Trabajo de matemática: Unidad II (página 2)

a + x = b

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los
números enteros con las operaciones de
suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario.
Por otro lado, donde es el orden usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin
cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin.
El conjunto de los números enteros se representa mediante
(el origen del uso
de Z es el alemán Zhal 'número'o
cantidad).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS
NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden representar en una
recta de la siguiente forma:

– Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale
el valor
0.

– Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y
asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos
será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad
de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2.
Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así
sucesivamente representas todos los números naturales: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 …..

– Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0,
obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6,
……

En fin, los números enteros se representan
gráficamente en una recta:

• Los números positivos se ubican a partir del
  punto 0 hacia la derecha.

• Los números negativos se ubican a partir del
  punto 0 hacia la izquierda.

• Si dos números son iguales, les corresponde
  el mismo punto en la recta numérica.

• Si un número es menor a otro, el menor se
  ubica a la izquierda del mayor.

• Si un número es mayor a otro, el mayor se
  ubica a la derecha del menor.

• Cada número y su opuesto están a igual
  distancia del cero.

El conjunto de números enteros se designa con la
letra Z. A partir de su representación
gráfica se observa que:

• El conjunto de números enteros no tiene ni
  primer ni último elemento.

• Todo número entero tiene un antecesor y un
  sucesor.

• Entre dos números enteros existe un
  número finito de números enteros, por lo que el
  conjunto es discreto.

VALOR ABSOLUTO DE LOS
NÚMEROS ENTEROS

El valor absoluto de un número
entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se
escribe y se define
del siguiente modo:

Observa la recta
numérica:

Los números +3 y –3 se
encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así
porque los dos números están formados por el mismo
número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al
número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se
indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Por tanto, el resultado siempre es un
número positivo.

El Valor absoluto de un número
entero es el número natural que sigue al signo. Se indica
poniendo el número entero entre barras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
ENTEROS

Propiedades de clausura

Si existen
tales
que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre se sigue, por
definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los
números enteros verifica la propiedad

• Para cualesquiera

Lo mismo cumple la multiplicación sobre

• Para cualesquiera

Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la
multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones
de estas operaciones. Estas propiedades son:

• Para cualesquiera

y

• Para cualesquiera

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p , n+q)]=[(p+m ,
q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera tenemos que

• Para cualesquiera

Esta es la propiedad
conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la
multiplicación:

• Para cualesquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)],
[(c,d)] y [(m,n)].
Tenemos

=

=
=

=

=

Por tanto se cumple la siguiente propiedad
distributiva

• Para cualesquiera

Existencia de elementos
neutros

El cero, 0 = [(n,n)], tiene la
característica de que para todo entero
[(a,b)],

y como a + (b + n) =
b + (a + n) sean cuales sean los
números naturales a,b,n,
tenemos de donde
por lo que el cero
es un elemento neutro para la adición sobre En

• para
  todo términos más
  sencillos,

Se define como sigue:

Vemos que, para todo entero
[(a,b)],

y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la
multiplicación sobre Es decir,

• para
  todo pt.

a+b _ c

Existencia de elemento
opuesto

• Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos
  por tal
  que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos
constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad
anterior:

• Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto
significa que para cada entero existe un único
número tal que sumado con él el resultado es cero.
Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la
propiedad asociativa y la unicidad del elemento
neutro.

Propiedades cancelativas

Sean y
a + b = a + c. Tenemos que
gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad
cancelativa

• Para todo

Para la multiplicación también se cumple
la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe
utilizarse un método
distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un
inverso), y por tanto con su multiplicación, no es un anillo
de división. La prueba que sigue de la propiedad
cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de
que es un dominio
íntegro. Sean pues y ab = ac con Tenemos que ab –
ac = 0, y de la propiedad distributiva
a(b – c) = 0, o sea que b –
c = 0, lo que demuestra que b =
c.

Se cumple pues la propiedad cancelativa
siguiente:

• Para todo con

Propiedades de orden

• Si a = b Entonces b =
  a

Propiedad reflexiva del orden

• a = a

Propiedad antisimétrica del orden

• Si a = b y b =
  a, entonces a = b.

Propiedad transitiva del orden

• Si a < b y b <
  c, entonces a < c.

Compatibilidad del orden con las operaciones

• Si a = b entonces
  a+c = b+c,

para todo c

• y si c = 0, con a = b
  entonces a c = b c

Propiedad o axioma de la buena
ordenación

• Sea S un subconjunto no vacío de Z, acotado
  inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Este axioma indica que el conjunto S tiene un
ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del
conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento
menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es
mayor que todos los elementos del conjunto S.

ORDEN EN Z

En la representación de los enteros en la recta
numérica se observa el orden que existe en el conjunto de
los números enteros, siendo los números negativos
menores que los positivos y que el cero.

Propiedad:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z

Conjunto o reunión de varios números, es
el resultado de la adición.

Cuando se suman dos números enteros el resultado
es un número entero.

Ejemplos :

+2 + (4) = +6 ; +3 + (4) = +7 ; +10 + (+11) =
+21

En el otro capítulo habíamos dicho que :
los números enteros son aquellos números que pueden
expresarse como el cociente de una división
exacta.

Es decir que al dividir 30 / 5 , obtenemos en el
cociente 6 y seis pertenece a los números enteros ; o
más seis (+6) .Por eso se dice el cociente de una
división exacta .Recuerde que el cociente es el resultado
de una división, entonces cuando en una división
,cuyo residuo es cero el cociente es entero.

Si sumamos dos enteros de signos
contrarios el resultado será dado por la diferencia de
los valores
absolutos de los sumandos y llevará el signo del que tenga
mayor valor absoluto.

Ejemplos: -2 + (+5) = +3 ; recuerde que el orden de los
sumandos no altera la SUMA, que es +3. Ahora (+5) + (-2), al -2 ,
debo colocarlo dentro de un paréntesis ,porque no deben ir
dos signos +,- , juntos.

Este mismo ejercicio nos dio +3 por lo de la propiedad
conmutativa de la adición.

Las propiedades de la adición en Z
son:

Conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento
simétrico.

La asociativa es similar a la conmutativa, es decir, la
forma como se agrupan los sumandos no altera el resultado
(SUMA).

Se agrupan con signos especiales llamados de
AGRUPACIÓN, ellos son:

Paréntesis, ( ); Llaves, { }, y corchetes,[
].

El elemento neutro de la adición se llama cero
(0).

El elemento simétrico es el opuesto de un
número, es decir el mismo número pero de signo
contrario. 4 (-4).

Para sumar dos números enteros se procede del
siguiente modo:

. Si tienen el mismo signo, se suman sus valores
absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían
los sumandos:

. 7 + 11 = 18

. -7 – 11 = -18

. Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es
positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se
le pone el signo del mayor:

. 7 + (-5) = 7 – 5 = 2

. -7 + 5 = – (7 – 5) = -2

. 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades
siguientes:

• Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Conmutativa:

a + b = b + a

• Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la
  suma,

a + 0 = a

• Elemento opuesto: todo número entero a, tiene
  un opuesto –a,

a + (-a) = 0

RESTA DE ENTEROS

Restar un número es igual que sumar su
opuesto.

a – b = a + -b El opuesto de b es -b

Ejemplo:

3 – 4 = 3 + -4 El opuesto de 4 es -4

En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto
del número que se está reatando, entonces se siguen
las reglas de la suma.

-2 – 5 = -2 + -5 El opuesto de 5 es –5

5 – ( -7) = 5 + 7 = 12 El opuesto de –7 es
7

Para restar dos números enteros se le suma al
minuendo el opuesto del sustraendo:

a – b = a + (-b)

Por ejemplo:

5 – (-3) = 5 + 3 = 8

-2 – 5 = (-2) + (-5) = -7

MULTIPLICACIÓN
Y DIVISIÓN DE ENTEROS

Para multiplicación y división (esto
aplica cuando se están multiplicando o dividiendo dos
números a la vez) :

Signos iguales = positivo ejemplo.

-2 x -3 = 6 -10 / -2 = 5

2 x 3 = 6 10 / 2 = 5

Signos distintos = negativo ejemplo.

-2 x 3 = -6 -10 / 2 = -5

2 x -3 = -6 10 / -2 = -5

La resta de números enteros se obtiene sumando al
minuendo el opuesto del sustraendo.

a – b = a + (-b)

7 – 5 = 2

7 – (-5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números
enteros

1.Interna:

La resta dos números enteros es otro
número entero.

a – b

10 – (-5)

2. No es Conmutativa:

a – b ? b – a

5 – 2 ? 2 – 5

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN
Z

La multiplicación de varios números
enteros es otro número entero, que tiene como valor
absoluto el producto de
los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(-2) · (-5) = 10

2 · (-5) = -10

(-2) · 5 = -10

Propiedades de la multiplicación de
números enteros

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números enteros
es otro número entero.

a · b

2 · (-5)

2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el
resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera,
se cumple que:

(a · b) · c = a · (b ·
c)

(2 · 3) · (-5) = 2· [(3 ·
(-5)]

6 · (-5) = 2 · (-15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el
producto.

a · b = b · a

2 · (-5) = (-5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
porque todo número multiplicado por él da el mismo
número.

a · 1 = a

(-5) · 1 = (-5)

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a
la suma de los productos de
dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a ·
c

(-2) · (3 + 5) = (-2) · 3 + (-2) ·
5

(-2) · 8 = (-6) + (-10)

-16 = -16

6. Sacar factor común:

Es el proceso
inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común,
podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho
factor.

a · b + a · c = a · (b +
c)

(-2) · 3 + (-2) · 5 = (-2) · (3 +
5)

DEFINICIÓN DE ADICIÓN Y
MULTIPLICACIÓN SOBRE NÚMEROS ENTEROS

Se define la adición ( + ) sobre
como
sigue:

info=para todo

teniendo previamente definida la
adición sobre La definición anterior no depende de los
representantes escogidos puesto que, por tanto cualesquiera
pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación () sobre se define como
sigue:

info=para todo

teniendo previamente definida la
multiplicación sobre La definición anterior está
correctamente definida debido a que:

DIVISIÓN EN
Z

La división de dos números enteros es otro
número entero, que tiene como valor absoluto el cociente
de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la
aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

10 : 5 = 2

(-10) : (-5) = 2

10 : (-5) = -2

(-10) : 5 = -2

Propiedades de la división de números
enteros

1. No es una operación interna:

El resultado de dividir dos números enteros no
siempre es otro número entero.

(-2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ? b : a

6 : (-2) ? (-2) : 6

POTENCIACIÓN EN Z

La potencia de
exponente natural de un número entero es otro
número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de
la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la
aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre
positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo
signo de la base.

Propiedades

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
la suma de los exponentes.

am · a n = am+n

(-2)5 · (-2)2 = (-2)5+2 = (-2)7 = -128

4. División de potencias con la misma
base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
la diferencia de los exponentes.

am : a n = am — n

(-2)5 : (-2)2 = (-2)5 — 2 = (-2)3 = -8

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes.

(am)n = am · n

[(-2)3]2 = (-2)6 = 64

6. Producto de potencias con el mismo
exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es
el producto de las bases

an · b n = (a · b) n

(-2)3 · (3)3 = (-6)3 = -216

7. Cociente de potencias con el mismo
exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es
el cociente de las bases.

an : b n = (a : b) n

(-6)3 : 33 = (-2)3 = -8

ECUACIONES EN Z

Una ecuación está definida como una
igualdad, en
la cual hay un término desconocido que generalmente se
representa con una x.

En una igualdad hay dos miembros, separados por el signo
=

Por ejemplo: 3 · x – 5 = 40

Esta ecuación tiene el término desconocido
en el primer miembro.

En Z, el método que utilizamos para encontrar
solución a una ecuación consiste en dejar la x en
un miembro y todos los números en el otro.

¿Cómo lo hacemos? Utilizando la propiedad
del inverso aditivo y en algunas, la división de
enteros.

Resolvamos el ejercicio anterior.

Las ecuaciones
sirven para resolver problemas. Los
datos se
transforman en lenguaje
matemático y luego se busca el valor de x.

Por ejemplo: ¿A qué número equivale
el doble de 24 aumentado en 5?

INECUACIONES EN Z

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación
entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno
de los cuatro signos de desigualdad,

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden
ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:

Las desigualdades en las que interviene una variable se
denominan Inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades:

Se denominan también transformaciones de
equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les
suma o resta una misma expresión o cantidad, la
desigualdad no varía:

Transposición: consiste en restar a ambos
miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que
uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del
mismo y aparezca en el otro miembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una
desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia,
pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la
desigualdad:

• al multiplicar por una cantidad negativa cambia el
  sentido de la desigualdad.

• si la cantidad es positiva se conserva el sentido
  original de la desigualdad.

Simplificación: si se dividen los dos miembros de
una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero,
la desigualdad no varía:

• si el divisor es negativo entonces cambia el sentido
  de la desigualdad.

Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra
presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o
más variables, o
incógnitas.

Una inecuación se verifica solo para algunos
valores de las variables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica
la desigualdad son las soluciones de
la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los
valores numéricos para los cuales la desigualdad es
verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las
mismas soluciones.

Para hallar Inecuaciones equivalentes debemos aplicar
los principios de
equivalencia:

• Si sumamos o restamos a los miembros de una
  inecuación una misma cantidad o expresión
  algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a
  la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
  inecuación por una misma cantidad positiva y no nula,
  la inecuación que resulta es equivalente a la
  dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una
  inecuación por una misma cantidad negativa, la
  inecuación que resulta es de sentido contrario a la
  dada.

• Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las
  que las variables que intervienen están elevadas a un
  exponente igual a la unidad.

• Inecuaciones de primer grado con una
  incógnita, tienen por expresión general, y
  todas sus equivalentes.

Para resolver una inecuación se sigue un proceso
similar al de resolver ecuaciones.

Método analítico:

Para resolver una inecuación de primer grado, lo
primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión
general de una inecuación de 1er  grado del apartado
anterior aplicando los principios de equivalencia y los
fundamentos del cálculo en
general:

• Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello
  aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la
  suma.

• Quitar denominadores si los hubiera. Para ello
  reducir ambos miembros a común denominador.

• Reducir términos semejantes en ambos
  miembros.

• Pasar a un miembro los términos que contengan
  la variable y al otro los que no la contengan, y volver a
  reducir términos. (Aplicar los principios de
  equivalencia de Inecuaciones)

• Despejar la variable. (Volver a aplicar los
  principios de equivalencia de modo que la variable quede
  aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad,
  1)

• IMPORTANTE: si al aplicar los principios de
  equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad
  negativa tener presente que cambia el sentido de la
  desigualdad, así:

• ya que hemos tenido que multiplicar por –1
  ambos miembros por ser éstos negativos, luego
  proseguiríamos de modo normal.

CONCLUSIÓN

Hay situaciones reales del tipo: debo 20Bs., 100 metros
bajo el nivel del mar, 2 grados bajo cero…, que no pueden
expresarse con números naturales. Necesitamos otro tipo de
números, los números enteros.

Un número entero negativo puede ser definido
mediante la diferencia de dos números naturales. Por
ejemplo – 3 = 5 – 8, de donde puede asociarse el número –
3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin
embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares
ordenados dan como resultado – 3 al restar sus componentes, no
puede decirse simplemente que – 3 = (5,8). Lo que puede hacerse,
es incluir todos los pares ordenados de números naturales,
que dan como resultado – 3 al restar sus componentes, dentro de
un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una
clase de
equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados
(a,b) y (c,d) puedan ser
asociados al mismo número entero si:

El único problema es que la ecuación (1)
no está definida en cuando a < b. Pero esto se
remedia fácilmente, al notar que

Ciertamente para cualesquiera de tal manera que puede definirse una
relación sobre mediante:

La relación es una relación de equivalencia que
produce en una
partición en clases de equivalencia, cada una de las
cuales puede ser asociada a un único número entero
y viceversa. Por ejemplo:

Si admitimos el cero como número natural, podemos
definir:

info=para
todo

Si no se acepta el cero como número natural, y se
parte, en cambio, del 1,
se define entonces

info=para
todo

Luego el cero puede definirse como:

info=para
todo

El escoger (n,0) y (0,n) (o
(n + 1,1) y (1,n + 1) para cuando no se acepta
para las
definiciones anteriores es una decisión completamente
arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares
ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

Info=para
todo

Se define pues el conjunto de los números enteros
como el conjunto:

de todas las clases de equivalencia producidas por la
relación sobre el producto cartesiano Esto es, es el conjunto
cociente:

REFERENCIA
BIBLIOGRÁFICAS

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros1.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero#Estructura_de_los_n.C3.BAmeros_enteros

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros:_Valor_absoluto

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/primaria/matematicas/conmates/unid-3/valor_absoluto.htm

http://www.vitutor.com/di/e/a_5.html

http://www.si-educa.net/basico/ficha391.html

Autor:

Miguel David Rojas
Gerardino

Cumaná, 30 de enero de 2010.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.

MINISTERIO DEL PODER POPULAR
PARA LA EDUCACIÓN
SUPERIOR.

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL
LIBERTADOR.

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL
MAGISTERIO.

NÚCLEO SUCRE.