Subsanando el paraíso de cantor

Partes: 1, 2

1. Algunas Definiciones de la Teoría de Conjuntos
2. Falsedad de la Hipótesis del Continuo
3. Propiedad de Dilatación o Contracción de los Puntos

Algunas Definiciones de la Teoría de Conjuntos

Una de las teorías matemáticas más ricas en aplicaciones es sin lugar a dudas la teoría de conjuntos debida al gran genio de Georg Cantor (matemático ruso) y la cual ha sido enriquecida a través de la historia por otros no menos grandes matemáticos. Acá nos ocuparemos de dar algunas definiciones de esta teoría las cuales se necesitarán para la demostración de la falsedad de la hipótesis del continuo; el cual es el objetivo primario de este capítulo.

1.1.1 Definiendo al Conjunto A

Un conjunto A finito o infinito, aún cuando parece redundante, se denotará por

Esta forma de denotar a dicho conjunto es la más adecuada para la demostración de los teoremas que acá veremos (Se supone conocido por el lector todo lo relativo a teoría de conjuntos).

1.1.2 El Cardinal del Conjunto A

El cardinal de un conjunto A es el número de elementos que posee dicho conjunto y se denotará por #A. En este trabajo todos nuestros conjuntos serán no vacíos.

1.1.3 Conjuntos Iguales

P1) Conjuntos iguales implican cardinales iguales

Si A = B, entonces, #A = #B.

P2) Cardinales diferentes implican conjuntos diferentes

Si #A ( #B, entonces, A ( B.

1.1.4 Inclusión de Conjuntos. Subconjuntos

1.1.5 Subconjunto Propio

1.1.6 Función entre dos Conjuntos

1.1.7 Función Inyectiva

1.1.8 Función Sobreyectiva

1.1.9 Función Biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y también sobreyectiva. Cuando una tal función existe entre dos conjuntos A y B, se dice que entre éstos existe una relación biunívoca y que, por tanto, ambos tienen la misma cantidad de elementos.

1.1.10 Potencia de un Conjunto

Luego, se puede inferir que dos conjuntos son equipotentes si tienen igual número de elementos. De las definiciones de biyectividad y equipotencia de conjuntos, conjuntamente con el axioma de elección de la teoría de conjuntos, se infiere que dos conjuntos son equipotentes si, y sólo si, existe entre ellos al menos una biyección.

1.1.12 El conjunto f(A)

1.1.13 Propiedades Intrínsecas del Conjunto f(A)

Falsedad de la Hipótesis del Continuo

A continuación, se presenta una serie de teoremas sencillos que nos demuestran que la conjetura de Cantor, conocida como hipótesis del continuo, es falsa. En dicha hipótesis se asegura que no existe un cardinal transfinito x tal que # N < x < # R.

Esta hipótesis se dio sobre la base de la igualdad de los cardinales de N, Z y Q. Igualdad que se demostró gracias a una supuesta biyección entre N y Z, y entre N y Q. Sin embargo, acá se demostrará que dichas biyecciones no pueden existir, a menos que la teoría de conjuntos sea una falsedad, lo cual no es así.

La idea de este trabajo no es detallar lo que significa la hipótesis del continuo; para quien desee detallar esto existe abundante literatura en el ámbito matemático. Acá sólo se pretende demostrar, con los mismos elementos de la teoría de conjuntos, que la cardinalidad de N, Z y Q son diferentes y que dicha hipótesis del continuo no es más que la camisa de fuerza que mantiene atada a la matemática a concepciones erróneas del infinito.

Nota: Las demostraciones acá se harán sólo para conjuntos discretos, aún cuando también valen para conjuntos continuos. Se usarán subíndices naturales en los conjuntos infinitos, acá tratados, bajo el supuesto que dichos naturales nunca se terminan; también, porque siempre se ha creído que todos los conjuntos infinitos, a excepción de R, son numerables. Al final de cada demostración se usará el símbolo ( el cual nos indica que la demostración concluyó.