Partes: 1, 2

a + x = b

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, donde es el orden usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zhal 'número'o cantidad).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.

- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .....

- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6, ......

En fin, los números enteros se representan gráficamente en una recta:

• Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.

• Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.

• Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.

• Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.

• Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.

• Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:

• El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.

• Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.

• Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.

VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe y se define del siguiente modo:

Observa la recta numérica:

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Propiedades de clausura

Si existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

• Para cualesquiera

Lo mismo cumple la multiplicación sobre

• Para cualesquiera

Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

• Para cualesquiera

y

• Para cualesquiera

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera tenemos que

• Para cualesquiera

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

• Para cualesquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos

=

= =

=

=

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

• Para cualesquiera

Existencia de elementos neutros

El cero, 0 = [(n,n)], tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cuales sean los números naturales a,b,n, tenemos de donde por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre En

• para todo términos más sencillos,

Se define como sigue:

Vemos que, para todo entero [(a,b)],

y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre Es decir,

• para todo pt.

a+b _ c

Existencia de elemento opuesto

• Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad anterior:

• Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativas

Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

• Para todo

Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues y ab = ac con Tenemos que ab - ac = 0, y de la propiedad distributiva a(b - c) = 0, o sea que b - c = 0, lo que demuestra que b = c.

Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:

• Para todo con

Propiedades de orden

• Si a = b Entonces b = a

Propiedad reflexiva del orden

• a = a

Propiedad antisimétrica del orden

• Si a = b y b = a, entonces a = b.

Propiedad transitiva del orden

• Si a < b y b < c, entonces a < c.

Compatibilidad del orden con las operaciones

• Si a = b entonces a+c = b+c,

para todo c

• y si c = 0, con a = b entonces a c = b c

Propiedad o axioma de la buena ordenación

• Sea S un subconjunto no vacío de Z, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.

Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es mayor que todos los elementos del conjunto S.

ORDEN EN Z

En la representación de los enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero.

Propiedad:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN Z

Conjunto o reunión de varios números, es el resultado de la adición.

Cuando se suman dos números enteros el resultado es un número entero.

Ejemplos :

+2 + (4) = +6 ; +3 + (4) = +7 ; +10 + (+11) = +21

En el otro capítulo habíamos dicho que : los números enteros son aquellos números que pueden expresarse como el cociente de una división exacta.

Es decir que al dividir 30 / 5 , obtenemos en el cociente 6 y seis pertenece a los números enteros ; o más seis (+6) .Por eso se dice el cociente de una división exacta .Recuerde que el cociente es el resultado de una división, entonces cuando en una división ,cuyo residuo es cero el cociente es entero.

Si sumamos dos enteros de signos contrarios el resultado será dado por la diferencia de los valores absolutos de los sumandos y llevará el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos: -2 + (+5) = +3 ; recuerde que el orden de los sumandos no altera la SUMA, que es +3. Ahora (+5) + (-2), al -2 , debo colocarlo dentro de un paréntesis ,porque no deben ir dos signos +,- , juntos.

Este mismo ejercicio nos dio +3 por lo de la propiedad conmutativa de la adición.

Las propiedades de la adición en Z son:

Conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento simétrico.

La asociativa es similar a la conmutativa, es decir, la forma como se agrupan los sumandos no altera el resultado (SUMA).

Se agrupan con signos especiales llamados de AGRUPACIÓN, ellos son:

Paréntesis, ( ); Llaves, { }, y corchetes,[ ].

El elemento neutro de la adición se llama cero (0).

El elemento simétrico es el opuesto de un número, es decir el mismo número pero de signo contrario. 4 (-4).

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

. Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:

. 7 + 11 = 18

. -7 - 11 = -18

. Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:

. 7 + (-5) = 7 - 5 = 2

. -7 + 5 = - (7 - 5) = -2

. 14 + (-14) = 0

La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

• Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

• Conmutativa:

a + b = b + a

• Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,

a + 0 = a

• Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,

a + (-a) = 0

RESTA DE ENTEROS

Restar un número es igual que sumar su opuesto.

a – b = a + -b El opuesto de b es -b

Ejemplo:

3 – 4 = 3 + -4 El opuesto de 4 es -4

En la resta, se cambia a suma y se escribe el opuesto del número que se está reatando, entonces se siguen las reglas de la suma.

-2 - 5 = -2 + -5 El opuesto de 5 es –5

5 - ( -7) = 5 + 7 = 12 El opuesto de –7 es 7

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS

Para multiplicación y división (esto aplica cuando se están multiplicando o dividiendo dos números a la vez) :

Signos iguales = positivo ejemplo.

-2 x -3 = 6 -10 / -2 = 5

2 x 3 = 6 10 / 2 = 5

Signos distintos = negativo ejemplo.

-2 x 3 = -6 -10 / 2 = -5

2 x -3 = -6 10 / -2 = -5

La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 - 5 = 2

7 - (-5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

La resta dos números enteros es otro número entero.

a - b

10 - (-5)

2. No es Conmutativa:

a - b ? b - a

5 - 2 ? 2 - 5

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN Z

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(-2) · (-5) = 10

2 · (-5) = -10

(-2) · 5 = -10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

a · b

2 · (-5)

2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (-5) = 2· [(3 · (-5)]

6 · (-5) = 2 · (-15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

2 · (-5) = (-5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

(-5) · 1 = (-5)

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

(-2) · (3 + 5) = (-2) · 3 + (-2) · 5

(-2) · 8 = (-6) + (-10)

-16 = -16

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

(-2) · 3 + (-2) · 5 = (-2) · (3 + 5)

DEFINICIÓN DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN SOBRE NÚMEROS ENTEROS

Se define la adición ( + ) sobre como sigue:

info=para todo

teniendo previamente definida la adición sobre La definición anterior no depende de los representantes escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:

La multiplicación () sobre se define como sigue:

info=para todo

teniendo previamente definida la multiplicación sobre La definición anterior está correctamente definida debido a que:

DIVISIÓN EN Z

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

10 : 5 = 2

(-10) : (-5) = 2

10 : (-5) = -2

(-10) : 5 = -2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.

(-2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ? b : a

6 : (-2) ? (-2) : 6

POTENCIACIÓN EN Z

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

am · a n = am+n

(-2)5 · (-2)2 = (-2)5+2 = (-2)7 = -128

4. División de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am : a n = am — n

(-2)5 : (-2)2 = (-2)5 — 2 = (-2)3 = -8

5. Potencia de una potencia:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(am)n = am · n

[(-2)3]2 = (-2)6 = 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

an · b n = (a · b) n

(-2)3 · (3)3 = (-6)3 = -216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : b n = (a : b) n

(-6)3 : 33 = (-2)3 = -8

ECUACIONES EN Z

Una ecuación está definida como una igualdad, en la cual hay un término desconocido que generalmente se representa con una x.

En una igualdad hay dos miembros, separados por el signo =

Por ejemplo: 3 · x - 5 = 40

Esta ecuación tiene el término desconocido en el primer miembro.

En Z, el método que utilizamos para encontrar solución a una ecuación consiste en dejar la x en un miembro y todos los números en el otro.

¿Cómo lo hacemos? Utilizando la propiedad del inverso aditivo y en algunas, la división de enteros.

Resolvamos el ejercicio anterior.

Las ecuaciones sirven para resolver problemas. Los datos se transforman en lenguaje matemático y luego se busca el valor de x.

Por ejemplo: ¿A qué número equivale el doble de 24 aumentado en 5?

INECUACIONES EN Z

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,

Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los ejemplos:

Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan Inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades:

Se denominan también transformaciones de equivalencia.

Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varia, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:

• al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la desigualdad.

• si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.

Simplificación: si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:

• si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

Inecuaciones: son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.

Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.

Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones de la misma.

Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la desigualdad es verdadera.

Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.

Para hallar Inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:

• Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.

• Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada.

• Inecuaciones de primer grado: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad.

• Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión general, y todas sus equivalentes.

Para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver ecuaciones.

Método analítico:

Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar a obtener la expresión general de una inecuación de 1er  grado del apartado anterior aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:

• Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.

• Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común denominador.

• Reducir términos semejantes en ambos miembros.

• Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de Inecuaciones)

• Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1)

• IMPORTANTE: si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:

• ya que hemos tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego proseguiríamos de modo normal.

  

CONCLUSIÓN

Hay situaciones reales del tipo: debo 20Bs., 100 metros bajo el nivel del mar, 2 grados bajo cero..., que no pueden expresarse con números naturales. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros.

Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo - 3 = 5 - 8, de donde puede asociarse el número - 3 con el par ordenado (5,8) de números naturales. Sin embargo, debido a que (4,7) y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado - 3 al restar sus componentes, no puede decirse simplemente que - 3 = (5,8). Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares ordenados de números naturales, que dan como resultado - 3 al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto, o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados (a,b) y (c,d) puedan ser asociados al mismo número entero si:

El único problema es que la ecuación (1) no está definida en cuando a < b. Pero esto se remedia fácilmente, al notar que

equivale a

Ciertamente para cualesquiera de tal manera que puede definirse una relación sobre mediante:

si y solo si

La relación es una relación de equivalencia que produce en una partición en clases de equivalencia, cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:

Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:

info=para todo

Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces

info=para todo

Luego el cero puede definirse como:

info=para todo

El escoger (n,0) y (0,n) (o (n + 1,1) y (1,n + 1) para cuando no se acepta para las definiciones anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese que, de cualquier forma,

Info=para todo

Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:

de todas las clases de equivalencia producidas por la relación sobre el producto cartesiano Esto es, es el conjunto cociente:

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros1.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero#Estructura_de_los_n.C3.BAmeros_enteros

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_enteros:_Valor_absoluto

http://www.isftic.mepsyd.es/w3/recursos/primaria/matematicas/conmates/unid-3/valor_absoluto.htm

http://www.vitutor.com/di/e/a_5.html

http://www.si-educa.net/basico/ficha391.html

 

 

 

 

 

 

Autor:

Miguel David Rojas Gerardino

Cumaná, 30 de enero de 2010.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR.

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR.

INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO.

NÚCLEO SUCRE.