Series de ponencias, intervalos de convergencias y radios de convergencias
Series de
potencias
Cuando estudiamos las series geométricas,
demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1,
entonces
Definición 1: Sea 
una sucesión de números
reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la
forma:
Donde x es una variable. .
Más generalmente, una serie de la
forma
Es llamada una serie de potencias centrada en
c.
Por ejemplo,
son series de potencias centradas en
0,
1 y -2, respectivamente.
Una serie de potencias en x puede ser
vista como una función en
x:
Cuyo dominio es el
conjunto de todos los valores
que puede tomar x para los cuales la serie
converge.
En particular, el dominio siempre contiene al punto
x = c, en el cual vale 
Ejemplo: Consideremos la serie de
potencias
Usando el criterio del cociente y el hecho
que
Tenemos que la serie converge si R = |x| < 1 y
diverge si |x| > 1. Para determinar que ocurre
en
|x| = 1, observemos que
De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio
de la función
Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.
Teorema 1 (Convergencia de series de potencias)
Para una serie de potencias centrada en C,
ocurre alguna de las tres siguientes posibilidades:
a) La serie converge sólo en
c.
b) Existe un número R > 0 tal que la
serie converge absolutamente si |x – c| < R y
diverge si
|x – c| > R.
c) La serie converge para todo 
Demostración: Sea 
una serie centrada en c. Demostraremos
sólo el caso particular en el cual el
límite
existe, el cual es suficiente para los ejemplos y problemas que
veremos.
Tenemos, en virtud del criterio del cociente, que la
serie converge en x siempre que 0 < L
< 
Definición 2 Dada una serie de
potencias centrada en C, definimos el radio de
convergencia R
Como
a) 0 si la serie converge sólo en
c.
b) 0 < R <<img src="image019.gif"
width="12" height="6"> si la serie converge
absolutamente para |x – c| < R y diverge para |x
– c| > R.
c) , si la serie converge para todo
.
Definición 3 Dada una serie de potencias
el conjunto de convergencia de f
es el intervalo en el cual la serie converge. Dicho
intervalo puede ser de las siguientes formas:
Y, finalmente, {c} = [c, c].
Ejemplo 3 Dada la serie de potencias
determine su conjunto de convergencia.
Solución: El radio de convergencia
está dado por
Convergencia de
una serie de potencias
Una serie del tipo
Página siguiente  |