Para una serie de potencias centrada en C, ocurre alguna de las tres siguientes posibilidades:

• a) La serie converge sólo en c.

b) Existe un número R > 0 tal que la serie converge absolutamente si |x - c| < R y diverge si

|x - c| > R.

c) La serie converge para todo

Demostración: Sea una serie centrada en c. Demostraremos sólo el caso particular en el cual el límite existe, el cual es suficiente para los ejemplos y problemas que veremos.

Tenemos, en virtud del criterio del cociente, que la serie converge en x siempre que 0 < L <

Definición 2 Dada una serie de potencias centrada en C, definimos el radio de convergencia R

Como

• a) 0 si la serie converge sólo en c.

• b) 0 < R <<img src="image019.gif" width="12" height="6"> si la serie converge absolutamente para |x - c| < R y diverge para |x - c| > R.

• c)  , si la serie converge para todo .

Definición 3 Dada una serie de potencias

el conjunto de convergencia de f

es el intervalo en el cual la serie converge. Dicho intervalo puede ser de las siguientes formas:

Y, finalmente, {c} = [c, c].

Ejemplo 3 Dada la serie de potencias

determine su conjunto de convergencia.

Solución: El radio de convergencia está dado por

Convergencia de una serie de potencias

Una serie del tipo