Óptica de Fourier y tratamiento ondulatorio de la óptica geométrica

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El modelo ondulatorio de la luz es el que mas se adecua al estudio de la óptica no cuántica y es el único utilizado para el tratamiento de fenómenos como los de difracción, interferencia y polarización. En gran parte de la litratura dedicada a la enseñanza de la Física general y experimental, al llegar al estudio de la óptica geométrica suele presentarse una ruptura en el desarrollo del discurso como si se tratara de un tema que practicamente no está relacionado con el resto de la disciplina en cuestión.

Por otra parte, en cursos mas avanzados, se hace un paso a la óptica geométrica a partir del modelo ondulatorio acudiendo mayormente al concepto y ecuación de la iconal, pero suele llegarse a ésta sin utilizarla para establecer algo que muestre explícitamente que se ha entrado en tópicos tratables por la ley de Sneel o al menos por el Princiio de Fermat, dejando insatisfeho al estudioso que tiene por óptica geométrica la aplicación de las citadas formulaciones.

También se presenta la situación de que el estudiante interesado, encuentra en los medios, alusiones a temas como el procesamiento de imágenes, escucha hablar de wavelets, de uso de la tranformada de Fourier en óptica, etc., sin que advierta vínculo alguno con lo que ha aprendido en sus estudios regulares. Y se da muy frecuentemente que oftalmólogos y optometristas reciben literatura especializada en la que encuentran referencias a aplicaciones de la .Optica de Fourier en oftalmología y optometría, sin que encuentren apropiados textos sobre esos temas en los que puedan ahondar sobre los mismos.

Tratando de atender aunque sea en forma lo mas elemental posible, al saludable interés intelectual al que nos hemos referido, se ha elaborado el presente trabajo.

En la Óptica de Fourier se estudian fenómemos de las ondas electromagnéticas y por tanto de las luminosas, haciendo un uso fundamnental de la teoría de la Tranformada de Fourier.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f(x) de valores complejos de x , otra función g(() proporcional a (-(,+( f(x)exp(-i(x)dx.

Veamos una aplicación al estudio de la intensidad luminosa en el patrón obtenido en la difracción de Fraunhofer. Para obtenerlo se hace incidir un haz paralelo de luz en una pantalla opaca con un hendidura muy fina la cual difracta la luz que después de ser refractada por una lente convergente forma el patrón en un plano situado a la distancia focal f de la lente llamado plano de Fourier. La intensidad luminosa I(x´,y´) viene dada por el cuadrado de la transformada de Fourier de la función de transmisión t(x,y) de la hendidura:

Donde x´ e y´, coordenadas en plano de Fourier de los puntos que conforman el patrón los cuales son funciones de las frecuencias espaciales y de la longitud de onda ( , siendo

k=2(/(. La trasformada inversa de Fourier de la correspondiente a la formación del patrón, producida por una segunda lente convergente, corresponderá a la de la formación de la imagen definitiva.

La óptica geométrica muestra que f, distancia focal de la lente convergente y las distancias s objeto-lente y s´ lente –imagen están relacionadas por la fórmula de Descartes .

1/s+1/s´=1/f en cuya aplicación no se tiene en cuenta para nada la formáción del patron en el plano de Fourier. No fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que Abbe y Porter descubren la intervención del patrón en la formación de la imagen final al aplicarse el principio de Huygens- Fresnel en el proceso. La aplicación de la teoría de Abbe-Porter y la Óptica de Fourier ha parmitido implementar métodos de filtrado de frecuencias en el plano de Fourier, colocando en el mismo dispositivos como rejillas que eliminen frecuencias perturbadoras de la calidad de la imagen. Las posibilidades de la computación y los avances teóricos de la "Óptica de Fourier , de los procedimientos basados en las wavelets, de los fractales, etc. han propiciado un notable progreso en el campo del tratamiento de imágenes.

El otro punto que vamos a tratar, como indicamos en el comienzo de este trabajo, se refiere a la introducción de la formulación propia de la óptica geométrica a partir de la óptica ondulatoria. Para ello, partirmos de la ecuación de las ondas electromagnéticas puesto que eleectromagnética es la naturaleza de la luz:

Con las suposiciones que en aras del mejor entendimiento hemos realizado faltando un tanto al rigor pero no a la descripción física, podemos observar que r nos señala dirección del rayo perpendicular a la fase que es como decir a la supericie de onda. dada por la función escalar L, de manera que el gradiente de esa función (L, nos dará el desplazamientto en la dirección del rayo, de la superficie de onda..

Se cumplirá pues que: